模形式（Modular Forms）是数学中的一个重要概念，属于代数几何和代数数论领域。它是一种特殊类型的函数，具有一些特殊的性质，被广泛用于描述和研究椭圆曲线、高维代数几何、自守表示等领域的数学对象。
模形式最初是由德国数学家Hans Maass在20世纪50年代提出的，后来被证明与模曲线、椭圆曲线、甚至于弦理论之间存在密切的联系。模形式有着非常美妙的数学性质，例如它们是特殊类型的亚纯函数、具有模不变性等等，这些性质被广泛用于研究模形式的性质和应用。模形式在数学中的应用非常广泛，例如在Wiles证明费马大定理、莫迪克猜想、椭圆曲线密码学等领域都有着重要的应用。此外，模形式在朗兰兹计划中发挥着核心作用。
朗兰兹计划（Langlands program）是一个重要的数学研究计划，它是由加拿大数学家罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）在20世纪60年代初提出的。该计划旨在探索数学中不同领域之间的联系，尤其是代数数论、代数几何、调和分析、表示论和自守表示等领域之间的联系。
在这些背景下出现的模形式是一种特殊类型的形式，即所谓的同余模形式（congruence modular forms），它拥有额外的结构，使得它们更易于研究。但是非同余模形式更为普遍，大大超过了同余模形式。如果你随机取一个模形式，它是非同余模形式的概率大概为1。
然而，数学家对非同余模形式知之甚少。很难对这样一类一般的函数做出全面的陈述，而且用于研究模形式的工具在非同余的情况下也会失效。这使得数学家们甚至不确定他们应该试图证明什么。
然而，一个关于非同余模形式的主要猜想长期以来一直引人注目。这个猜想就是无界分母猜想（unbounded denominators conjecture）。什么是无界分母猜想呢？
1968年，数学家奥利弗·阿特金（Oliver Atkin）和彼得·斯温纳顿-戴尔（Peter Swinnerton-Dyer）注意到，同余和非同余模形式是非常不同的，因为非同余模形式缺乏同余模形式所具有的对称性。这就是无界分母猜想。如果成立，它将使数学家们在非同 余 对象的领域中首次站稳脚跟。该猜想还可以为理论物理学的一个主要计划——旨在理解称为共形场论的粒子相互作用模型——提供更坚实的数学基础。
但是50多年来，没有人能够证明它。最终，在2021年末，三位数学家（Calegari、Dimitrov和Tang）成功地证明了它。他们的证明似乎出乎意料，采用了在这个研究领域中没有人预料到的技术。
对称性和结构
非同余模形式并不总是被边缘化的。在19世纪，数学家们刚开始发展模形式理论。这是一种特定高度对称函数的名称——它出现在一个称为复平面上半部的域中。
复平面是一种绘制复数的方法，复数有两个部分：实部和虚部。模形式以其输入的虚部为正的复数为基础，对应于平面的上半部分。（上半平面可以很容易地映射到一个单位圆盘的内部；模形式经常使用这种映射来描述。）
模形式的对称性是通过特殊的2乘2矩阵集合或称为“群”来定义的。这些矩阵称为模变换，它们作用于复平面上的点，通过线性变换来保持点之间的距离和角度不变。在模形式中，这四个数字必须是整数，并且矩阵的行列式必须为1。
有无限多个这样的矩阵集。在某些群中，这些矩阵可以用相对简单的规则描述。例如，在所有矩阵中，右上角和左下角的元素可能是偶数，而其他两个元素是奇数。或者可能右上角和左下角的元素可被11整除，而其他两个元素则是11的倍数加1。
可以通过这种关系定义的群——以及与这些群相关的模形式——就是被广泛研究过的同余群。但大多数2乘2矩阵集合不能以好的方式进行特征化，使得它们及其相关的模形式成为非同余的。
直到20世纪30年代末，同余模形式的研究开始超越非同余模形式的研究。这是当德国数学家埃里希·赫克（Erich Hecke）开发了一套工具箱，使他能够确定模形式的许多属性并将它们与其他重要的数学对象联系起来。
赫克的方法只适用于同余群及其模形式。非同余群缺乏使赫克工具箱有效的额外结构。因此，非同余模形式注定被忽视。这并不是说它们没有任何特殊的结构，只是这种结构隐藏在表面下。在访问这种结构时，数学家束手无策。他们甚至不知道从何开始。
q展开式
阿特金和斯温顿-戴尔想要更深入地了解非同余模形式及其可能隐藏的秘密。为了研究某个给定的模形式，数学家经常将其表示为一种称为q展开式（一种特殊的幂级数）的无限和，然后分析该展开式的系数。已经知道，如果给定的模形式是同余的，则其系数的分母永远不会大于某个固定值。
