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《微积分》

杨皓 主编

微积分作为大学数学的核心内容之一，是经管类专业的公共必修课。该课程内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用，其中极限是微积分的基石。微分学包括导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分与天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及其他科学领域有着十分密切的联系，其应用极其广泛。

本教材主要包含8章。第1章介绍函数的概念及其性质，初等函数的定义。第2章主要介绍数列和函数极限的定义、性质和运算法则、无穷小量、极限存在的准则和两个重要极限以及函数的连续性。第3章介绍导数与微分的定义、运算法则和隐函数的导数等。第4章介绍中值定理与导数的应用。第5章介绍定积分和不定积分的定义、性质、计算方法及其应用。第6章介绍数项级数和幂级数的概念、性质和敛散性，函数的幂级数展开。第7章介绍多元函数的定义，偏导数、全微分、高阶偏导数的计算和应用，二重积分的定义及计算。第8章介绍微分方程和差分方程的定义和求解方法。

本教材的内容与教育部颁布的研究生入学考试数学三的考试大纲中的内容相衔接，这样既可作为财经类院校的相关专业的微积分教材，又可作为考研的数学辅导用书。另外，本书在编写时适当介绍了一些数学史、数学文化以及现代数学思想的内容，因此，也可作为数学爱好者的阅读书籍。

本书目录

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第1章 函数

1.1 函数

1.1.1 函数

1.1.2 函数的表示法

1.1.3 复合函数

1.2 反函数

1.2.1 反函数

1.2.2 反正弦函数

1.2.3 反余弦函数

1.2.4 反正切函数 、反余切函数

1.3 函数的性质

1.3.1 奇偶性

1.3.2 周期性

1.3.3 单调性

1.3.4 有界性

1.4 初等函数

1.4.1 基本初等函数

1.4.2 初等函数

本章习题

第2章 函数的极限与连续性

2.1 数列的极限

2.1.1 数列的定义

2.1.2 数列极限的定义

2.1.3 子列的概念

2.2 函数的极限

2.2.1 自变量x→∞时函数f(x)的极限

2.2.2 自变量x→x0时函数f(x)的极限

2.3 函数极限的性质

2.4 无穷小量与无穷大量、阶的比较

2.4.1 无穷小量

2.4.2 无穷大量

2.4.3 阶的比较

2.5 极限存在准则、两个重要极限

2.5.1 极限存在准则

2.5.2 两个重要极限

2.6 函数的连续性

2.6.1 函数连续的定义

2.6.2 函数的间断点

2.7 连续函数的性质及初等函数的连续性

2.7.1 连续函数的性质

2.7.2 闭区间上连续函数的性质

2.7.3 初等函数的连续性

本章习题

第3章 导数与微分

3.1 导数的概念

3.1.1 引例

3.1.2 导数的定义

3.1.3 单侧导数 (左导数与右导数)

