女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

艺术和建筑中的设计过程通常涉及相对少量的几何元素的组合和操作，以创建底层结构和覆盖的装饰细节。在本文中，我们将重点放在由一个单一的几何形状——圆复制而成的图案上。圆形是一个非常重要的形状。凭借其简单性和拓扑结构，它已经被许多不同的文化推崇了几千年，象征着上帝、统一、完美、永恒、稳定等。例如，拉尔夫·瓦尔多·爱默生认为圆是“世界密码中最高的象征”[Emerson 1920]。

圆形玫瑰花结

圆形玫瑰花结有着悠久的历史，至少可以追溯到6000年前，例如在埃及、巴比伦、亚述和希腊文化中很流行[Goodyear 1891]。罗尔斯的综合著作[Rawles 1997]中给出了奥西里斯神庙相交圆的一些吸引人的排列的例子(例如，所谓的生命之花和种子)。后来，玫瑰花结成为罗马建筑中流行的地板装饰图案[Schmelzeisen 1992]。一个更现代的现象是越来越多的人看到麦田怪圈。不考虑它们来自地球外的真实性问题，值得注意的是，许多涉及交叉圆形成玫瑰状图案。事实上，圆形玫瑰花结出现在许多意想不到的地方，从人孔[Melnick 1994]到达芬奇的绳结图案，再到钟面和花园篱笆(图1)。

图1 圆形玫瑰花结

圆形玫瑰花结是通过复制一个圆并围绕一个点(玫瑰花结的中心)旋转它们而形成的(图2)。

图2 圆形玫瑰花结的两个例子。

如果圆的半径r等于旋转点和圆心之间的距离d，那么所有的圆都在玫瑰形的中心相交(图3a)。如果圆的半径小于d，那么它们不会到达玫瑰花结的中心，形成一个洞(图3b)。

图3 由30个半径为(a) r = d，(b) rd的圆组成的圆形玫瑰花结。

同样，当圆的半径大于d时，会产生一个明显的洞，尽管在这种情况下，所有的圆都包含玫瑰形中心。我们还看到，随着用于产生玫瑰花结的圆的数量增加，玫瑰花结的外周长的包络收敛于半径为r+d的圆，而内圆的包络是半径为d的圆。因此，我们有一个奇怪的方面，即对于固定值v，不管r=d+v还是r=d-v，都产生相同尺寸的内圆孔。

为了简化问题，我们只考虑圆在玫瑰形中心相遇的第一种情况。圆之间的交点由下式给出

其中，t是连续圆之间的角度增量，即，如果有N个圆，则t=2π/N，N是交叉点级别，1表示最靠近玫瑰花结外围的交叉点，表示最靠近玫瑰花结中心的下一个级别，依此类推。这使我们能够通过对玫瑰花结的目视检查来验证一些特性。首先，除了玫瑰花结最里面和最外面的区域，由重叠圆圈形成的空隙形成了一种曲线菱形(见下图9)。不仅这些空隙的所有边都等长，而且所有空隙的边都等长。第二，有N/2圈空隙。在中心环中，它们的纵横比为1:1，而从该环向外移动时，两侧的纵横比对称地增加。也就是说，中环两侧的相应间隙具有相同的纵横比，但旋转了90°。相比之下，由对数螺线构建的玫瑰花结的空隙保持相同的形状(和纵横比)，但随着它们从玫瑰花结中心向外辐射，其尺寸只会增加[Williams 1999]。当更多的圆圈组成玫瑰花结时，自然会产生更多的空隙。不仅如此，它们的长宽比的变化率也会发生变化。具有很少圆圈的玫瑰花结的空隙具有在[0，1.5]范围内相当均匀分布的纵横比，而对于包含许多圆圈的玫瑰花结，大多数空隙接近1:1。这在图4的图表中得到验证，该图表显示了每个环与其向内相邻的环的纵横比。

图4 显示在玫瑰花丛中间距长宽比增加和减少的变化率的曲线图。

由于其类似透视的收缩，玫瑰环的外半部分给人一种视觉印象，即有一个远离观察者的三维球面弯曲。为了避免这种情况，并确保玫瑰花结给人一种类似星爆的辐射效果，许多为人行道设计的圆形玫瑰花结只使用内环，去掉中环以外的部分。

五盘问题

既然我们已经确定了圆的交点，现在就很容易解决几何五圆盘问题[Weisstein 1998],设置如下(图5)。给定五个大小相等的圆盘，关于给定的中心对称放置，确保圆盘覆盖的圆形区域的半径等于1的最小圆盘半径是多少？所要做的就是求解给定圈数N=5时相对于r的xi(1)^2+yi(1)^2=1，结果得到解r=1/π。

