女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

准晶体的发现引发了一场关于其不寻常结构的大争论。令人惊讶的是，这些结构在几个世纪前就在伊斯兰艺术中被发现了。这一最新发现引起了科学家们的注意，他们提出了几种方法，通过分析分布在伊斯兰世界的几种准周期图案来理解这些结构。本文提出了一种系统的方法来产生新的准周期图案的启发，现有的伊斯兰历史图案。该方法基于准周期密铺和几个直观参数构建伊斯兰准周期图案。给定一个准周期密铺，该方法将其密铺(菱形)划分为对称的直角三角形，并构造其模板图案。这些模板主题的构建是通过一个系统和组织良好的过程来实现的。拼块的内容是通过将镜像反射应用于构建的模板图案而获得的。最后，通过将构建的拼块的内容放入拼块中来绘制图案。

1介绍

Dan Shechtman因发现准周期结构而获得2011年诺贝尔奖[26]。在这一发现的几年前，数学家们对在平面上铺上规则的图案很感兴趣，这些图案永远不会重复，以创造出非周期性的马赛克。Roger Penrose为这个问题提出了一个优雅的解决方案：Penrose拼块[22,23]。

令人惊讶的是，这些不寻常的结构被用于伊朗马拉加蓝塔的几何图案[16]，以及伊朗达比伊玛目神社的几何图案[15]，在它们被发现几个世纪之前。伊斯兰图案与准晶体结构的相似性吸引了许多科学家对几种伊斯兰几何图案的数学结构和生成原理进行研[2,5,10,19,21,24,25]。到目前为止，还没有产生伊斯兰准周期图案的一般方法。

本文介绍了一种方法，此法生成新的伊斯兰准周期图案的灵感来自现有的建筑图案。这种方法从现代已知的现有准周期密铺开始，并用受历史伊斯兰星星图案启发的图案装饰这些密铺。

本文主要内容。第2节：介绍最著名的相关作品，并特别关注构造方法。第3节：介绍了伊斯兰几何图案的分析和一些理论背景，这将有助于理解所提出的方法。第4节：新方法，展示了如何使用准周期拼块来构建准周期星形图案，并提出了一种生成技术来设计其拼块的主题元素。第5节：一些作品。第6节总结。

2相关作品

伊斯兰艺术的一些历史图案的对称性与准周期结构之间的相似性吸引了一些科学家去研究这些图案的数学结构。Makovicky研究了Maragha蓝塔的图案，证明了Penrose和Maragha拼块之间的对应关系，并开发了Penrose拼块的新变体[16]。在另一项工作中，Makovicky和Fenoll Hach-Alí分析了西班牙的一些伊斯兰八角形图案，并推断这些图案是基于嵌套八角形的准晶格[10]。在[21]中，研究了西班牙和摩洛哥与Penrose拼块系统相关的十角形准周期图案。2011年，对非斯陵墓Moulay Idriss II的十二角图案的分析表明，它与Ammann准晶格相容[19]。在[18]中，Makovicky研究了在伊朗西北部Maragha的Gunbad-e-Qabud上进行的准周期性拼块可能的同时代人和仿制品。在[20]中，E. Makovicky和N. Makovicky分析了瓜廖尔(北印度)Muhammad Ghaus陵墓的大型Jali屏风的图案，并提出它们可能是基于一种新型复合拼块的准周期性八边形拼块的近似物。在[15]中，Lu和Steinhardt证明了用线条装饰的Girih拼块的密铺可以创造出越来越复杂的周期性Girih图案。然后，他们说明了这些密铺与自相似变换的结合可以在伊朗伊斯法罕的Darb-I伊玛目神殿(1453)上构建近乎完美的准周期彭罗斯图案。在[25]中，Saltzman证明了Gunbad-i Kabud设计的单位胞和Darb-i Imam设计的很大一部分都是准周期的。

