这是福建省2023年中考最后一道压轴题 。

第一问：求证△ADE∽△FMC。

这两个三角形大小差很多，要想证明相似，就要证明至少两个角相等。

开始盘点已知条件：

1、∠BAC=90°，AB=AC，△ABC是等腰直角三角形；

2、AO⊥BC于O点，AO是直角三角形△ABC的垂线、中线、角平分线（三线合一）；

3、所以，∠BAO=∠CAO=45°；

4、根据题意DC旋转90°得到DF，所以△DFC也是等腰直角三角形，∠DFC=∠DCF=45°。

所以，在△ADE和△FMC中，我们已经找到了一个相同角，还差一个。

1、∠AED=∠EAC+∠ACD=45°+∠ACD；

2、∠MCF=∠DCF+∠ACD=45°+∠ACD；

3、所以，∠AED=∠MCF。

两个角相等，所以△ADE∽△FMC。

第二问：求∠ABF的度数。

∠ABF=∠ABC+∠CBF=45°+∠CBF。所以，只要求出∠CBF即可。

通过观察发现，∠CBF似乎是直角。这就是几何题的好处，图形会给你潜在思路。

当然，你必须严格证明∠CBF=90°。怎么证明一个角是90°呢？思路就是把角放在三角形中，如果证明这个三角形和某个直角三角形相似，那就能证明这个角也是90°。

还有一种证明方法：证明 △BCF∽△ACD。这是比较典型的脚拉脚模型。

1、BC/AC=√2；

2、CF/CD=√2；

3、∠ACB=45°，∠DCF=45°，∠ACD=∠ACB-∠BCD=∠DCF-∠BCD=∠BCF；

所以，△BCF∽△ACD，所以∠CBF=∠CAD=90°，∠ABF=135°。

第三问：若N是AF中点，求证ND=NO。

第三问真的很复杂，线段那么多，眼花缭乱，很难有思路。

但是，通过观察图形似乎还能发现，DN似乎垂直NO。如果真的垂直，怎么证明DN=NO呢？

而且，最后一问其实只给了一个新条件，即AN=NF，怎么用到这个条件呢？

通过第二问，证明了∠FBC=90°，所以BF∥AO，这两个条件结合一块，就有可能想到延长ON，构造两个全等三角形。

现在，NT=NO，要想证明DN=NO，就可以证明DN=NT=NO。

通过观察图形，如果三角形DTO是等腰直角三角形，那就能证明上述结论。

怎么证明∠ODT是直角呢？这个角好像∠CDF旋转而来的，如果∠FDT=∠CDO，即△DTF与△DOC如果全等，就接近最终目标了。

所以，DN=NT=NO。

答案不是结束，是真正学习的开始

这道题看答案都很繁琐。如果你自己做题，需要在上百条线索中，找到唯一正确的路径，真的很难。有时候只能靠运气。

所以，成绩普通的学生，一定不要把主要精力用来攻克压轴题，性价比太低。

之前写过一篇文章《》，如果最简单的题只需要三步、三分钟，那么压轴题至少需要三十步、三十分钟。而且，你还不一定能够算出来。很可能你花了三十分钟，一直在错误的方向努力。

与其把时间浪费在很难做出来的压轴题上，不如把时间分配给前面的简单题，稳稳当当做题，把该拿的分都拿走，足够你考出不错的成绩。

如果你平时数学成绩不错，有实力挑战最后的压轴题。我下面给你一些思路和方向，提高你解出题目的概率。

一是从已知条件正向推导，看有几种可能的方向；

二是从求解目标逆袭推导，缩短已知条件和求解目标之间的路径；

三是几何题一定要重视图形，比如这道题的直角，是非常好的解题方向。

归根结底，解决复杂难题，第一出发点是：找已知和已知的关系，找已知和未知的关系。能多向前推论一步，就会缩短小探索范围，距离真正解出题目就近了一步。

多一些尝试，多一点耐心。

之前题目重做，做不出来，说明没学会