一、解答题

1．（2021·浙江·金华海亮外国语学校九年级阶段练习）已知二次函数的图象经过点（0，-3）．

(1)求这个二次函数的函数解析式；

(2)当

x取何值时，函数

y的值随着

x 的增大而增大；

(3)求图象与

x轴的交点坐标．

【答案】(1)

(2)当时，

y随

x的增大而增大

(3)和

【分析】（1）把点（0，-3）代入，即可求解；

（2）根据抛物线的性质可得对称轴为直线，抛物线开口向上，即可求解；

（3）令，求出方程的根，即可求解．

解：把点（0，-3）代入得：

解得：，

∴这个二次函数的函数解析式为；

（2）

解：∵，对称轴为直线，

∴抛物线开口向上，

∴当时，

y随

x的增大而增大；

（3）

解：令，则，

即，

解得：，，

∴图象与

x轴的交点坐标为和．

【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键．

2．（2022·浙江温州·二模）已知抛物线 （

a＜0）．

(1)若该抛物线的顶点在

x轴上，求其解析式；

(2)设点

P（

m，

y1），

Q（3，

y2）在抛物线上，若

y1＜

y2，求

m的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）把解析式化成顶点式，可得，可知，该抛物线的顶点坐标为（1，-

a-3），再根据该抛物线的顶点在

x轴上，可得-

a-3=0，解此方程，即可求得

a的值，进而求出解析式；

（2）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出

m的取值，即可求解．

解：∵，

∴抛物线的顶点坐标为（1，-

a-3），

∵该抛物线的顶点在

x轴上，

∴-

a-3=0，

解得

a=-3，

∴抛物线的解析式为；

(2)

解：∵，

∴抛物线的对称轴为直线

x=1，

∴点

Q（3，

y2）关于直线

x=1对称的点的坐标为（-1，

y2），

a＜0，

y1＜

y2，

∴或．

【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握运用二次函数的性质求解集是解题关键．

3．（2022·浙江丽水·九年级专题练习）如图，已知点在二次函数的图像上，且．

(1)若二次函数的图像经过点．

①求这个二次函数的表达式；

②若，求顶点到的距离；

(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点

M，

N在对称轴的异侧，求

a的取值范围．

【答案】(1)①；②

(2)

【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式；

②当时，此时为平行

x轴的直线，将代入二次函数解析式中求出，再由求出直线为，最后根据二次函数顶点坐标即可求解；

（2）分两种情形：若

M，

N在对称轴的异侧，；若

M、

N在对称轴的异侧，，

x1<2，分别求解即可．

解：①将点代入中，

∴，解得，

∴二次函数的表达式为：；

②当时，此时为平行

x轴的直线，

将代入二次函数中得到：，

将代入二次函数中得到：，

∵，

∴=，

整理得到：，

又∵，代入上式得到：，解出，

∴，即直线为：，

又二次函数的顶点坐标为(2，-1)，

∴顶点(2,-1)到的距离为；

（2）

解：若

M，

N在对称轴的异侧，，

x1+3>2，

x1>-1，

∴，

∴-1<，

∵函数的最大值为

y1=

a（

x1-2）2-1，最小值为-1，

y-（-1）=1，

a=，

∴，

∴；

M、

N在对称轴的异侧，，

x1<2，

∵，

∴，

∵函数的最大值为

y=

a（

x2-2）2-1，最小值为-1，

y-（-1）=1，

a=，

∴，

∴，

综上所述，

a的取值范围为．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像与性质及二次函数的最值等问题：当开口向上(向下)时，自变量的取值离对称轴越远，其对应的函数值就越大(越小) ．

