现代关于无穷的观念为数学家和哲学家提供了一个精彩的乐园，这篇短文将引领你走进这个智力盛宴的花园，告诉你创造它的这位数学家——格奥尔格·康托尔(Georg Cantor)。

Cantor 于 1845 年出生于俄罗斯。11 岁那年随家人迁往德国，余生都受到乡愁的困扰。在学校里，他在小提琴上展露出了天赋，但他真正的热情和才华却在数学上绽放。

作为柏林大学的学生，他担任了数学学会的主席，每周都会和朋友们在酒馆里热烈地辩论数学问题。1872 年，他成为了哈勒大学的特任教授，并开始了他对无穷集合的终身探索。

最基础的无穷集合无疑是自然数集：

那么，这个无穷集合与其他的无穷集合有何不同？举例来说，我们可以考虑下面这个集合

你可能会认为这个集合要比自然数集 "小"，因为它少了前 100 个数。然而，Cantor 会通过建立映射关系来反驳你的观点：

用双射来比较两个无穷集合的大小是 Cantor 最有成果的想法之一。自然数集合 N 的基数当然不是普通的数，因为 N 是无穷的。然而，它仍然是一个值得命名的数学对象，为此 Cantor 用希伯来字母表的第一个字母 ℵ（读作 "aleph"）来表示它，并用零做下标：ℵ₀。

无尽的无穷大

"在数学中，提问的艺术往往比解开它更有价值。" ——Georg Cantor

在 1872 年，Cantor 开始思考那些可以表示为分数的数字，也就是有理数。这其中包括自然数，因为每一个整数 n 都可以写成分数 n/1。

更引人入胜的是，任何两个有理数之间，不管它们多么靠近，总能找到无尽多的其他有理数。然后，这些新增的、更密集的有理数之间又会有无尽多的有理数——这似乎表明有理数的数量远超自然数，但 Cantor 证明了它们实际上是一样多的。他用一个巧妙的方式来展示这一点，他将分数排列在一个表格中：

花一点时间确信这个数组包含了每一个正有理数。相同的数可能会以等价的分数出现多次，例如 1= 1/1 = 2/2 等。现在我们通过从数组的左上角开始，沿对角线上下移动来创建一个分数列表：

如果我们省略掉那些已经遇到过的有理数，这就得到了列表

现在，我们将列表中的第一个分数与数字 1 对应，将第二个分数对应到数字 2，将第三个分数对应到数字 3，依此类推。这个映射是一个双射，证明了正有理数集合的基数与自然数集合的基数相同。我们可以进一步推广这个结果，证明所有有理数的集合的基数与自然数的基数一样。

我们把所有能够像数一样清点出来的无限集合，称为可数集(Countable set)。就好像你有无限的时间，可以按照集合中元素一直数下去："一、二、三......"。这种与自然数一一对应的巧妙性质，使得所有无限可数集合的基数（集合元素的数量）都被记为 ℵ₀。

1873 年，Cantor 思考了更深的问题，那就是实数集合的基数。实数包含了数轴线上的所有点，无论是 √2，还是 √5，或者是 π 这样的无理数。实数集合已经包含了自然数和有理数，那么，能否说它比这两个集合更“大”呢？Cantor 证实了这个猜测的确如此。为了理解这个观点，现在假设在 0 和 1 之间的实数是可列出的。想象一下这样一个列表：

在这个无尽的列表中，0 和 1 之间的每一个实数都应该被列出来。Cantor 的独到之处是他利用了这个列表的对角线元素：取第一个数的小数点后第一个数字，取第二个数的小数点后第二个数字，取第三个数的小数点后第三个数字，以此类推，我们得到一个实数 0.10876....。因为你的列表是无穷长的，这个新构建的数的小数位也就是无穷的。

接下来，我们改变这个新数的每一位，如将每一位数字加 1，这就得到了新的数 0.21987.... 这个新数与列表中的第一个数不同，因为它们的第一位小数不同。同样，它与列表中的第二个数不同，因为它们的第二位小数不同。这样一直下去，我们发现这个新的数与列表中的每一个数都不同，因此它不可能在列表中。

但是，我们最初的假设是，0 和 1 之间的每一个实数都应该在列表中出现！Cantor 证明了，唯一能避免这种矛盾的方法就是承认我们最初的假设是错的，即实数集和自然数集不具有相同基数。