所有这些分析研究对于理解这些图案的结构和发现它们的生成原理的谜题是重要的。

在构建历史的和新的准周期图案方面已经取得了一些成果。在[4]中，Al Ajlouni提出了一个模型来描述伊斯兰艺术的十角形准周期结构的理论。这个模型被命名为层次框架模型(HFM)，它基于嵌套十角图的底层基本网格。这个框架决定了星形单位的中心。星形之间的空间是用重叠星形单元的排列来覆盖的，这些重叠星形单元是根据底层子网格的某些交点来定位的。采用多层阵型来生成准周期图案全景。这种方法只描述了十角形和五角形图案(具有五倍和十倍旋转对称的图案)。在每一个层面上，Al Ajlouni的方法都需要进行搜索，以发现恒星之间不同的可能连接结构。Al Ajlouni提出了一种基于相同原理的结构模型，用于描述伊斯兰建筑中基于八边形的准周期对称的全球远程顺序，包括Ammann-Beenker拼块[3]。在[1]中，Aboufadil等人提出了一种基于多重网格和工匠采用的Hasba技术构建摩洛哥准周期图案的方法。这种方法不适合计算机应用，需要实验技能。在他的论文[12]中，Kaplan提出了一种基于准周期密铺的方法，利用菱形作为放置正多边形的向导来生成非周期密铺。玫瑰花密铺在正多边形中，其他方块使用推理算法填充。本文的目的是提出一种系统的方法来生成新的伊斯兰准周期图案，在不干扰其真实历史特征的情况下拓宽这些装饰品的范围。

3背景

3.1历史图案分析

摩洛哥非斯阿塔琳伊斯兰学校的镶板是伊斯兰艺术中最美丽、最复杂的几何图案之一。对该图案的分析表明，它是使用图1所示的两个装饰的彭罗斯拼块(胖菱形和瘦菱形)获得的图案的片段。菱形是用伊斯兰艺术中著名的图案装饰的。这种图案被称为玫瑰花结，它完全排列在胖菱形内(图1(e))，部分排列在胖菱形和瘦菱形内(每个角度包含一部分玫瑰花结)(图1(f))。

图1：(a)摩洛哥非斯(Fez, Morocco)的Madrasa Attarine的面板，(b)相应的装饰拼块，(c)装饰拼块的排列，(d)与面板相似的部分，(e)圆形菱形中玫瑰花的排列，以及(f)以六个菱形之间的共享顶点为中心的10角玫瑰花。

观察上图得出以下结论:

•准周期拼块的菱形可以用玫瑰和星星图案装饰。

•玫瑰花/星形的顺序和菱形的角度之间有关系。

•玫瑰/星星可以在菱形的顶点上居中。

•每个菱形的每个角都包含玫瑰花结的一部分。这些部分的结合形成一个完整的玫瑰花结。

•必须确保图案的线条在相邻菱形边缘上的连续性。

•伊斯兰准周期图案可以基于现有的准周期拼块生成。

因此，伊斯兰准周期图案可以由菱形的准周期密铺得到。伊斯兰准周期图案的构造可以简化为其对应的准周期拼块的内容的生成。因此，本文的主要目的是形式化构造一种新的伊斯兰准周期图案的一般方法。

3.2 设计元素

伊斯兰星形图案被认为是伊斯兰几何艺术中最复杂、最著名的形式之一。几何玫瑰和星星是这些图案中最常见的图案[13]。它们的结构在几篇论文中被描述[11,13,14]。可通过以下参数定义花结：花结阶数N，半径R，角度θ和φ，交点数s(图2(b))。星型主题可以通过参数(N, R， θ， S)来定义(图2(A))。除了上述参数外，我们还考虑了一个附加的双值参数O，它定义了星形/玫瑰花的方向。如果星形/玫瑰花结在直角三角形的斜边上有尖刺，则O = OH，如果没有，则O = OL(图3)。(用于确定此方向的直角三角形将在下一节中说明。)因此，玫瑰将由参数 (N, R, θ,φ, S,O) 定义，星形将由参数(N, R, θ, S,O)定义。

图2：(a)星形和(b)玫瑰花形参数。

图3：(a) O = OH (b) O = OL取向的10角星形和10角玫瑰花结。

3.3准周期密铺

数学家和物理学家罗杰·彭罗斯在20世纪70年代提出了使用两块拼块的准周期拼块的发现[22]已经引起了几位科学家的极大关注。De Bruijn给出了基于五边形的准周期密铺的代数描述[7，8]。已经提出了几种技术来产生准周期密铺，例如来自高维的切割和投影方法[9]和广义方法[27]。菱形的准周期拼块(图4)将用作底层子网格，其拼块将使用玫瑰花形或星形图案装饰。