4．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点

C在

x轴正半轴上．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点

C的坐标；

(3)为线段

AB上一点，，作轴交抛物线于点

M，求

PM的最大值与最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)最大值是，最小值是4

【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，然后把点、代入关系式进行计算即可解答；

（2）把代入（1）中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答；

（3）先求出解析式，然后计算当，，，的长度，然后设，，表示出的值，然后再进行计算即可解答．

解：∵抛物线的顶点在轴正半轴上，

∴设抛物线的解析式为，

把点、代入中可得：，

解得：舍去

或，

∴，

∴抛物线的解析式为：；

（2）

把代入中可得：，

∴，

∴点的坐标为；

（3）

设的解析式为：，

把点、代入中可得：，

解得：，

∴的解析式为：，

∵点为线段上一点，点为抛物线上一点，且，轴，

∴当时，，，

∴，

当时，，，

∴，

当时，，，

∴，

设，，

∴，

当时，的最大值为：，

∴的最大值是，最小值是4．

【点睛】本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，准确熟练地进行计算是解题的关键．

5．（2020·浙江温州·二模）如图，在直角坐标系中，以

A为顶点的抛物线（

a是常数，）交

y轴于点

B，轴交抛物线于另一点

C．

(1)求该抛物线的对称轴及点

C的坐标．

(2)直线（

k是常数，）经过

A，

C两点，求

a，

k的值．

【答案】(1)对称轴为：直线；

(2)，

【分析】（1）根据题目中的抛物线解析式，可以求得抛物线的对称轴和点

C的坐标；

（2）由（1）可得点的坐标，坐标分别代入直线解析式即可求得的值．

解：∵抛物线

∴该抛物线的对称轴是直线，

x=0时，

y=3，

即抛物线的对称轴是直线，点

B的坐标是（0，3）；

轴交抛物线于另一点

C．

∴关于对称轴对称，

(2)

解：∵（

k是常数，）经过，两点，

解得

解得

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．

6．（2022·浙江·宁波市兴宁中学一模）已知二次函数（是实数）．

(1)小明说：当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？

(2)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．

【答案】(1)对的，理由见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据顶点坐标即可得到当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动；

（2）由

P，

Q的纵坐标相同，即可求出对称轴为直线

a+2

m-1，则可得方程

a+2

m-1=2

m，从而求出

a的值，得出

P坐标为（-4，

c），代入解析式可得

c= = ，最后根据二次函数的性质即可证得结论．

解：设顶点坐标为（

y）

∵已知二次函数（是实数），

x=2

m，

y=3-4

m，

∴2

y=3，

y=-2

x+3，

∴当的值变化时，二次函数图象的顶点始终在直线

y=-2

x+3上运动，

故小明的说法是对的．

(2)

证明：点，都在该二次函数图象上，

∴对称轴为直线 ，

∴ ，

a=1，

∴点

P坐标为（-4，

c）

代入，得

c≤15．

【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

7．（2022·浙江台州·九年级期末）一条抛物线由抛物线平移得到，对称轴为直线，并且经过点．

(1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标；

(2)该抛物线由抛物线经过怎样平移得到？

【答案】(1)抛物线为

y =2（

x+1）2-7，顶点坐标是（-1，-7）；

(2)向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度

【分析】（1）根据平移的规律平移后的抛物线为

y＝2（

x+1）2+

k，代入点（1，1），即可求出解析式；

（2）由抛物线的顶点式，根据左加右减，上加下减可得出答案．

解：设所求抛物线为

y =2（

x+1）2+

k过（1,1）

则1 =2（1+1）2+

k ，

解得

k=-7，

∴所求抛物线为

y =2（

x+1）2-7.