这个著名的对角线论证揭示了一个惊人的事实：实数太过多，无法完全列出，即使是无限长的列表也无法包括所有的实数，因此它们是不可数无穷，不能被列举数出来，即便我们有无尽的时间、无穷的耐心。由于实数与连续线上的点相关，因此它们的基数被记作 c(或 2^ℵ₀)，代表连续性基数。

对角线论证揭示了，c 代表的无穷大比 ℵ₀ 更大。Cantor 进一步提炼了这种理论，证明了存在无穷多的无穷大，每一个都比前一个大得出奇。

如今，这个震撼的结论被誉为 Cantor 定理，但在他的时代，大多数数学家并不能理解它。有些人甚至猛烈地批评了他的工作。他的老教授 Leopold Kronecker 曾经这样评价过：

"我不知道在 Cantor 的理论中哪个占主导——哲学还是神学，但我确信那里没有数学。"

无穷大的平方

"数学要么对于人类的思维来说太大，要么人类的思维超越了机器。" Kurt Gödel

1874 年 1 月，Cantor 萌生了一个想法：一条长度为 1 的线段上的点，能否与边长为 1 的正方形内的点一一对应呢？他最初的直觉告诉他这是"不可能的"，但他渴望找到某种确认这一想法的证明。甚至在 1874 年 8 月与 Vally Guttmann 结婚的时候，他仍在致力于解答这个问题——在他的蜜月期间，他大部分时间都在与他的朋友以及数学家同事 Richard Dedekind 探讨这个问题。

三年过去，Cantor 终于领悟到，线段上的点和正方形内的点之间确实可以建立一一映射。要理解这一观点，只需将正方形内每个点的坐标交织在一起，就可以找到线段上对应的点。比如，将坐标为 (0.216, 0.750) 的点与数字 0.271560 关联起来。证明这个规则确实给出了正方形内的点和线段上的点之间的一一映射并不困难，这使我们不得不接受一个反直觉的结论：正方形内的点集的基数与线段上的点集的基数相同。

这个论证可以轻易地推广到更高维度，即立方体内的点（甚至是 n 维超立方体内的点）与实数线段中的点具有相同的基数。

对于这个惊人的发现，Cantor 感到如此震惊，以至于他写下了：

"我看到了，但我不相信！"

Cantor 的最后抗争

从 1884 年开始，Cantor 时不时地就受到抑郁症的困扰，难以专注于数学研究。自己的理论没有得到当时数学界广泛的接受，这让他倍感失望和挫败。同时，与 Kronecker 的关系恶化，与 Dedekind 的深厚友谊也受到了影响。在最低谷的时候，他得到了大学的休假许可，但在清醒的时刻，Cantor 对无穷集合的排序依然产生着绝妙的想法。他证明，存在一整套可以按照递增顺序列出的无穷大的基数。其中的第一个是 ℵ₀，也就是自然数的基数，其余的被记作 ℵ₁，ℵ₂，ℵ₃ 等等。

这引出了一个问题，哪一个基数等于 ，也就是连续统的基数。Cantor 已经显示出 c 大于 ℵ₀ ——但是它是否等于列表上的下一个基数 ℵ₁？Cantor 强烈地认为应该是这样。如果不是，那就存在另一个无穷大，它"大于"自然数的无穷大，但"小于"实数的无穷大。这个断言 c=ℵ₁ 被称为连续假设。Cantor 在他生命的最后几年里还努力得出证明。

"对于连续假设的证明与反驳，集合的概念都过于模糊。" ——Paul Cohen

我们现在知道，康托尔当时所运用的数学方法根本无法解答这个问题。1940 年（在康托尔去世 22 年后），库尔特·哥德尔(Kurt Gödel)证明了标准数学无法证明连续假设是错误的，另外 23 年后，保罗·科恩(Paul Cohen)则证明了连续假设无法证明其正确性。至今，数学家和逻辑学家仍在探讨这个引人入胜的问题。

1899 年，康托尔最小的儿子和他的弟弟相继去世后，他的精神健康和数学能力迅速恶化。他最后几封信是写给他的妻子 Vally 的，这些信是从精神病院发出的，信中恳求被允许回家。

他在 1918 年 1 月 6 日因心脏病发作而去世。

1904 年，伦敦皇家学会为了表彰康托尔毕生致力于建立集合论基础和揭示无穷集合的神秘面纱，授予他 Sylvester 勋章，这是该学会对数学研究的最高荣誉。