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第十四届全国大学生数学竞赛已经圆满结束！第十五届报名即将开始，初赛大概在11月第二周的周六举行，决赛：次年3月底或4月初举行。

本文主要为同学们介绍：

一、数学竞赛非数类&数学类考试内容

二、竞赛书籍推荐

三、历年竞赛真题分享

全国大学生数学竞赛

全国大学生数学竞赛竞赛考试内容

01

初赛试题覆盖课程内容

非数学类：高等数学
数学类：数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%

非数学类初赛

高等数学

1.函数 极限连续

（1）函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立。

（2）函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性。

（3）复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数。

（4）数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限。

（5）无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较。

（6）极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限。

（7）函数的连续性 (含左连续与右连续) 、函数间断点的类型。

（8）连续函数的性质和初等函数的连续性。

（9）闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理)。

2.一元函数微分学

（1）导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线。

（2）基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性。

（3）复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。

（4）高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数。

（5）微分中值定理, 包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理等。

（6）洛必达 (L’Hospital) 法则与求未定式极限。

（7）函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (水平、铅直和斜渐近线) 、函数图形的描绘。

（8）函数最大值和最小值及其简单应用。

（9）弧微分、曲率、曲率半径。

3.一元函数积分学

（1）原函数和不定积分的概念。

（2）不定积分的基本性质、基本积分公式。

（3）定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式。

（4）不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。

（5）有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。

（6）广义积分。

（7）定积分的应用: 平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值等。

4.常微分方程

（1）常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等。

（2）变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利 (Bernoulli) 方程、全微分方程。

（3）可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程。

（4）线性微分方程解的性质及解的结构定理。

（5）二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程。

（6）简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积等。

（7）欧拉 (Euler) 方程。

（8）微分方程的简单应用。

5.向量代数和空间解析几何

（1）向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积。

（2）两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角。

（3）向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦。

（4）曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程。

（5）平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离。

（6）球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形。

（7）空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

6.多元函数微分学

（1）多元函数的概念、二元函数的几何意义。

（2）二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质。

（3）多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件。

（4）多元复合函数、隐函数的求导法。

（5）二阶偏导数、方向导数和梯度。

（6）空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线。

（7）二元函数的二阶泰勒公式。

（8）多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

7.多元函数积分学

（1）二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算 (直角坐标、极坐标) 、三重积分的计算 (直角坐标、柱面坐标、球面坐标) 。

（2）两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系。

（3）格林 (Green) 公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数。

（4）两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系。

（5）高斯 (Gauss) 公式、斯托克斯 (Stokes) 公式、散度和旋度的概念及计算。

（6）重积分、曲线积分和曲面积分的应用 (平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)。

8.无穷级数

（1）常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件。

（2）几何级数与 p 级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz) 判别法。

（3）任意项级数的绝对收敛与条件收敛。

（4）函数项级数的收敛域与和函数的概念。

（5）幂级数及其收敛半径、收敛区间 (指开区间) 、收敛域与和函数。

（6）幂级数在其收敛区间内的基本性质 (和函数的连续性、逐项求导和逐项积分) 、简单幂级数的和函数的求法。

（7）初等函数的幂级数展开式。

（8）函数的傅里叶 (Fourier) 系数与傅里叶级数、狄利克雷 (Dirichlet) 定理、函数在 [−l, l]上的傅里叶级数、函数在 [0, l] 上的正弦级数和余弦级数。

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数学类初赛

数学分析/高等代数/解析几何

(一）数学分析

1.集合与函数

（1）实数集、有理数与无理数的稠密性, 实数集的界与确界。

（2）n 维 Euclid 空间的基本概念与性质: 例如 Rn 上的距离、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、内部、外部、边界、开集、闭集、闭包、有界 (无界) 集、基本点列等。

（3）实数系基本定理及其在 n 维 Euclid 空间中的对应定理：确界存在定理、单调有界收敛定理、闭区间套定理 (闭区域套定理/闭集套定理) 、Cauchy 准则、Bolzano- Weierstrass 定理 (致密性定理) 、聚点定理、有限覆盖定理等。

（4）函数、映射、变换及其几何意义，隐函数，反函数与逆变换，反函数存在定理，初等函数及相关的性质。

2.极限与连续

（1）Rn 中点列极限、收敛列的基本性质：(极限) 唯一性、有界性、 (数列) 保号性、保序性等。

（2）夹逼准则、子列极限。

（3）函数极限及其基本性质：唯一性、局部有界性、保号性、保序性等，Heine 定理 (归结原则) ，两个重要极限，无穷小量与无穷大量、阶的比较，重极限、累次极限、方向极限基本性质及相互关系。

