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在小孩问:“我是中国人,为什么要学习英语?”你怎么回答?中,有一个形而上的答案。

任何一个可以写下来的语言系统,其中总会有一些语句,你用这个语言系统本身是无法判断其对错的,你必须得跳出这个语言才能判断。也就是说,如果你全部的思考都被限制一种语言里的话,有些事儿对你来说就永远不知道怎么做决定。你得跳出这个语言才行。你得有一些在这种语言之外的意思才行。

不知道大家在阅读时,有没想过为什么?如果没有的话,这篇文章就用数学知识简单证明一下。

我们的起点从高中一年级开始。高一必修1的第一章节是“集合与函数概念”,学生将学习到集合的含义。而下面是集合定义:

集合(set)是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中,构成集合的这些对象则称为该集合的元素(element)。

接着,德国数学家康托尔提出集合之间元素个数多少的判定标准:

如果两个集合A和B之间能够建立一一对应,那么就说这两个集合的元素个数一样多。

所以,自然数和偶数的个数是一样多的,而不是偶数比自然数少一半。到这里,能理解这个非常理的知识,已经很不错了。:)

康托尔还创造了可数集(countable set)和不可数集(uncountable set)者两个术语,其中:

可数集的是能与自然数集的某个子集一一对应的集合。

所以,有理数是可数集,而无理数就是不可数集。

接下来,奥地利裔美国数学家哥德尔提出了著名的“哥德尔不完全性定理”,简单说:

只要自然数的公理系统只有有限条公理,那么就一定存在一些命题,你既不能用这些公理证明它是对的,也不能判断它是错的。

以上是纯数学部分的铺垫,最后是一段简单的证明。

任何一种可以写下来的语言系统,都由最简单的有限的元素组成。比如英语用字母组成单词,单词组成句子,句子组成文章;汉语用偏旁组成汉字,汉字组成句子,句子再组成文章。所以,语言系统是一个可数集。根据哥德尔不完全性定理,语言系统作为可数集,跟自然数集一样,总会有一些语句,你用这个语言系统本身是无法判断其对错的,你必须得跳出这个语言才能判断。

这么一看,不管多么精细的语言,都是不完备的。多精通一门语言,对你思考问题是有帮助的。