著名的车轮悖论为何物？

一个世纪以来据说它曾经困扰了数学界几百年的时间。

那么究竟这个悖论有多让人难以理解？

现在就让我们一起来了解这个烧脑的车轮悖论是什么。我们先在一张圆形的纸片上画两个一大一小的同心圆，接着让其在这张圆形的纸片滚动起来，此时当大圆滚完一周后，小圆也会随之跟着滚动一周。

这时奇怪的一幕发生了，两个圆的周长明显有所不同，为什么大圆走完一周时，小圆也刚好走完一圈呢？

这就好比一辆汽车无论轮胎大小里程都不会因为轮胎变化而有所改变。这一怪异的现象就是古希腊著名数学家亚里士多德提出的车轮悖论。在过了数百年后，针对这一矛盾的结果，伽利略提出了一个巧妙的方法来对其进行解释。

他将一张圆形的纸片换成了菱形六边形，并且在其边缘涂上颜料，然后在一张白色纸张上来回滚动。此时事实就很明显了，大的这个菱形在白纸上所留下的颜料是呈现着连贯的一条线，而小菱形六边形的颜料却是断断续续的。

此时我们在一次次的增加菱形多边形的边数，让其形状无限接近于圆。在菱形多边形无限接近圆的过程中就会发现，无论是几个边，它留下的颜料总是断断续续，实验到这里的原因就显而易见，其实真正完全滚动的只有大圆，大圆是货真价实地滚动了一周，而小圆完全是附在大圆上被带着走，这一点很像飞轮上的皮带轮，前者转动一周较小的皮带轮也会跟着转一圈。

不仅如此，看似转动着的小圆圈实则在滚动时悄无声息地发生了滑动现象，就像前面所说的飞轮带动皮带轮转动同理。说到这里我们可以这样认为，小圆滑动部分对应为小菱形六边形在滚动时所出现的断点部分，因为本身两个圆的周长本就不同，所以滑动的那部分刚好就是两个圆的周长差。简单说就是当大圆滚动时，小圆则是在连滚带滑。

伽利略对这个现象的解释，似乎让我们更加明确。目前确实没有比这更好的办法来解释车轮悖论呢？车轮悖论在数学史上真正算得上王炸事件，回顾80年代的那次SAT乌龙事件不难看出车轮悖论的神奇之处！

时间1982年，一道写在黑板上的SAT数学题出现了错误，当时就引发了SAT历史上最严重的乌龙事件。

出提方是美国大学理事会（College Board）在考后声明，这道题出提方给出的答案本身就是错误的。原题；Circle A has 1/3 the radius of circle B. Circle A rolls around circle B until it turns to its starting position. How many revolutions of circle A are there in total?(a) 3/2(b) 3(c) 6(d) 9/2(e) 9.

翻译后为：圆A的半径是圆B的三分之一，如果我们让小圆绕大圆转一圈回到原点。小圆会自转几圈？

想必很多朋友应该认为是3圈。因为大圆周长是小圆的3倍，小圆自转3圈的距离应该刚好与大圆的周长同等。

当然它所释放的知觉是会欺骗我们的眼睛，答案并不是3。

为什么会在直觉上犯错？我们很难想象，圆的一周，它的中心走过的距离并非是圆的周长。这里太过绕，先不急着去理解。

在“几何学上的海伦”中，如果将不动圆的周长拉成一条直线，能否确保这个问题能完美解决？想象一下，圆在一条直线上滚动一周后，边界上的一个顶点所形成的轨迹，就像涂上定位颜料的车轮，当它转动一周后，定位点会在空中画出一条摆线

。摆线（cycloid）又名几何学上的海伦。因此摆线引起了数学史上的众多争端。以牛顿为首的顶尖科学家当时都曾有对摆线进行过研究。至今也不知道是哪位数学家首先研究清楚了摆线的性质。

若优先选择圆上的一点，能否看出它有怎样的变化。在视觉上我们可以看到圆上一点运动的轨迹，是一个弧形。这个弧形的“拱高”是圆的直径d，这个弧形的宽度则刚好是圆的周长，这正是圆心走过的距离。

早在17世纪，数学家们就发现摆线的长度刚好是旋转圆直径的4倍。车轮悖论回到最初的题目，答案在明面上确实显而易见。之前我们考虑的是圆上一点运动的轨迹，但是这个轨迹并不是我们想象的一个圆。暂时仅需考虑圆心走过的距离。假设大圆的半径为3，小圆的半径为1。