（4）函数的连续与间断、左连续右连续、 (有界闭集上) 连续函数的性质：有界性、最值定理、介值定理、一致连续性等。

（5）上极限、下极限。

3.一元函数微分学

（1）导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性。

（2）微分中值定理与 Taylor 公式：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy中值定理，(带 Peano 型余项、带 Lagrange 型余项、带积分型余项的) Taylor 公式。

（3）一元微分学的应用: 函数单调性、极值、最大值和最小值、凹凸函数、 Jensen 不等式、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象、 L’Hospital 法则、 Stolz 定理、近似计算。

4.多元函数微分学

（1）偏导数、全微分及其几何意义，可微、偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，多元函数中值定理与Taylor 公式。

（2）多元复合函数的可微性和求导、隐函数 (组) 存在定理、隐函数 (组) 求导方法、多元向量值函数的反函数。

（3）几何应用：平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线等。

（4）极值问题，条件极值与 Lagrange 乘数法。

5.一元函数积分学

（1）原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法 (直接积分法、换元法、分部积分法) 、有理函数积分等。

（2）定积分 (Riemann 积分) 及其几何意义、 Riemann 和、 Darboux 和、上积分、下积分、可积条件 (必要条件、充要条件) 。

（3）定积分的性质：区间可加性、单调性、绝对可积性、积分第一中值定理、变上限积分、微积分基本定理 (Newton-Leibniz 公式) 、定积分计算、积分第二中值定理。

（4）无限区间上的广义积分及无界函数广义积分：Cauchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、被积函数非负时的收敛性判别法 (比较原则、 Cauchy 判别法) 、 Abel 判别法、Dirichlet 判别法、 Euler 积分 (Beta 函数与 Gamma 函数)。

（5）微元法、几何应用 (平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积) 及其他应用 (注：本部分可视为重积分曲线曲面积分的特例) 。

6.多元函数积分学

（1）积分 (尤其是二重三重积分) 及其几何意义、计算 (累次积分、变换代换 (广义极坐标变换、广义柱面坐标变换、广义球面坐标变换等) )。

（2）重积分的应用 (体积、曲面面积、重心、转动惯量等)。

（3）含参量常义积分及其连续性、可微性、可积性等。含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性等。

（4）第一型曲线积分、曲面积分。

（5）第二型曲线积分、曲面积分，两类线积分、两类面积分之间的关系。

（6）Green 公式、 Ostrogradsky-Gauss 公式、 Stokes 公式，曲线积分与路径无关性、循环常数、场论初步等。

7.无穷级数

（1）数项级数 正项级数收敛性：基本定理 (正项级数收敛的充分必要条件) 、比较判别法、比值判别法、根值判别法以及其极限形式、Cauchy判别法 (积分判别法)，一般项级数的收敛性：收敛的必要条件，Cauchy准则，绝对收敛性、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法。

（2）函数列与函数项级数：一致收敛性判别法 (Cauchy准则、Weierstrass判别法/M-判别法、 Abel判别法、Dirichlet判别法、Dini定理) 、一致收敛函数列/函数项级数的性质及其应用、级数求和、Weierstrass逼近定理。

（3）幂级数：Abel第一第二定理、收敛半径与收敛域，幂级数的一致收敛性，幂级数的连续性、逐项可积性、可微性及其应用，函数的幂级数展开、Taylor级数、MacLaurin级数。

（4）Fourier级数：三角级数、三角函数系的正交性、以 2π (一般地，2l) 为周期的函数的Fourier级数展开、 Riemanm-Lebesgue定理；Fourier级数的收敛性：Fejer积分/核、Dirichlet积分/核、 Dirichlet-Jordan判别法、 Dini-Lipchitz判别法；最佳均方逼近，Bessel不等式、Parseval等式；Fourier级数的逐项可积性、 (利用) Fourier级数求和。

注：除非试题特别要求，答题时可在Lebesgue积分意义下讨论问题。可使用关于Riemann积分可积的Lebesgue判据，可以使用Arzela有界收敛定理、Lebesgue控制收敛定理。

推荐书籍：

《数学分析中的典型问题与方法》 作者：裴礼文

《数学分析习题集》 作者：吉米多维奇

《数学分析习题课讲义》 作者：谢惠民

（二）高等代数

1.多项式

（1）数域与一元多项式：数域与一元多项式的概念和基本性质；多项式整除与带余除法；最大公因式及辗转相除法。

（2）因式分解定理：互素、不可约多项式的定义及性质，因式分解及唯一性定理；标准分解、重因式及重根的定义，重因式存在的判定方法；多项式函数、余数定理、多项式的根及性质等；代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解。