图4：(a)五边形和(c)十边形密铺以及(b)它们相关的拼块。

4 .建议方法

根据几位科学家的定义[15,20,25]，准周期性可以解释为由特殊的拼块边缘和拼块顶点标记保证的非周期性情况。如果能从一个有保证的准周期密铺的代表性密铺块中推导出无标记的历史密铺，则可以认为它是准周期密铺，并且由此推导出的准周期密铺可以扩展为整个平面的准周期密铺[20,25]。近似值是由拼块类型和准周期图案的拼块组合衍生出来的周期图案[20]。本方法所产生的图形是由准周期拼接导出的。

生成过程(图6)从提取准周期密铺的菱形开始。然后，每个拼块会被分成几个对称的直角三角形。如图5所示，菱形被分成四个相同的直角三角形，正方形被分成八个相同的直角三角形。具有最小角度的拼块将被称为主拼块并标记为PTi，并且其对应的直角三角形将被称为主三角形并标记为PTr(图6)。因此，拼块(模板单元)内容的构造可以简化为生成其对应的直角三角形(模板主题)的内容(图6)。

图5：(a, b)将菱形划分为直角三角形(c)将正方形划分为直角三角形。玫瑰结可以集中在突出的红色角落。

图6：所提方法的步骤。(a)初始准周期密铺，(b)密铺的密铺及其对应的直角三角形的密铺，(c)模板图案的构造，(d)单元图案的生成，(e)单元图案在密铺中的插入。

4.1模板主题的构建

模板主题步骤的构建由四个操作组成:分割(径向网格的生成)、第一半花瓣的构建、花结的部分构建，以及最后间隙主题的构建。

4.1.1径向网格。从前面的分析可以得出结论，拼块包含部分星形/玫瑰形图案。具有给定的准周期密铺的兼容玫瑰花结阶N由以下等式确定:

其中，ω为PTi的最小角度，k为非空整数。玫瑰花形的半径R可以由不等式来定义

其中I和L分别是PTr直角的最小边和最大边。图7显示了在R = 1和R = 1/2的情况下，薄菱形角上的玫瑰花形排列。星形/玫瑰形可以构建在放射状网格上。为了在PTr内得到这个径向网格，根据玫瑰花结的顺序将每个角分成x个相等的角度:x = β/(π/N)(图8(a))，其中β是角上的角度。

图7：(A)Pti和它的Ptr，(b)在半径R = 1的相应顶点处的花的排列，和(c)R = 1/2的花的排列；重叠区域有阴影。

4.1.2前半瓣的构造。放射状网格的每个分区将包含半瓣星形/玫瑰结。玫瑰花半花瓣可以用以下步骤构造:首先，我们从点K(定义半径R和玫瑰花的方向)到角CEK的平分线绘制线段S0 = KG，其中EK是K上BC的垂线(图8(a)和8(b))。然后，我们绘制从G到除法界的第二条线段S1(图8(c))。线段S0和S1分别定义了花结的参数θ和φ。线段S1被认为是一条光线，通过分割角传播，连续的反射在分割角的边界交替发生(如果入射角不同于π/2)，产生线段S2，…， SS(图8(c)、8(d)、8(e))，其中S为图3(b)中描述的花结参数。

图8：(a - e)参数为(10, l = AC,π/10,π/10, 3, OH)的花结半瓣的构造步骤，(f) 10角星的前半瓣。

如果θ = φ，则S0和S1与CEK角平分线对称，则半花瓣仅从线段S0导出。同样的步骤用于生成星的半瓣。这可以通过去掉点g来实现。线段S0直接到达除法的边界。最后一条线段是SS−1(图8(f))。

4.1.3星形/玫瑰形部件的构造。花结部分的构建是通过另一半花瓣的生成。这是通过对第一半花瓣应用镜面反射来实现的，如图9所示。

图9：另一半花瓣的构造:(a)在BC斜边的右平分线中应用镜面反射，以及(b，c)在BCA角的径向网格线中应用镜面反射。

4.1.4间隙主题的构建。在伊斯兰星形图案的制作中，玫瑰花的构造部分之间的空白是最容易遇到的也是最重要的问题。这个空间将包含一个间隙主题，连接图案的玫瑰花。生成这个间隙图案的最简单方法是在间隙区域内扩展玫瑰花的穗状花序。为了实现这个目标，我们首先列出峰值;如果尖峰位于三角形的一侧，那么它将被命名为反射点。其他尖峰被称为延伸点。