顶点坐标是（-1，-7）

（2）

解：所求抛物线

y =2（

x+1）2-7是由抛物线

y =2

x2

向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到

【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式及图象的平移，掌握二次函数的顶点式

y＝

a（

x﹣

h）

2+

k对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．

8．（2022·浙江台州·九年级期末）二次函数图像上部分点的横坐标

x与对应纵坐标

y的值如下表：

-4

-3

-2

-1

0

1

2

y

5

0

-3

-4

-3

0

5

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）当

x>3时，求

y的取值范围．

【答案】（1）

y=（

x+1）2-4；（2）当

x>3时，

y>12．

【分析】（1）根据表格的特点可找到函数的顶点，设函数的顶点式，再代入一点即可求解．

（2）根据函数的图像与性质即可求解．

【详解】（1）由表格中函数值的对称性可得函数的顶点为（-1，-4）

设函数为

y=

a（

x+1）2-4

代入（1，0）得0=4

a-4

解得

a=1

∴函数为

y=（

x+1）2-4

（2）∵函数的对称轴为

x=-1，

a=1＞0

故当

x＞3时，

y随

x增大而增大

x=3时，

y=16-4=12

∴当

x>3时，

y>12．

【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．

9．（2021·浙江·杭州市采荷中学九年级期中）在平面直角坐标系中，函数

y＝

a（

x+1）（

x﹣3）（

a≠0）的图象经过点（2，3）．

（1）求

a的值；

（2）求该函数图象的顶点坐标和对称轴；

（3）自变量

x在什么范围内时，

y随

x的增大而增大？

【答案】（1）；（2）对称轴为直线，顶点坐标为；（3）当时，y随x的增大而增大

【分析】（1）将点代入函数表达式，即可求得答案；

（2）将二次函数的解析式化成顶点式，即可知道答案；

（3）根据抛物线开口方向和对称轴即可分析得到答案．

【详解】解：（1）∵函数的图象经过点

∴将点代入中，得

解得：

（2）∵

∴对称轴为直线，顶点坐标为

（3）∵

∴抛物线开口向下

又∵对称轴为直线

∴当时，y随x的增大而增大

【点睛】本题考查抛物线的性质，根据表达式求抛物线的顶点坐标和对称轴等知识点，灵活转化抛物线的三种表达式是解题关键．

10．（2021·浙江·杭州市文晖中学九年级期中）已知函数

y＝﹣（

x+2）2+2．

（1）函数图象的开口方向是 　 　，对称轴是 　 　；

（2）求图象与

x轴的交点坐标．

【答案】（1）向下，直线

x=-2；（2）图象与

x轴的交点坐标为（0，0）和（-4，0）．

【分析】（1）根据抛物线解析式中系数与图象的关系作答；

（2）令

y=0得到有关

x的一元二次方程，求解后即可得到与

x轴的交点坐标．

【详解】解：（1）

y=（

x+2）2+2中的

a=<0，则该抛物线的开口向下，

对称轴是直线

x=-2；

故答案为：向下，直线

x=-2；

（2）令

y=0得到（

x+2）2+2=0，

解得：

x=0或

x=-4，

∴图象与

x轴的交点坐标为（0，0）和（-4，0）．

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及与

x轴的交点．二次函数的顶点式是：

y=

a（

h）2+

k（

a≠0，且

a，

h，

k是常数），它的对称轴是直线

h，顶点坐标是（

h，

k）．

11．（2021·浙江·杭州市余杭区维翰学校九年级阶段练习）已知二次函数

y＝

x2﹣2

x﹣3．

（1）用配方法将

y＝

x2﹣2

x﹣3化成

y＝

a（

x﹣

h）2+

k的形式．

（2）写出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．

（3）当﹣2＜

x＜3时，直接写出函数

y的取值范围．

【答案】（1）

y=（

x-1）2-4；（2）开口向上，对称轴为

x=1，顶点坐标为（1，-4）；（3）-4≤

y＜5．

【分析】（1）利用完全平方公式进行配方即可；

（2）依据配方后的解析式进行判断即可；

（3）观察图象即可求解．

【详解】解：（1）

y=

x2-2

x-3=

x2-2

x+1-4=（

x-1）2-4．

（2）

a=1＞0，抛物线的开口向上，

抛物线的对称轴为

x=1，顶点坐标为（1，-4）．

（3）观察图象可得，当-2＜

x＜3时，函数

y的取值范围是-4≤

y＜5．．

【点睛】本题考查了二次函数与

x轴的交点，数形结合是解题的关键．

12．（2021·浙江湖州·九年级阶段练习）已知抛物线的顶点为，且经过点，求此抛物线的解析式．

【答案】

【分析】由题意二次函数的图像的顶点为（﹣2，﹣4），可设二次函数为：

y＝

a（

x+2）2﹣4，且函数过点（1，）代入函数的解析式求出

a值，从而求出二次函数的解析式．

【详解】解：∵二次函数的图像的顶点为（﹣2，﹣4），

∴可设函数解析式为：

y＝

a（

x+2）2﹣4，

∵函数图像经过点（1，）

a×9﹣4＝，

∴二次函数的表达式为：．

【点睛】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，巧妙设函数的解析式是关键，根据题意设为顶点式，从而减少运算量．