（3）有理系数多项式：本原多项式、高斯 (Gauss) 引理、有理系数多项式的因式分解、爱森斯坦 (Eisenstein) 判别法、有理数域上多项式的有理根等。

（4）多元多项式及对称多项式、韦达 (Vieta) 定理。

2.行列式

（1）行列式的定义：2阶、3阶行列式的定义及对角线法则，排列与逆序数，n级行列式的定义等。

（2）行列式的性质。

（3）行列式的计算：根据定义计算行列式，利用行列式性质计算行列式，行列式按行 (列) 展开，拉普拉斯 (Laplace) 展开定理等。

（4）克拉默 (Cramer) 法则。

3.线性方程组

（1）高斯 (Gauss) 消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解。

（2）向量与向量组 向量：n维向量的运算，向量空间的定义及性质；向量组：向量组的定义与等价，向量的线性组合、线性相关与线性无关、向量组的极大无关组、向量组的秩，向量空间的基与维数等。

（3）矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系。

（4）线性方程组求解：齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数；线性方程组有解判别定理，线性方程组解唯一判别定理，线性方程组求解方法，线性方程组解的结构等。

4.矩阵

（1）矩阵的概念、矩阵的运算 (加法、数乘、乘法、转置等运算) 及其运算律。

（2）矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系。

（3）矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件，初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形及逆矩阵的求取等。

（4）分块矩阵：分块矩阵及其运算与性质，分块初等矩阵、分块初等变换及其应用等。

5.双线性函数与二次型

（1）双线性函数、对偶空间。

（2）二次型：二次型及其矩阵表示，矩阵的合同；二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、合同变换法等；复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理等。

（3）正定、半正定、负定、半负定二次型及正定、半正定矩阵，负定、半负定矩阵的性质与判定。

6.线性空间

（1）线性空间的定义与简单性质。

（2）维数，基与坐标。

（3）基变换与坐标变换。

（4）线性子空间。

（5）子空间的交与和、维数公式、子空间的直和。

7.线性变换

（1）线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵。

（2）特征值与特征向量：线性变换和矩阵的特征值与特征向量、可对角化线性变换和矩阵的性质与判定，相似矩阵、相似不变量、哈密顿-凯莱 (Hamilton-Caley) 定理等。

（3）线性变换的值域与核、不变子空间、线性空间的分解与同构。

8.若当标准形

（1）λ- 矩阵：λ- 矩阵、λ- 矩阵在初等变换下的标准形，行列式因子、不变因子、初等因子, 矩阵相似的条件等。

（2）若当 (Jordan) 矩阵、若当 (Jordan) 标准形、有理标准形。

9.欧氏空间

（1）定义与基本性质：内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵，标准正交基、正交矩阵、施密特 (Schmidt) 正交化方法等。

（2）欧氏空间的同构，正交变换、子空间的正交补，对称变换、实对称矩阵的标准形。

（3）主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形。

（4）酉空间。

推荐书籍：

《高等代数》 作者：丘维生

《高等代数》 作者：北京大学数学系前代数小组

《线性代数》 作者：李炯生、查建国

（三）解析几何

1.向量与坐标

（1）向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算。

（2）坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算。

（3）向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角。

（4）向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用。

（5）应用向量求解一些几何、三角问题。

2.轨迹与方程

（1）曲面方程的定义：普通方程、参数方程 (向量式与坐标式之间的互化)及其关系。

（2）空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系。

（3）建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程。

（4）球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程。

3.平面与空间直线

（1）平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义。

（2）从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程。

（3）根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系。

（4）根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程。

4.二次曲面

（1）柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程。

（2）椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程。

（3）单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法。

（4）根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题。

5.二次曲线的一般理论

（1）二次曲线的渐进方向、中心、渐近线。

（2）二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点。

（3）二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径。

（4）二次曲线的主轴、主方向, 特征方程、特征根。

（5）化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图。

推荐书籍：

《解析几何》 作者：吕林根、许子道

《解析几何全程导学及习题全解》 作者：任明明、张世金

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021

决赛试题覆盖课程内容

非数学类：高等数学占80%、线性代数占20%

数学类：决赛试卷分为两类

大一及大二学生：在初赛所考内容的基础上增加常微分方程(15%)；

大三及大四学生：在低年级组考试内容的基础上，增加实变函数、复变函数、抽象代数、数值分析、微分几何、概率论等内容，由考生选做其中三门课程的考题。

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