在数学、物理、工程学等领域的深入探索中，我们往往需要依靠一些基本的理论工具。欧拉-拉格朗日方程就是这样一种强大的工具，起源于最小作用原理，被广泛应用于经典力学和量子力学等众多领域。这一方程的命名者，欧拉和拉格朗日，都是数学和物理学史上的巨人，他们的贡献给我们留下了持久的烙印。对欧拉-拉格朗日方程的理解和应用，不仅可以让我们揭示自然现象的深层规律，也有助于我们在复杂问题求解中找到最优策略。
让我们考虑一个在重力场中被垂直向上抛出的粒子，它从高度h1 = 0处的时间t1 =0开始移动。它沿直线向上移动，然后在相同的位置h2 = 0处的时间t2返回地面。
在位置-时间图中，粒子从时间t1处的高度h1开始，我们将这个起点称为A。粒子在高度h2的时间t2到达终点B。在这个问题中，A和B之间的连线必须是一条抛物线。
但为什么这条路径h(t)是一条抛物线而不是其他路径呢？为什么自然选择这条路径？为什么不选择下面的路径1或者路径2？
作用量泛函
为了能够回答这个问题，我们需要一个被称为作用量（Action）的量，用字母"S"表示。我们可以为所有可能的路径分配一个作用量值（action value）。作用量接受整个函数"h"作为参数，并输出一个数字，即相应函数h的作用量值。
这样一个接受函数"h"作为输入，并输出一个数字的数学对象被称为泛函（functional）。
由于泛函输出作用量，所以"S of h"也被称为作用量泛函（Action Functional）。为了区分作用量泛函和只接受一个数字作为参数的常规函数，我们使用方括号表示泛函。
作用量的单位是焦耳秒（joule-second）。例如，上面这条路径可能有3.5焦耳秒的值，下面这条路径的值是5.6焦耳秒，抛物线路径的值是2焦耳秒。
回到问题：为什么路径是一条抛物线？经验表明，自然是极值的（nature is extremal）。也就是说，如果我们计算所有可能路径h1 h2 h3等在A和B之间的作用量值，那么自然就会取最大值，最小值或者极点的作用量值。
自然会选择其中的一条路径。自然选择哪条极值路径具体取决于所考虑的问题。在一个粒子在重力场中向上抛出的情况中，自然选择的是一个最小值，
由于抛物线路径有最小的作用量，所以粒子在位置与时间图中选择了这条路径。
计算作用量
但是我们如何计算作用量的这些值呢？为此，我们需要拉格朗日函数L（Lagrange Function）。它取决于时间t，函数值h(t)和速度，
拉格朗日函数的单位是能量，也就是焦耳J。如果我们对拉格朗日函数在时间t1和t2之间的时间t进行积分，
得到的数量的单位是焦耳秒。这正是我们需要的作用量。因此，如果指定了拉格朗日函数，就可以具体计算每个可能的路径"h"的作用量值。
通常，使用字母"q"代替"h"，
称q为广义坐标（generalized coordinate），将q的导数称为广义速度(generalized velocity) 。"广义"的含义是，"q"可以是距离地面的高度或角度或其他可以依赖于时间"t"的量。
欧拉-拉格朗日方程的结构
当然，为所有可能的路径计算积分并取得积分最小值的路径是非常麻烦的。
为了避免这样的巨大任务，我们使用所谓的欧拉-拉格朗日方程（Euler-lagrange equation）：
它可以从作用量的定义和“自然是极值的原理”中推导出来。这里，我们只想知道如何使用欧拉-拉格朗日方程确定未知的路径"q(t)"。
首先，让我们仔细看看欧拉-拉格朗日方程是如何组成的。它包含了拉格朗日函数对广义速度偏导数，
这个"L关于q点"的导数也被称为广义动量，用"p"表示。然后对广义动量求对"t"的导数，
另一个项是拉格朗日函数关于广义坐标"q"的导数，
如果将动量的时间导数移到另一边，
就可以从欧拉-拉格朗日方程中读出动量是否守恒。为此，其时间导数必须为零。所以只需要计算"L关于q"的导数是否为零。
拉格朗日函数
拉格朗日函数"L"是一个不能被推导出来的标量函数，
只能被猜测出来。如果你认为你已经发现了一个问题的合适的拉格朗日函数，无论是来自量子力学，经典力学还是相对论，都可以很容易地验证这个拉格朗日函数是否正确地描述了你的问题，方法就是使用欧拉-拉格朗日方程。
在大多数经典力学的情况下，拉格朗日函数是粒子的动能和势能之间的差。
如何使用欧拉-拉格朗日方程？
回到我们的例子，让我们看看如何从拉格朗日函数和欧拉-拉格朗日方程计算出抛物线。为此，需要进行5个步骤：
- 步骤1：设置广义坐标"q"和"q的导数"。在这个例子中，"q等于高度h"，"q的导数等于速度v"。速度在这里就是路径的时间导数，所以是"h的导数"。
- 步骤2：建立拉格朗日函数L，
动能是
在重力场中的势能是，
因此，拉格朗日函数是，
- 步骤3：将确定的拉格朗日函数插入欧拉-拉格朗日方程，并计算导数。
"L"对"h"的偏导数是，
L关于"h的导数"的偏导数是，
进一步对时间求导得，
把两者合并在一起得到，
这里可以看到欧拉-拉格朗日方程的含义！它告诉我们，要解哪个微分方程，以找出未知的函数"h(t)"。注意，这个例子是一个一维问题，所以只从中得到一个微分方程。在更复杂的多维问题中，将得到几个微分方程。
- 步骤4：解出未知函数的微分方程。
这个微分方程的解是容易确定的。将两边都对时间" t "积分，
得到
其中C1是一个积分常数。然后我们再次对时间积分，
得到
其中C2是另一个积分常数。
- 步骤5：将考虑的问题的边界条件插入方程，并确定未知常数C1和C2。
在这个问题中，我们在 t1等于零的时候抛出了粒子，初始高度h1等于零。所以让我们把t和h都设为零。
因此C2必须等于零。为了找出常数C1，我们需要第二个边界条件。在t2的时候，粒子从"高度h2等于零"落下。所以让我们将"t=t2"和"h=0"插入到方程中。
得到，
因此，路径h为
这就是我们所期待的抛物线形状！
结论
现在你知道了欧拉-拉格朗日方程是什么，以及如何使用它来求解一维经典力学问题。后面，我将尝试介绍如何把欧拉-拉格朗日方程应用到多维问题，以及如何从牛顿力学推导出欧拉-拉格朗日方程。
欧拉-拉格朗日方程为我们提供了一个描述系统动力学的微分方程。我们需要解微分方程来找出未知函数"q(t)"。你需要从物理系统的特性中猜测拉格朗日函数，然后将这个函数插入欧拉-拉格朗日方程来获得这个微分方程。也需要适当的边界条件来解这个微分方程。
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