在现实生活中，人们常将人类与蚂蚁相提并论，甚至认为蚂蚁是一种二次元生物。这是因为蚂蚁的视力很弱。基本上，是靠嗅觉和触觉来判断的方向。因此，蚂蚁眼中的世界是二维的，由简单的点和线组成。但是我们看到的蚂蚁显然是三维的，至少不是一张纸。针对这样的质疑，科学家们尝试用几何学让我们了解各个维度的区别，于是出现了特殊的模型，他们就是莫比乌斯焕和克莱因瓶。
莫比乌斯戒指大家都很熟悉了。毕竟，“莫比乌斯戒指”是近年来最畅销的首饰之一。人们认为它可以代表永恒和无限的爱。它的制作方法非常简单。我们剪一张A4纸，剪出一条细纸条，抓住两端扭转180°，然后粘在一起。一个简单的莫比乌斯戒指就可以做出来了Alright。但是另外一个模型克莱因瓶是无法创造出来的，它只能存在于电脑程序建模的中，这是为什么呢？原来它不属于我们的三次元世界，而是来自更高的四次元空间。
拓扑
在探索莫比乌斯戒指和克莱因瓶的奥秘之前，我们需要先了解一下它们的来历。其实，它们最初都起源于数学中的几何学，现在都成为了几何学的一个重要分支。
这门学科最早发展于19世纪，其起源可以追溯到18世纪。它主要用于研究几何模型或空间科学。其特殊之处在于拓扑图形的性质，即无论怎么弯曲、收缩、变形，都可以保持不变，，所以又叫“橡胶几何”。
拓扑学研究的图形会让人觉得很费解，让人无法理解为什么要研究这些奇怪的图形。在这里我要说明一下，在我们的惯性思维中，我们看到的所有图形都是在欧几里德几何定义下的，是一个“正常”的样子。
但是拓扑最大程度的跳出了这个定义。几何图形或模型在这里有更多的自由度，因此看起来怪怪的，甚至更抽象。欧几里德几何定义的世界是完全不同的。因此，可以说拓扑学属于纯思维逻辑的理论，大家不要用惯性思维去看待这些图形是否有意义，这是对思维的一种误解。
鉴于拓扑学和相关定义的发展，这门课其实更像是一个思维游戏。大多数时候你需要依靠自己的想象力。如果只是用惯性思维来看的话，确实是一个非常无厘头的几何模型。但是如果你闭上眼睛想象一下，你会发现它和传统的数学是不一样的。它有精确的数字或概念规定。因此，拓扑在现实中很少使用。它更多地发生在思维层面。
下面要介绍的莫比乌斯环和克莱因瓶是典型的拓扑学研究对象，所以希望大家在观察这两个图形的时候，跳出直觉世界的局限，不要把注意力放在争论上有没有道理，有没有道理。
什么是莫比乌斯焕？
莫比乌斯环也可称为莫比乌斯腰带，是1858年由德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯特的共同发现的。它有别于普通的有两个面的纸，只有一个面，它的边界是由一条闭合曲线组成的。如果把一只蚂蚁放在一张普通的纸上，蚂蚁要想到达另一边，就必须越过纸上的“边界”，而纸上的“边界”却神奇地消失了莫比乌斯环有了，蚂蚁不用越过任何边就可以到达另一边，甚至可以回到起点。
莫比乌斯焕制作比较简单，所以这些年经常出现在大众视野中。但是再细分一下，又可以分为两种不同的，是根据大家拧纸带的方向来决定的。向左转会出现左转莫比乌斯焕，向右转会出现右转的。不知道商家在做戒指的时候会不会注意到这个功能。它可以用来区分男性戒指和女性戒指。毕竟刚好对应男左女右。
很多人会认为这只是一个简单的转折。说白了就是一张纸条，下面我们就来看看莫比乌斯戒指和普通戒指的区别吧。首先，让我们使用裁剪看看它们有何不同。沿中心线裁剪一个普通的纸环，得到一个与原纸环周长相同但宽度更窄的环。但如果是，莫比乌斯戒指沿线剪开，得到的纸戒指的周长是原来纸戒指的两倍。有兴趣的可以剪下来试试看。
如果在莫比乌斯圆圈上画两条等距线，然后剪开，不仅可以得到一个普通的圆圈，圆周长是原圆圈的两倍，宽度比原圆圈窄三分之二。它的中心部分又得到一个独立的“窄”莫比乌斯圆圈，比原来的圆圈宽度窄了三分之二，周长与原来的圆圈一样长。
有人可能会疑惑，这种剪纸实验真的能证明它和普通的戒指不一样，但还有什么呢？从上面的裁剪结果可以看出，我们是在三维世界中对它进行裁剪，但是我们无法还原，而是会裁剪出一个新的面貌。这部分呈现“非三维”状态，我们无法通过外力改变。因此，可以断定，莫比乌斯焕其实是一个非三维物体，而我们之所以能够做出来，完全是因为在其上放置了两个三维坐标系。