图5 五盘问题。阴影圆的半径应该等于1。

我们还可以确定N的其他值的解，例如，对于四个圆：r=1/√2，对于六个圆：r=1/√3。

内旋轮线

将玫瑰图与称为内旋轮线的解析曲线进行比较是很有趣的，内旋轮线是通过描绘在另一个固定圆内滚动的圆上的固定点而产生的。参数方程给出的简化形式

产生与圆形玫瑰花结非常相似的图案，如图6所示。参数q决定了叶的数量，并且可以修改方程来增加和减少叶的丰满度。

图6 非常类似圆形玫瑰花结的内旋轮线。

人们可以推测，阿尔布雷特·丢勒可能也注意到了这种相似性。除了他的艺术作品，他意识到数学可以为艺术家提供强大的工具，并对艺术和数学之间的联系感兴趣。这导致他成为一个重要的文艺复兴时期的数学家(至少就几何学的早期传播而言，而不是该领域的扩展)。在他的著作《Unterweisung der Messung MIT DEM Zirkel und Richtscheit》中，他不仅描述了一种设计圆形玫瑰地板图案的方法，还描述了大量曲线的构造，包括外摆线(心形)[Dürer 1977]。

内旋轮线不是唯一与玫瑰花结外观相似的曲线。事实上，1728年Guido Grande发表了《Flores Geometrici》，描述了一系列产生花状图案的曲线。

形式上的变化

从基本的圆形玫瑰花结开始，我们可以在它的结构上做出许多变化。例如，旋转的圆可以由其它形式代替，例如图7a所示的椭圆。如果椭圆的拉伸是足够的，那么空隙就表现出介于圆形和螺旋形玫瑰花结之间的特性。例如，在所示的例子中，菱形空隙随着从玫瑰花结中心向外移动而变得更加紧密。与圆形玫瑰花结相比，纵横比的变化较慢。此外，纵横比不达到1∶1，因此不包含在中间环的任一侧具有相同纵横比的对称间隙环。空隙纵横比的变化率取决于组成玫瑰花结的椭圆数量及其偏心率。因此，如果产生一系列玫瑰花结，其中椭圆的偏心率逐渐减小，变得更圆，则1∶1空隙的环出现在玫瑰花结的外围，并向内朝着玫瑰花结的中环移动。

图7b和7c示出了以另一种方式拉伸椭圆的效果，使得它延伸穿过玫瑰花结，而不是从中心向外突出。当包含足够多的椭圆时，就产生了网格图案，其中出现了各种形状的空隙。此外，在中心形成一个半径等于椭圆短轴长度的圆环。在图7d和7e中，生成圆已经被超椭圆代替[Gardner 1965](实际上是超圆，因为它们的长宽比为1)。由于轻微弯曲的边和尖锐的角的混合，一个更有活力的自然被创造出来，因为空隙似乎螺旋进入中心，从那里出现了几个莲花形状。

图7 使用替代旋转形式创建的玫瑰花结。

如果圆形玫瑰花形在任何方向上均匀拉伸，这将导致玫瑰花形整体呈椭圆形(图8a)。旋转的圆将变成椭圆，尽管其偏心率有所不同，与上例中的椭圆不同。

另一个以椭圆为主题的变化是由米开朗基罗设计的坎皮多利奥人行道(虽然直到1940年才开始实施)。最终版本显示了比上述均匀拉伸更微妙的结构。内环是一个圆，连续的环逐渐拉伸，以便逐渐过渡到外椭圆。

其他图案可以以类似于圆形玫瑰花结的方式构建，但是修改圆的位置和/或它们的大小。例如，图8b和8c中的肾形线和心形线对于圆保持与玫瑰花结相同的位置，但是它们的半径是位置的函数。

图8 圆形玫瑰花结的进一步变化。

连接的变化

再次从基本的圆形玫瑰花结开始，轮廓可以通过各种图形方式进一步表达[Williams 1997]。同样由米开朗基罗设计的Laurenziana图书馆的路面从两个方面改进了基本的玫瑰花结。它是由两个玫瑰组合而成，第二个相对于第一个略微旋转[Nicholson and Kappraff，1998；Kappraff 1999]。此外，空隙内还画了椭圆。

即使将图案简化为具有无限薄边界的单个玫瑰花结，并将椭圆与圆对接，仍然会产生难以分析的几何图案。主要问题涉及椭圆，因为确定内接椭圆并不简单。

为了简化分析，我们将曲线菱形近似为标准的直边菱形(图9)。然后，我们可以按照绘图员已知的繁琐程序来确定平行四边形的内接椭圆[Browning 1996]