用一个延伸点来延伸每条边，当它遇到另一条延伸的或反射的边时，或者当它到达三角形的一边时，就把它切掉。每条有反射点的边都被认为是一条光线。这种光线在边上被反射，直到它遇到延伸的或反射的边或到达三角形的边。如果每个边的端点(图10(b)中的点P3)位于间隙区域内，则每个边的反射结果是可以接受的。对于具有共享延伸点的边，如果两个端点都在间隙区域内(图10(b)中的点P1和P2)，则接受其延伸的结果。这个条件确保了在每个扩展点的完美交叉。如果满足以下条件，端点Pi在间隙区域内:

(1) Pi在基本区域内或在一侧。

(2)对于图案中的每个星/玫瑰图，V Pi > RV，其中V和RV分别是以V为中心的星/玫瑰图的中心和半径，V P是玫瑰图的中心和端点Pi之间的欧几里德距离。

必须重复延伸/反射过程，直到玫瑰花结连接。第一次迭代的终点是第二次迭代的起点，依此类推，但是所考虑的间隙区域保持不变(图10(c)和10(d))。

图10：延伸/反射过程:(a)确定延伸点(绿色)和反射点(红色)，(b)该过程的第一次迭代，其中玫瑰花形仍未连接(点P1、P2和P3是第一次迭代的端点)，(c)确定该过程的第二次迭代的延伸点和反射点，(d)该过程的第二次迭代的结果，其中一个片段的反射将被移除，因为其端点(P3)在间隙区域(BP3 ≤ RB)之外，以及(e)获得的模板主题。

通过遵循相同的步骤和通过尊重玫瑰花结的相同参数，以及相同数量的延伸/反射过程的应用，将产生相同的拼块的模板图案。这些条件确保了相邻拼块边缘上线条图案的连续性(图11(c))。

4.2模板单元的构造

模板主题生成后，我们通过三角形直角边进行镜面反射，得到每个菱形的单元主题(图11(a))。为了构建方形的单元主题，我们通过斜边应用镜面反射，然后是关于自由顶点的四重旋转对称(图11(b))。

图11。(a)用于薄菱形和厚菱形的模板单元的构造，(b)用于正方形的模板单元的构造，以及(c)确保图案连续性的模板单元的布置。(d)胖拼块的中心元素(由四个五边形包围的菱形)是亚洲Kond tilings的常见主题[15，17]。

4.3图案的构建

在最后一步中，我们将模板单元放在准周期点阵的点阵中，这被认为是一个潜在的准周期点阵(图12)。

图12：(a)从(b)构建的模板单元获得的十边形和(c)五边形伊斯兰准周期图案。

5结果和讨论

5.1改变参数

设计元素的参数的数学定义允许我们通过改变一个或多个参数，从相同的准周期密铺中得到几个图案。我们将改变前一个例子(图12)中玫瑰花结的半径R，以允许玫瑰花结重叠(R = L/2)。在将镜面反射应用于第一半花瓣后，模板图案的一部分位于PTr之外。该部分将被移除，允许玫瑰花形重叠(图13(a))。这种技术使我们能够避免寻找与重叠的正多边形相关的不同构型，这些正多边形被约翰尼斯·开普勒命名为怪物，并在[6，12]中讨论。图14、15和16示出了通过改变玫瑰花结参数获得的十边形和五边形准周期密铺的几种图案。图17显示了使用10角星作为设计元素获得的准周期图案。