13．（2021·浙江·台州市书生中学九年级开学考试）已知二次函数的顶点坐标为，且经过点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）判断点是否在该函数图象上，并说明理由．

【答案】（1）；（2）点

C在函数图像上，见解析

【分析】（1）根据点

A的坐标设出二次函数的顶点式，再代入

B的值即可得出答案；

（2）将

C的值代入函数解析式即可得出答案．

【详解】解：（1） 设二次函数的解析式是，

∵ 二次函数的顶点坐标为 ，

∴，

又 经过点 ，

∴ 代入得： ，

解得： ，

∴函数解析式为：；

（2）将x=2代入解析式得，

∴点 在该函数图象．

【点睛】本题考查的是待定系数法求函数解析式，解题关键是根据顶点坐标设出顶点式．

14．（2020·浙江·诸暨市开放双语实验学校九年级期中）已知二次函数

（1）求出函数图象的顶点坐标和对称轴；

（2）直接写出当满足什么条件时，函数值随着的增大而减小？

【答案】（1）顶点坐标（2，4）；对称轴直线

x=2 ；（2）

x2

【分析】（1）根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，再根据顶点式确定对称轴及顶点坐标；

（2）根据二次函数图象性质，由对称轴及开口方向确定自变量

x的取值范围．

【详解】解：（1）

y=-（

x2-4

x2-4

x+4）+4，

x-2）2+4，

对称轴为直线

x=2，顶点坐标为（2，4）；

（2）∵

y=-（

x-2）2+4，

a＜0，函数图象的开口方向向下，对称轴为直线

x=2，

∴当

x2时，函数值

y随着自变量

x的增大而减小．

【点睛】本题考查了用配方法将抛物线一般式转化为顶点式的方法，顶点式与对称轴、顶点坐标的关系以及二次函数的增减性．

15．（2020·浙江·九年级期中）已知某二次函数的图象经过点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）求该二次函数的顶点坐标和最值．

【答案】（1）；（2），-4

【分析】（1）把，代入求解即可；

（2）把一般式变为顶点式即可．

【详解】解：（1）把，代入得：

解得：

∴二次函数的解析式为

（2）∵

∴顶点坐标为

∴当时，

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握一般式与顶点式之间的转化是解题的关键．

16．（2020·浙江杭州·九年级期中）已知二次函数

（1）求出该函数的顶点坐标，图象与

x轴的交点坐标，

（2）当

x在什么范围内时，

y随

x的增大而增大？当

x在什么范围内时，

y随

x的增大而减小？当

x在什么范围内时，？

【答案】（1）顶点坐标，函数图象与

x轴交点坐标，；（2）当时，

y随着

x的增大而增大，当时，

y随着

x的增大而减小；当时，

【分析】（1）根据顶点坐标的公式即可求解，然后令

y=0解方程求出

x的值，即可得到与

x轴的坐标即可；

（2）根据函数图象分别解答即可；

【详解】（1）∵，，，

∴， ，

∴顶点坐标，

当时，，

∴，，

∴函数图象与

x轴交点坐标，

（2）由（1）知函数的对称轴为：x＝1，

∵a＝﹣2＜0，

∴函数图象开口向下，

∴当时，

y随着

x的增大而增大，

当时，

y随着

x的增大而减小；

由（1）值函数图象与x轴的交点坐标为：，

∴当时，

【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数的性质，涉及到二次函数的图象顶点坐标、二次函数的对称轴、二次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质．

17．（2021·浙江湖州·九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，与轴交于点和点，与轴交于点，点的横坐标是．

（1）求，两点的坐标；

（2）平移该二次函数的图象使点恰好落在点的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）．

【分析】（1）由二次函数的对称轴，结合点的横坐标是可得，继而解得二次函数的解析式，将其转化为交点式，令即可解题；

（2）由（1）中解析式化为顶点式解析式，再根据抛物线的平移性质，结合使点恰好落在点的位置上，据此解题．

【详解】解：（1），解得，

∴点的坐标为，点的坐标为；

（2）化成顶点式为，

∵平移不改变抛物线图象的开口方向及开口大小，

∵，

∴平移后的抛物线为．

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平移等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