图9 曲线菱形空隙形成圆形玫瑰花环。

事实上，对于菱形来说，问题大大简化了。菱形和椭圆的中心重合，我们发现如果菱形的轴的长度是a和b，那么椭圆的轴的长度是a/√2和b/√2，并且与菱形的共轭直径对齐。此外，椭圆与菱形的接触点位于菱形边的四个中点。我们注意到，这也是牛顿解决的在凸四边形中内接椭圆问题的退化情况[drri 1965]。牛顿发现所有可能的内接椭圆的中心都位于连接四边形对角线中点的直线段上。对于菱形，对角线的中点是重合的，因此椭圆的位置只有一个解。然而，对于长宽比仍然有多种解决方案。我们所描述的结构最大化了椭圆的面积。

如图10a所示，由直边菱形引起的近似引起的误差可能很大。椭圆看起来大小合适，但是向玫瑰花结的中心移动。随着圆圈数量的增加，组成菱形边的弧线变短，从而降低了总曲率。这意味着近似误差也减小了，如图10b所示，椭圆更好地拟合了空隙。

测试了几个简单的修正，看看是否有一个简单的程序可以更准确地记录椭圆。第一次校正是基于菱形的两个角，这两个角与玫瑰中心的距离相等。我们最初的方法有效地将它们的平均值作为中心，因此该中心比角更靠近玫瑰中心。因为看到这实际上是太深入，我们考虑推出椭圆，使他们的中心变得与菱形的角落等距。这是通过选取一个角点并旋转它，使其与通过菱形中心的光线对齐来实现的。图10c表明，尽管椭圆不再与它们的邻居接触，但误差已经大大减小。第二种校正方法是考虑形成空隙的真实圆和直线近似之间的最大误差。这是ri=√(r^2-c^2/4)其中c是菱形边的长度。最大误差出现在菱形边的中点，也就是椭圆应该接触的地方。通过这个校正因子，沿着光线从玫瑰中心推出菱形中点，产生更好定位的椭圆。即使玫瑰花结中只有几个圆圈，误差也几乎看不见(图10e)。这种方案优于更复杂的方案的一个优点是，由于空隙的长度都是相等的，所以对于整个玫瑰花结只需要计算一个修正值。这也导致椭圆与它们的邻居保持联系。

图10 a，b)位于菱形中心的椭圆；c，d)位于菱形旋转角上的椭圆；e，f)位于菱形中心的椭圆，带有曲率校正。

月牙形

我们可以看到，每一对相邻的圆都会产生一个新月形的切面，这个切面被称为 "月牙形"。月牙形的一个有趣之处在于它与经典的 "圆的平方 "问题有关。公元前五世纪，希腊数学家希波克拉底成功地将月牙形变为正方形，即他建造了一个面积与月牙形相等的正方形。当然，虽然这是一个令人印象深刻的壮举，但不幸的是，这并没有使他更接近于把圆变平方！

我们可以把内切椭圆看作是挤在月牙形中的，它们的中心将位于月牙形的中间——也就是所谓的中轴线上。作为一个更简单的问题，我们可以考虑如图 11 所示的带内切圆的月牙形。

图11 刻在月牙上的圆。

这种结构让人联想到哥特式玫瑰窗的装饰，例如森斯大教堂的玫瑰窗 [Heilbron 1998]。我们通过寻找与楔形窗两条弧线相切的圆心的位置来确定中轴线。在我们对月琴的分析中，其边界圆弧的中心分别为 (0,0) 和 (0,m)，我们可以证明中轴线是一个椭圆，其中心为 (0,m/2)，半轴长度为 a=r，b=1/2√(4r^2-m^2)。设置 r=1，并绘制出 m 值（以 r 为单位）不断增大时中轴的长宽比 a/b，我们可以看到，除了当月轮的两个圆相距甚远，几乎没有交集时，中轴一般都是圆状的（图 12）。随着圆的完全分离（即 m 值接近 2r），中轴的长宽比趋于无穷大。

图12 新月中轴的长宽比，是圆间距的函数(m以r为单位)。

当然，这种程度的间隔不会出现在玫瑰花形中，因为最极端的情况是只有三个圆（尽管此时没有菱形间隔来刻画椭圆）。此时相邻圆心之间的距离为 √3r，从图中可以看出，这发生在圆心距离增大导致大偏心之前。事实上，在三个圆的情况下，椭圆的长宽比正好是2。