3.1.4 导数的几何意义

3.1.5 可导与连续的关系

3.2 求导法则与求导公式

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则

3.2.2 反函数求导法则

3.2.3 复合函数求导法则

3.2.4 对数求导法

3.2.5 求导法则与基本初等函数的导数公式

3.3 隐函数的导数、高阶导数

3.3.1 隐函数导数

3.3.2 高阶导数

3.4 微分

3.4.1 微分的概念

3.4.2 微分的几何意义

3.4.3 微分的基本公式与运算法则

3.4.4 复合函数的微分法则

3.4.5 微分在近似计算中的应用

3.5 导数在经济学中的应用

3.5.1 边际与边际分析

3.5.2 弹性

本章习题

第4章 微分中值定理与导数的应用

4.1 中值定理

4.1.1 费马(Fermat)定理和罗尔(Rolle)定理

4.1.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理

4.1.3 柯西(cauchy)中值定理

4.2 洛必达法则

4.2.1 0/0型未定式的极限

4.2.2 ∞/∞型未定式的极限

4.2.3 其他类型的未定式的极限

4.3 泰勒公式

4.4 函数的单调性、极值与最值

4.4.1 单调性的判别法

4.4.2 函数的极值

4.4.3 函数的最值及其应用

4.5 曲线的凹凸性、拐点与渐近线

4.5.1 曲线的凹凸性与拐点

4.5.2 曲线的渐近线

4.6 函数作图

本章习题

第5章 一元函数积分学

5.1 定积分的定义与性质

5.1.1 曲边梯形的面积

5.1.2 收益问题

5.1.3 定积分的定义

5.1.4 定积分的几何意义

5.1.5 函数的可积性

5.1.6 定积分的性质

5.2 不定积分与微积分学基本定理

5.2.1 积分上限函数

5.2.2 原函数与不定积分

5.2.3 不定积分的几何意义

5.2.4 不定积分的性质

5.2.5 基本积分表

5.2.6 微积分学基本定理

5.3 不定积分的几种基本方法

5.3.1 第一换元法(凑微分法)

5.3.2 第二换元法(变量替换法)

5.3.3 分部积分法

5.4 有理函数的不定积分

5.5 定积分的计算

5.5.1 定积分的换元积分法

5.5.2 定积分的分部积分法

5.6 定积分的几何应用

5.6.1 平面图形的面积

5.6.2 平行截面面积为已知的空间立体的体积

5.6.3 旋转体的体积

5.7 定积分的经济应用

5.7.1 已知边际函数，求总量函数

5.7.2 已知总量变化率，求总量

5.7.3 贴现问题 (收入流的现值和将来值)

5.8 广义积分初步

5.8.1 无穷限广义积分

5.8.2 瑕积分

5.8.3 Γ函数

本章习题

第6章 级数

6.1 数项级数的概念与性质

6.1.1 数项级数的概念

6.1.2 数项级数的性质

6.2 正项级数收敛性的判别

6.2.1 正项级数的概念与性质

6.2.2 正项级数的比较判别法

6.2.3 正项级数的比值判别法与根植判别法

6.3 任意项级数收敛性的判别

6.3.1 交错级数与莱布尼弦判别法

6.3.2 任意项级数的绝对收敛与条件收敛

6.4 幂级数

6.4.1 函数项级数的概念

6.4.2 幂级数的概念与收敛域

6.4.3 幂级数的性质

6.4.4 幂级数的求和

6.5 函数的幂级数展开

本章习题

第7章 多元函数微积分学

7.1 预备知识

7.1.1 多元函数的基本概念

7.1.2 平面点集

7.2 多元函数的极限与连续

7.2.1 多元函数的极限

7.2.2 多元函数的连续性

7.3 偏导数

7.3.1 偏导数的概念及计算方法

7.3.2 偏导数的几何意义

7.3.3 高阶偏导数

7.4 全微分

7.4.1 全微分的概念及计算

7.4.2 全微分在近似计算中的应用

7.5 多元复合求导与隐函数求导

7.5.1 多元复合求导

7.5.2 全微分形式不变形

7.5.3 隐函数求导

7.6 多元函数的极值

7.6.1 二元函数的极值

7.6.2 有界闭区域上二元连续函数的最值

7.6.3 条件极值与拉格朗日乘数法

7.7 二重积分

7.7.1 二重积分的概念与性质

7.7.2 直角坐标系下二重积分的计算

7.7.3 二重积分变量替换公式

7.7.4 利用极坐标系计算二重积分

7.7.5 利用对称性简化二重积分的计算

本章习题

第8章 微分方程与差分方程

8.1 基本概念

8.2 可分离变量的方程

8.2.1 可分离变量方程

8.2.2 齐次方程

8.3 一阶线性微分方程

8.3.1 一阶线性微分方程

8.3.2 常数变易法

8.3.3 伯努利方程

8.4 二阶常系数线性齐次方程

8.4.1 二阶线性方程

8.4.2 二阶常系数线性齐次方程

8.5 二阶常系数线性非齐次方程

8.5.1 二阶常系数线性非齐次方程解的结构

8.5.2 二阶常系数线性非齐次方程的特解

8.6 差分方程

8.6.1 差分

8.6.2 差分方程

8.6.3 常系数线性差分方程及其解的结构

8.7 一阶常系数线性差分方程

8.8 二阶常系数线性差分方程

本章习题

附录1 极坐标

附录2 计数原理

附录3 排列数与组合数

附录4 二项式定理

附录5 连续复利问题

各章习题参考答案

《微积分》

杨皓 主编

中国财政经济出版社 出版

ISBN：978-7-5223-2470-8

定价：52.00元

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