图13：生成模板图案。(a)去掉三角形外的部分，使玫瑰花在细菱形的阴影区域重叠;(b)模板主题和胖菱形的单元主题。

图14：十角形准周期图案(左)和五角形准周期图案(右)及其相关的花结参数。

图15：十角形准周期图案(左)和五角形准周期图案(右)及其相关的花结参数。这些图案是通过改变半径和相对于图14的方向获得的。

图16：十角形准周期图案(左)和五角形准周期图案(右)及其相关的花结参数。这些图案是通过改变角度θ和φ的玫瑰花与图15。

图17：用10角星作为设计元素得到的十角形和五角形图案。

5.2七边形和十四边形图案

前一节中描述的生成过程可以应用于装饰任何类型的准周期拼块。七边形和十四边形图案分别包含七重和十四重旋转对称。这些密铺由三个角度为2π/14、4π/14和6π/14的菱形组成。因此，这些密铺的兼容玫瑰图阶数由等式N = k × 2π/(2π/14) = k × 14定义。图18展示了每种类型的一个例子。

图18：(a)构建七边形和(c)四十边形准周期图案，通过(b)用指示的玫瑰花结参数生成模板和单位主题。

5.3八角形图案

八边形密铺由一个π/4角的菱形和一个正方形组成。兼容玫瑰花结阶数由N = k × 8定义。图19示出了基于这种密铺构造的准周期图案的两个例子。

图19：构造的八边形图案及其玫瑰花结参数。

5.4十二边形图案

十二边形密铺由一个正方形和两个角度分别为π/6和π/3的菱形组成。兼容玫瑰花结阶数由等式N = k × 12定义。图20显示了两个构建图案的例子及其相关的玫瑰花结参数。

图20：生成十二角准周期图案及其相关的模板图案和单元图案。

5.5九边形和十八边形图案

九边形和十八边形密铺由π/9，2π/9，3π/9和4π/9四个角度的菱形组成。兼容玫瑰花结顺序为N = k × 18。图21举例说明了每种密铺类型。

图21：(a)十八边形准周期图案，(b)用玫瑰花结参数生成的模板主题和单位主题，以及(c)九边形准周期图案。

5.7特殊情况

第一个特例是由于从正方形中提取的直角三角形的自由顶点(图5)。可以在这个顶点上放置一个额外的M点星形/玫瑰形。玫瑰花结阶M只取决于顶点的四重旋转对称:M = k × 4。在图22(a)中，生成的八角形图案包含一个附加的八角星，放置在正方形三角形的自由顶点上。图22(b)示出了具有两个玫瑰花形的十边形图案。额外的八角形玫瑰花结(红色)放置在正方形的直角三角形的自由顶点上。

图22：(a)在正方形三角形的自由顶点上放置一个额外的八角星形(红色)的八角形图案，以及(b)在正方形三角形的自由顶点上放置一个额外的八角玫瑰形(红色)的十二边形图案。

在第二种特殊情况下，将在直角三角形的边上放置一个额外的玫瑰花结。图23示出了五边形和十边形图案，在胖菱形的边上放置了10点玫瑰形。在八边形图案中，在两个直角三角形的边上构建一个八角形玫瑰花结，并且在具有主16角玫瑰花结的正方形的三角形的自由顶点上生成一个八角星(图24)。

图23：(a)十边形图案和(b)五边形图案，在胖菱形(红色)的直角三角形边上放置一个额外的10角玫瑰花形图案。

图24：一种八角形图案，主玫瑰花结的为16阶，一个八角玫瑰结放在两个直角三角形的两边，一个八角星放在正方形直角三角形的自由顶点上。这个图案是著名的阿尔罕布拉周期图案的一个准周期版本，请见http://patterninislamicart.com/archive/main/7/ spain/spa1209

6结论

在这篇文章中，我们提出了一种新的方法来生成新的伊斯兰准周期图案的灵感来自现有的建筑图案。这种方法从现代已知的现有准周期密铺开始，并用受启发的图案装饰这些密铺。我们已经将构造的面积减少到从被认为是潜在的准周期晶格的准周期密铺的拼块中提取的最小三角形。构建过程包括几个详细描述的步骤。这些步骤允许我们使用星形和玫瑰花形作为设计元素来装饰直角三角形。这些设计元素由它们的参数很好地定义。然后，我们将一些等距变换应用于模板主题，以生成菱形(单元主题)的内容。然后将单位主题复制到准周期密铺中。本方法允许我们通过改变每种密铺类型的星形/玫瑰形参数来获得一种新的准周期图案。

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青山不改，绿水长流，在下告退。

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