18．（2020·浙江·九年级期末）在平面直角坐标系中，函数的图像经过点

求的值；

求该函数图像的顶点坐标和对称轴；

自变量在什么范围内时，随着的增大而增大？

【答案】 ；顶点坐标（1，4），对称轴为；

【分析】(1)函数的图像经过点代入求解即可；

(2) 把代入配方为顶点式，利用顶点坐标定义，和对称轴公式即可求出；

(3)由，开口向下，在对称轴左侧随着的增大而增大，自变量时，随着的增大而增大．

【详解】解: (1)函数的图像经过点，

则，

(2) ，

该函数图像的顶点坐标(1,4),对称轴x=1；

(3)∵，开口向下，在对称轴左侧随着的增大而增大，

∴自变量时，随着的增大而增大．

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点与对称轴，二次函数的性质，掌握定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点与对称轴，二次函数的性质是解题关键．

19．（2022·浙江·九年级专题练习）已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围．

【答案】m＞1

【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(-1，m-1)，再利用第二象限点的坐标特征得到m-1＞0，然后解不等式即可．

【详解】解：∵y=x2+2x+m=(x+1)2+m-1，

∴抛物线的顶点坐标为(-1，m-1)，

∵抛物线y=x2+2x+m顶点在第二象限，

∴m-1＞0，

∴m＞1．

故答案为m＞1．

【点睛】本题考查了配方法，以及二次函数

y=

a(

h)2+

k(

a，

b，

c为常数，

a≠0)的性质，熟练掌握二次函数

y=

a(

h)2+

k的性质是解答本题的关键．

y=

a(

h)2+

k是抛物线的顶点式，

a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(

h，

k)，对称轴是

h．

20．（2021·浙江宁波·九年级期末）在直角坐标系中，已知直线

y＝2

x﹣1分别与

x轴和

y轴交于

A，

B两点．将抛物线

y＝

x2平移，得抛物线

C，使抛物线

C过

A，

B两点．

（1）求抛物线

C的函数表达式．

（2）写出抛物线

C的顶点坐标和对称轴．

【答案】（1）

y＝（

x）2；（2）抛物线

C的顶点坐标为（，），对称轴为直线

x．

【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出点A、B的坐标，再根据抛物线平移的性质设抛物线

C的解析式为

y＝（

h）2+

k，利用待定系数法即可求解；

（2）根据抛物线性质即可求出顶点坐标和对称轴．

【详解】解：（1）∵直线

y＝2

x﹣1与

x轴交于

A点，与

y轴交于

B点，

A（，0），

B（0，﹣1），

设抛物线

y＝

x2平移，得抛物线

C的解析式为

y＝（

h）2+

k，

又∵抛物线

C过点

A、

B点，

∴，

解得

h，

k，

抛物线C的解析式为

y＝（

x）2；

（2）由

C的解析式

y＝（

x）2可知，抛物线

C的顶点坐标为（，），对称轴为直线

x．

【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式等知识点，理解平移前后抛物线的开口方向和大小不变，得到a不变是解题关键．

21．（2020·浙江省义乌市稠江中学九年级阶段练习）已知抛物线经过．

（1）求抛物线的解析式．

（2） 求抛物线的对称轴，并指出当x取何值时，y随着x的增大而减小．

【答案】（1）；（2）对称轴，当时，y随着x的增大而减小．

【分析】（1）将点代入抛物线解得b的值，即可解题；

（2）将抛物线解析式化为顶点式，得到其对称轴，再结合抛物线的图象性质、增减性解题即可．

【详解】（1）将点代入抛物线得：

（2）

抛物线的对称轴，

抛物线的开口向上，在对称轴的左侧，即当时，y随着x的增大而减小．

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求解析式、将一般式化为顶点式、二次函数的对称轴、增减性等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