在20世纪60年代，阿特金和斯温顿-戴尔计算了许多模形式的q展开式。他们注意到，如果一个模形式是非同余的，则其相关序列中的分母会无限增长。真的能够这样轻易地区分两种模形式吗？数学家们在1968年加州的一个会议上提出了他们的观察结果，暗示无界分母可能是非同余模形式的普遍特征。这是一个非常方便的检验工具，对于数论学家来说非常有用。
但没有人能够证明无限分母猜想。
然后在2021年9月，Calegari、Dimitrov和Tang发表了一篇50页的证明。作者希望迈出证明无界分母猜想的第一步。
回到过去的方式
Calegari、Dimitrov和Tang并没有打算解决无界分母猜想。在2019年末，他们希望证明某个数字（类似黎曼ζ函数的一个值）是无理数——就像根号2一样。（他们的最终目标是证明这个数字和其他类似的数字是超越数，也就是说，像π和e这样的数字不能写成具有整数系数的多项式方程的解。
这个问题在表面上完全不相关。但是在2021年1月1日，Dimitrov描述了一个美好的想法：也许他们在前一年开发的技术可以被重新利用来证明无限分母猜想。他们试了试，七个月内就得到了证明。
首先，他们考虑了两个空间：所有带有有界分母的模形式空间和所有同余模形式空间。根据无界分母猜想，这两个空间应该是相同的。由于这些空间满足某些性质，数学家们只需要证明它们大小相同。他们相对容易地计算了第二个空间的大小，得到了同余模形式的粗略计数。但是很难估算第一个空间的大小。他们必须结合许多不同的技术，包括超越数论的技术。
使用这些方法，他们证明了带有有界分母的模形式空间最多只能有一定的大小。这个最大的大小比同余模形式空间的大小略大。这一步实际上是证明的“真正核心。然后这三人需要弥合两个空间之间的差距。这将确立任何带有有界分母的模形式都必须是同余模形式的事实。
于是他们假设相反的情况：存在一个分母有界但不同余的模形式。然后三人证明了这个不同余的分母有界的模形式的存在意味着存在许多其他分母有界但不同余的模形式。这意味着甚至一个这样的形式也不存在。他们证明了阿特金和斯温顿-戴尔几十年前的猜想。
数学家对这项工作使用的技术比结果本身更感兴趣。这些想法以前从未被用于研究模形式的算术。尽管模形式的研究最初是复分析领域的一部分，但当前的工作已成为数论和代数几何领域的研究对象。这篇新论文标志着对复分析的回归，这是一种令人耳目一新的旧观点。
寻找新理论
对于不同余的分母猜想，它还出现在理论物理中。在20世纪70年代，数学家注意到一个叫做“怪兽群”的物体和一个叫做“j-函数”的模形式之间有一个奇怪的联系。j-函数的系数恰好反映了怪兽群的某些特性。
在数学上，怪兽群（Monster group）是一个非常大的、高度对称的离散数学对象，它具有很多神秘的性质，被认为是“最大的简单群”，在数学中有着重要的地位。 而j-函数（j-invariant），则是一种特殊的椭圆函数的不变量，与模形式密切相关。j-函数在数学中有着广泛的应用，包括数论、代数几何和物理学等领域。
后来的研究表明，这种联系是由于这个群和这个模形式都与一个重要的粒子相互作用模型——二维共形场论有关。
二维共形场论（2D Conformal Field Theory，简称CFT）是理论物理学中的一个重要研究方向。它研究的是二维平面上的量子场论，特别是在共形对称性下的理论。共形对称性是指物理系统在放缩和旋转下保持不变，这是一个非常强的对称性，它在数学中也有着广泛的应用。
但是把怪兽群与j-函数联系起来的共形场论只是无限个共形场论中的一个例子。尽管这些理论不能描述我们生活的宇宙，但理解它们可以揭示更现实的量子场论可能的行为方式。
因此，物理学家继续通过研究它们相关的模形式来研究共形场论（在这个背景下，物理学家使用更一般的模形式概念，称为向量值模形式）。为了理解特定的共形场论，你必须证明它的模形式是同余的。
将所有共形场论分类至关重要，物理学家称之为模量引导计划。一旦你知道它是同余的模形式，这就让你在这个计划中取得了巨大的进展。物理学家开发了一个框架，允许假设模形式具有同余属性（但这并不等同于有一个严格的数学证明）。
Calegari，Dimitrov和Tang对无界分母猜想的证明突破了这一点。这是因为事实证明，与共形场论相关联的模形式总是具有整数系数。根据定义，整数的分母为1，这意味着它们的分母总是有限的。由于无界分母猜想只与同余模形式相关联，因此不再需要做出假设。你甚至不需要了解共形场论的任何内容。新证明自动地为所有这些情况提供了同余。
这是几十年来一直存在的问题。现在它终于得到解决了，这是一个奇迹。
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