内切圆

通过研究，我们发现内切圆出现得非常有规律，不仅仅是作为数学问题，而是在跨越艺术和科学的各种上下文中。如前所述，它们经常出现在哥特式窗饰中。罗伯特·比林斯给出了一个广泛的例子，他在19世纪发表了100种几何窗饰的设计，以及基于四个圆接触一个外圆的构造图[Billings 1849]。几年后，他继续这一主题，并发表了另外100个设计(见图13)，这一次完全基于三个内圆，彼此相切以及外圆[Billings 1851]。

图13 Billing的100张图中的一张图，显示了几何窗饰图案及其基本结构。

也许最著名的刻圆例子是亚历山大的帕普斯，他在两千多年前描述了如何在阿贝罗斯——一种形状像鞋匠的刀的图形——上刻圆。最近，丢勒也开始使用内切圆作为一种“有序”分割透镜的方式，如图14所示。

图14 丢勒对透镜的细分。

这个图表可以通过以下方式生成。设形成透镜的两个圆的圆心在，半径为r。内接圆位于，半径为ri:

月子上的圆的方程也可以确定，尽管这个过程比较费力(见附录)。这使我们能够在由相交的圆组成的圆形玫瑰花结形成的月形中插入圆，如图15所示。

玫瑰花结包含两组月牙形；图 15a 显示了只填充一组月牙形的效果。这些圆可以被看作是位于月牙的放射臂上。或者，从玫瑰花结中央沿着月牙形向外移动，所有月牙形的刻圆在玫瑰花结内形成一个环形链。虽然最初的圆很小，但圆环的半径也很小。这两个圆的半径都在增大，直到达到圆环的中点。此后，圆圈逐渐变小，而圆环的半径继续增大，从而形成越来越稀疏的圆环。如果两组月牙形都以圆圈刻划（图 15b），圆圈会相交（最外圈除外），从而产生额外的月牙形系列。

图15 圆形玫瑰花结，额外的圆刻在新月上。

内切圆的更多实际应用经常出现在工业设计中，通常作为一种在最小化重量或材料的同时提供强度的手段。在十八世纪的桥梁设计中可以看到一对对比鲜明的例子。在图16a所示的桑德兰铁桥中，圆圈可以被认为主要是为了加强结构。另一方面，庞蒂普里德石桥(见图16b)中的内接圆圈是穿过拱肩的圆柱体，以减轻重量，因此看起来是内接圆圈的移除而不是增加。

图16 包含内切圆的桥。

保角映射

承接上文所述的内切圆，我们可以将一组内切圆变换成我们之前分析过的带有内切椭圆的玫瑰花形图案。我们将应用保角映射，即保留局部角度的变换。这类映射有很多 [Kober 1957]，但我们只考虑 Dixon [1991] 描述的反墨卡托映射。其定义为

它的作用是将(对角线)直线转化为等角螺线。这使我们能够把平移对称映射成旋转对称。

图17a示出了映射到图17b中七个同心椭圆环的七列圆。为便于显示，各栏的上半部分已被剪去。应该注意的是，卵形是蛋形而不是椭圆形，因为它们在接近图的中心时收缩。每列中的圆位于范围[0，2p]内；增加圈数会增加径向分辨率。可以在图17a的两侧添加向无限延伸的圆形列，增加图17b中同心环的数量。缩放x值，即执行缩放因子s

改变径向缩放的速率，使椭圆可以拉伸或挤压任意量。

图17a还包括已经添加的包围圆圈的空隙，并且它们的映射包括在图17b中。为了避免线与圆交叉，它们需要形成六边形元素的网格。映射的六边形包围椭圆形，并从玫瑰花结的中心向外扩展；它们的两条径向线保持直线，而剩下的四条线变成(轻微的)曲线。为了形成一个类似于带有内接椭圆的玫瑰花结的图案，我们通过相邻圆之间的接触点叠加了一个菱形网格(图17c)。映射后，曲线菱形形成，除了不像真正的圆形玫瑰，他们切断了椭圆形的细长条(图17d)。另一个值得注意的区别是，这种玫瑰花结表现得像对数而不是圆形螺旋玫瑰花结，椭圆的尺寸增加，同时保持相同的纵横比[Williams 1999]。

图17 圆和线的线性网格到螺旋网格的反墨卡托映射。

附录：月牙上的圆

对于半径为0的圆弧组成的月牙，我们可以确定圆心为(xn,yn)、半径为rn的内切圆的参数。第一个圆很简单:xn =0 y1 =m/2 r1 =m/2。此后，使用三个约束来找到序列中的每个内切圆，这些约束涉及与三个圆的切线：组成月形的两个圆和先前相邻的内切圆。这可以看作是三个毕达哥拉斯三角形，它们引出三个联立方程，可以解出第二个圆

然后我们可以确定圆序列的余数为

参考文献

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青山不改，绿水长流，在下告退。

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