摘 要

本文先将黎曼（Riemann）函数与迪利克雷（Dirichlet）函数这两个病态函数进行对比作为引入，之后给出了黎曼函数的定义，用matlab绘制了函数的大致图像，讨论并证明了相应的 条性质（有界性、周期性、对称性、连续性、可微性、黎曼可积性、勒贝格（Lebesgue）可积性、对称性和极大性），最后，将黎曼函数应用到数学分析日常学习中的几个知识点用于加深理解。

1 引言

2 黎曼函数的定义与性质

2.1 定义及函数图形

2.2 8 条性质及证明

3 在学习中运用黎曼函数7

3.1 用于深入理解大学数学与中学数学研究对象不同

3.2 用于深入理解函数连续与可导之间的关系

3.3 用于加深理解处处取得极值函数与常值函数的联系与区别

3.4 用于加深理解不定积分与定积分的联系与区别

引 言

同狄利克雷函数一样，黎曼函数是数学分析中病态函数的典型例子,它们没有解析式,没有图形,没有实际背景, 是随着函数概念的深化而人为构造出来的.它们常可以从正面或反面说明分析中某些重要概念,如连续与可导之间的关系、处处取得极值函数与常值函数的联系与区别、不定积分与定积分的联系与区别等, 因此对它的性质进行系统的了解是有益的.这两个典型的病态函数性质对比表如下表所示。

可以看出，黎曼函数相比于迪利克雷函数，一个重要的区别就是它是黎曼可积的，这为本文重点讨论黎曼函数埋下了伏笔。

参考文献

[1] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]．北京:高等教育出版社,2021.

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[4]黄慧,陈辉.黎曼函数的极大性及其应用[J].大学数学,2010,26(06):64-66.

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