克莱因瓶居然是双莫比乌斯戒指？
充分了解了莫比乌斯焕之后，我们可以看看它的升级版“克莱因瓶”。为什么这么说呢，因为数学家已经证明了这两个模型之间是有联系的。中国数学家谭向白先生明确指出，克莱因瓶实际上是由两个由两个姚环组成的组成的。
克莱因瓶是1882年由数学家费利克斯·克莱因发现的。与上面莫比乌斯焕的出生时间相比，克莱因瓶更年轻。这个瓶子也是没有边界的，整个表面都是一个封闭的曲面。你可能很难想象一个封闭的曲面。事实上，球面上的是一个封闭的曲面。如果有人问你，地球有没有边界？你一定很纠结。感觉它就在那里，但它不是在球体上。这种无方向性的平面，不分内外的。
这个瓶子好像没有底，脖子拉长了。好像是穿过瓶壁和瓶底相连的，但是如果没有穿过电脑建模的话。如果我们把这只蚂蚁放在克莱因瓶上的莫比乌斯环上，那么就可以穿过瓶子的颈部，从瓶子的外面爬到瓶子的里面。但是我们都知道，克莱因瓶是没有内外之分的。这个比喻只是为了让大家明白。
克莱因瓶造不出来的原因
目前市面上一些商家出售的克莱因瓶，可以清楚的看到瓶颈在到达底部之前就伸进了瓶壁。所以，按照克莱因瓶的定义，这些都是假货，真正的克莱因瓶是造不出来的，为什么呢？
一起来看看莫比乌斯戒指可以制造的属性吧。如前所述，它是一个非三维物体，但用来制作它的纸条本质上是二维的。小时候看的动画片，大多也是二次元的，上面的人物薄如纸，所以我们也叫他们“纸人”。所以莫比乌斯焕其实是用二维变换来证明一些三维的理论。
但是克莱因瓶本质上已经属于四维空间了，所以我们在三维空间做的克莱因瓶看起来不伦不类，和它的本质完全不符。克莱因瓶的连续性是其无法制造的根本原因。在实际生产过程中，、不可避免地会与瓶壁表面发生相交，导致连续性的被打断。所以我们看到的那些商家卖的克莱因瓶，早就失去了连贯性和片面性。这种瓶子根本不符合克莱因瓶理论。
所以，瓶颈和瓶壁在三维世界中的交点就是它们在三维坐标系中共享一个位置。如果放在四维空间里，就不会有交集的表现
。您可以尝试想象将那个位置提升到瓶壁周围。就像当初数学家为了方便我们用线来理解莫比乌斯焕举的例子一样，如果在纸上画一个8，那么它的中间位置一定相交。
但是利用拓扑学，把橡皮筋围成一个8字形，那个位置没有交点，你可以很容易地把最上面的部分挑出来。正是这种方式，让莫比乌斯焕从单纯的二次元，跃升到了三维。虽然莫比乌斯焕本质上不是三维物体，但至少有一部分是三维的，所以我们可以按照它的定义来制作模型。真正的克莱因瓶需要放置在一个四维空间中，才能体现出连续闭曲面的特性。
多维空间很难详细描述
人类的想像力已经很丰富了，我们从不局限于现在的所见所想，所以我们一直在寻找外星生命，探索多维宇宙。多维性是否存在的问题爱因斯坦一个世纪前在他的相对论中就提出了，“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”，在这个理论中时间空间与空间相交，不是传统意义上的平行线。有兴趣的可以去了解一下广义相对论中描述的弯曲时空，一定会打开新世界的大门。多维空间确实一定存在，但它的出现超出了我们的认知范围，类似于蚂蚁注视着人类的活动。他们无法理解我们建造的高楼大厦是什么，人类也难以理解超出现有思维局限的高维空间。看拓扑模型我们都会头晕，更别说描述高维空间了。
结语
《三体》在的结局中，的歌者文明给太阳系来了个双向陪衬，轻而易举的把我们的三维太阳系变成了二维的画面、将所有的球体直接压在一张纸上，这就是所谓的降维打击。
之所以不能制造出克莱因瓶，其实和降维打击有点类似，大概是因为四维空间对三维空间的限制！如果我们不能将构建在四维空间中的模型形象化来直观地理解四维空间，那么克莱因瓶在我们眼中永远是一个长相奇特的“瓶子”。
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