22．（2020·浙江·九年级期中）已知抛物线经过点，若点，都在该抛物线上，求抛物线的解析式，并比较

s与

t的大小．

【答案】

【分析】根据抛物线经过点，可以求的的值，即可求得抛物线的开口方向；然后根据二次函数的性质可以求得与的大小．

【详解】解：抛物线经过点，

此函数的图象开口向下，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，

点，，都在该抛物线上，

【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

23．（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）已知二次函数

y=

x2+4

x-5．

（1）求该函数图象的顶点坐标．

（2）求此抛物线与

轴的交点坐标．

【答案】（1）顶点坐标（-2，-9）；（2）（1，0）、（-5，0）

【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标；

（2）令y=0，解方程，即可求出抛物线与x轴的交点坐标．

【详解】解：（1）∵y=x2+4x-5=（x-2）2-9，

∴顶点坐标为（-2，-9）；

（2）令y=0，则x2+4x-5=0，

解得x=1，x=-5．

所以抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（-5，0）．

【点睛】此题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点及二次函数的三种形式，都是二次函数的基础知识，要求学生熟练掌握．

24．（2020·浙江·绍兴市锡麟中学九年级阶段练习）已知抛物线的顶点坐标是（2，-3），且经过点（1，-2.5）

（1）求这个抛物线的函数表达式，并作出这个函数的大致图像.

（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？

【答案】（1）y=(x-2)-3；图像见解析（2）x≤2

【分析】（1）由题意可以写出抛物线的顶点式表达式，再由抛物线经过点（1，-2.5）可以确定顶点式的参数，从而得到抛物线的函数表达式，并作出函数的大致图像；

（2）根据（1）得到的函数图象即可得到y随x的增大而减小的自变量的区间．

【详解】（1）由于顶点坐标是（2，-3），所以可设y=a(x-2)-3 ，

把点（1，－2.5）代入得： -2.5=a(1-2)-3 ，解之可得 a=，所以y=(x-2)-3，

由函数解析式可得函数的大致图象如下：

（2）由（1）的函数图象可知当x≤2时，y随x的增大而减小．

【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质是解题关键．

25．（2022·浙江金华·九年级期末）已知抛物线．

(1)求抛物线与

x轴的交点坐标．

(2)求抛物线的顶点坐标．

【答案】(1)、

(2)

【分析】（1）令，解一元二次方程，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标；

（2）将抛物线一般式化成顶点式，即可求出顶点坐标．

（1）解：令， ，∴抛物线与轴的交点坐标为：、

（2）解：∵∴抛物线的顶点坐标为：

【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点坐标、将二次函数一般式化成顶点式等知识点，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．

26．（2022·浙江·九年级专题练习）已知二次函数

y=

x2+

mx+

m2?3（

m为常数，

m>0）的图象经过点

P(2，4)．

(1)求

m的值；

(2)判断二次函数

y=

x2+

mx+

m2?3的图象与

x轴交点的个数，并说明理由．

【答案】(1)

m=1

(2)二次函数的图象与

x轴有两个交点，理由见解析．

【分析】（1）把

P(2，4)代入

y=

x2+

mx+

m2?3即可求得

m的值；

（2）首先求出

Δ=

b2-4

ac的值，进而得出答案．

解：∵二次函数

y=

x2+

mx+

m2?3图象经过点

P(2，4) ，

∴4=4+2

m+

m2?3，

m2+2

m?3=0，

解得：

m1=1，

m2=?3，

又∵

m>0，

m=1；

（2）

解：由（1）知二次函数

y=

x2+

x?2，

Δ=

b2?4

ac=12+8=9>0，

∴二次函数

y=

x2+

x?2的图象与

x轴有两个交点．

【点睛】此题主要考查了抛物线与

x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．

27．（2022·浙江温州·模拟预测）已知二次函数

y＝

ax2+

bx﹣2（

a≠0）的图象与

x轴交于点

A、

B，与

y轴交于点

C．

(1)若点

A的坐标为（4，0）、点

B的坐标为（﹣1，0），求

a+

b的值；

(2)若

y＝

ax2+

bx﹣2的图象的顶点在第四象限，且点

B的坐标为（﹣1，0），当

a+

b为整数时，求

a的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入

A、

B坐标，求出

a、

b的值即可得解；

（2）根据抛物线顶点在第四象限，又与

x轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即

a＞0，根据顶点在第四象限得出，求出

a的取值范围，进而得出

a+

b的取值范围，即可求解．

代入

A、

B坐标，可得：

解得，

a+

b=-1；

(2)