圆心走过的轨迹正是一个圆，这个圆的半径正是两个圆半径的和1+3，也就是说这个轨迹的长度是8π，而小圆的周长是2π，所以小圆实际上自转了4圈。

目前让人感到意外的是，当n=1时，圆心轨迹这个新圆的半径就应该是2，所以小圆就应该自转2次。车轮悖论然而早在三百多年前亚里士多德就已经提出类似的问题了。

一个车轮可以看成两个同心圆？

亚里士多德观察到，一个车轮运转一周，内外两个圆都会回到原点，两个圆走过的路程是一样的。但是这个路程等于大圆的周长，却大于小圆的周长，到底两者之间出错在了哪儿？

这一切看起来是一个难题，但是解决眼前这道题，一定要明白这到底是为什么？首先两个圆走过同样的距离，实际上是两个圆的圆心走过了同样的距离，因为两者是同心圆，这一点是毋庸置疑的。对于圆上的一点而言，它走过的距离与圆的大小有关。

要知道两个圆上的点经过的轨迹其实分别是两条不一样的摆线。小圆的摆线更短，效率更高。实际上，小圆的摆线有一个特殊的名称叫“短伏摆线”，和摆线属于同一个分类。

关于摆线的争论的故事至今远远还没有结束。

这是因为摆线深受数学家的喜爱，甚至部分已经到了痴迷状态，所以摆线变成为了数学界上绝无仅有的争端。公元50年的“海伦公式”，它源自古希腊的几何学家海伦。

伽利略可能是第一个认真研究过海伦公式的初期科学家。1640年，伽利略曾在写给卡瓦列里的信中写道，他认真研究这个奇怪的形状已经长达半个世纪之久，我也是第一个命名摆线的科学家。

伽利略认为用同样的材料切割出的摆线和产生摆线的圆，可通过它们的质量比，从而推算出摆线和x轴围成的面积与产生它的圆的面积比大约是3:1。

就在同一时期，罗贝尔瓦写给笛卡尔的信中证实了这个结果。 罗贝尔瓦在研究中发现，一条辅助线AQD（后来被证明是正弦波的形状），求出了中间水滴形AQDP的面积应该是1/2πr^2。根据祖暅原理(也称祖氏原理，来自我国公元656年，唐代李淳风九章算术中)，可以得出曲线AQD将长方形ABDC平分成两半，AB是圆的直径也就是2r，CD 是圆周长的一半，所以是πr。所以AQDC的面积是πr^2。那么整个ACDP的面积就是3/2πr^2。

因为这里只是摆线的一半，我们可以说这个摆线下的面积是3倍对应圆的面积。后来伽利略的学生托里拆利，率先发表了这个证明。而实际上两人曾分别独自发现了这个证明。让人感到遗憾的是，直到托里拆利在去世前夕，仍然在极力地收集更多证据来证实这一切，证明摆线是他独自解决的难题。似乎摆线的争端不会停息，一直延续到了帕斯卡发表摆线简史。

帕斯卡也发现了杨辉三角(帕斯卡三角)的奥秘。帕斯卡在某个夜黑风高的夜晚，帕斯卡突然开始牙疼难以入眠，于是再次开始思考摆线的性质，思考中甚至忘记了牙疼。

帕斯卡此时开始觉得这一切正是上帝的旨意，于是在后来的一周里顶着牙疼没日没夜地研究着摆线，奇怪的是在他发表了摆线简史的第三天牙疼竟然好了，可他的研究并未得到业内各界的认可，反而遭到了抵制，这一切的发生正是因为帕斯卡支持了法国数学家罗贝尔瓦的研究。

时间来到1696年，伯努利在“博学通报”发表了关于最速降线的研究。

伯努利最速降线是指，我们放一个小球在一点A沿某条曲线滚到低一点的B点，该以什么样的曲线行进才能让所需的时间最短。

这条最速曲线还是摆线！牛顿、伯努利、莱布尼兹和洛必达都得出同一结论，正确答案应该是摆线的一端。 关于牛顿和莱布尼茨谁先发明了微积分至今仍是争论不休。这一切正是摆线呈现的完美性质才使得数学家们魂牵梦萦，以至于传说中为了各自的结果不惜大打出手，摆线才能完美地匹敌得上“几何学的海伦”这个希腊第一美女的称号。

当然摆线和车轮悖论的争论直到今天都没有到此为止，数学家们穷尽一生都想不明白的问题，我们花几分钟肯定也是想不明白。数学之所以能让人魂牵梦绕，正是这些数学家们人生道路上，有着太多解不开的谜题罢了。