∵抛物线顶点在第四象限，又与

x轴有两个交点，

∴抛物线的开口向上，即

a＞0，且抛物线对称轴，

∵抛物线过

B点(-1,0)，

∴代入

B点坐标可得：

a-

b-2=0，则有

b=

a-2，

∴，

解得

a＜2，

∴，

a+

b=

a+

a-2=2

a-2，

∴，

a+

b是整数，

a+

b=

a+

a-2=2

a-2为整数，

∴2

a-2可以为-1,0,1，

a可以为，1，．

【点睛】本题考查了求解抛物线与

x轴的交点、抛物线函数图象的坐标特征等知识，根据抛物线顶点在第四象限，又与

x轴有两个交点，得到抛物线的开口向上，即

a＞0，是解答本题的关键．

28．（2022·浙江绍兴·九年级期末）已知二次函数表达式为

y=x2-4

x+1．

(1)求出这个二次函数图象的对称轴；

(2)求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点坐标．

【答案】(1)直线

x=2

(2)与

x轴的交点坐标为(2+,0)和(2-,0)，与

y轴的交点坐标为（0，1）

【分析】（1）将抛物线函解析式配成顶点式，即可得出抛物线对称轴；

（2）令

x=0，求出

y值即可得到抛物线与

y轴的交点坐标，令

y=0，求出

x值，即可得出抛物线与

x轴的交点坐标．

解：∵

y=x2-4

x+1=(

x-2)2-3，

∴抛物线的对称轴为直线

x=2，

答：这个二次函数图象的对称轴为直线

x=2；

(2)

解：令

x=0，则

y=1，

∴这个二次函数的图象与

y轴的交点坐标为(0,1)，

y=0，则

x2-4

x+1=0，

解得：

x1=2+，

x2=2-，

∴这个二次函数的图象与

x轴的交点坐标为(2+,0)和(2-,0)．

【点睛】本题考查二次函数图象性质和图象与坐标轴交点，将函数解析式化成顶点式是解题的关键．

29．（2022·浙江杭州·九年级期末）已知二次函数的图象经过点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)求二次函数的图象与轴的交点坐标．

【答案】(1)

y＝

x 2+

x﹣；

(2)（0，﹣）．

【分析】（1）利用待定系数法，把代入函数解析式即可求；

（2）令

x＝0，求得

y的值即可得出结论．

解：∵二次函数

y＝

a（

x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），

a（﹣5+1）2﹣2＝6．

解得：

a＝．

∴二次函数的表达式为：

y＝（

x+1）2﹣2，即

y＝

x 2+

x﹣；

(2)

解：令

x＝0，则

y＝×（0+1）2﹣2＝﹣，

∴二次函数的图象与

y轴的交点坐标为（0，﹣）．

【点睛】本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．

30．（2022·浙江杭州·九年级期末）已知二次函数

y＝

a（

x﹣1）2﹣3（

a≠0）的图象经过点（2，0）．

(1)求

a的值．

(2)求二次函数图象与

x轴的交点坐标．

【答案】(1)3

(2)（2，0）和（0，0）

【分析】（1）将（2，0）代入函数表达式，求出

a值即可；

（2）根据所得函数表达式，令

y=0，求出

x值，可得坐标．

解：∵二次函数

y＝

a（

x﹣1）2﹣3（

a≠0）的图象经过点（2，0），

∴0＝

a（2-1）2-3，

解得：

a=3；

(2)

由（1）可知：二次函数的表达式为

y＝3（

x-1）2-3，

y=0，则3（

x-1）2-3=0，

解得：

x=2或

x=0，

∴二次函数图象与

x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．

【点睛】本题考查了二次函数的表达式，与

x轴的交点问题，解题的关键是求出函数表达式．