“新发现·科普书单”以“科学照进未来”为价值主张，致力于汇聚全国科普好书。今天选读的内容出自入选科学人文子书单的《星空的暗角：天文学史上的伟大失败》，本书选取了科学史上21场遗憾失败的尝试，他们失败的原因各不相同，但其中的故事各有各的精彩，这些故事就像银河系中被遮蔽的星光，是暗角，却也是天文史上的伟大进步。

三体问题没有解

瑞典国王奥斯卡二世1872年继承王位。在他统治期间，瑞典取得了巨大的进步，特别是在军事、外交和政治方面。他重新定义了军队的职能，使军队能够真正应对当时的外部威胁，他还改革了外交部，使外交官能够真正有效地处理国家之间的关系。他还重新定义了政府机构的职能，使官员能够真正有效地执行法律。1889年，这位伟大的国王年满60岁。

国王曾经在乌普萨拉大学学习数学专业。他的学弟约斯塔·米塔尔—莱弗勒成为新成立的斯德哥尔摩大学的首位数学教授。米塔尔—莱弗勒建议国王用一种新奇的方式庆祝生日。最终，国王在自己60大寿之际设立了一项科学竞赛，向全世界征集太阳系稳定性的数学证明。这是一个由来已久的科学难题，牛顿都曾经束手无策。

18世纪，牛顿在开普勒的基础上建立了一整套关于太阳系里行星围绕太阳运动的体系。利用牛顿三大定律和万有引力定律，今天的中学生就能写出地球围绕太阳运动的轨道方程。物理专业的大学生可以轻松写出方程的微分形式。在处理太阳和地球的运动关系上，牛顿力学登峰造极，取得了一系列成功。但是，和勒威耶面对的问题一样，当需要考虑的天体数量不止两个的时候，该如何确定精确的运动方程呢？

牛顿面对这个问题的时候感叹，这已经超出了人类的才智。与勒威耶同时代的天文学家尽了最大的努力，也只能战战兢兢地猜测太阳系长久以来一直稳定存在，似乎更多天体的相互作用也可能得到研究。这就是著名的N体问题。当N=2的时候，牛顿定律给出精确解，两个天体在椭圆形轨道上相互绕转。当N=3的时候，N体问题就成为三体问题，尚未有答案。当时的明眼人都知道，奥斯卡二世悬赏的太阳系稳定性的数学证明，其实就是在悬赏三体问题的解。

三体问题为什么这么难呢？

让我们假设宇宙里只有三个天体，编号分别为1号、2号和3号。每个天体都受到另外两个天体的引力作用。因此，1号天体的受力由2号和3号天体的位置与质量共同决定。同样，2号天体的受力由1号和3号天体决定，3号天体的受力由1号和2号天体决定。

1号天体的受力会影响1号天体下一步的运动。运动之后的1号天体位置改变，反过来对2号和3号天体产生的引力发生变化。这个变化又决定了2号和3号天体下一步的运动，而2号和3号天体改变状态之后又再次影响了1号天体……为了描述得更清楚，我只能把天体运动拆分成这样一步步的过程。但实际上，三个天体之间彼此的相互作用和相互改变都发生在连续的时空里。

数学家欧拉和拉格朗日等人已经对这些问题做了比较深刻的研究。利用牛顿发明的微积分的数学方法，他们找到了一系列描述三体问题的方程。

三个天体无论怎么运动，三者的质量中心，也就是重心都保持不变，这样我们就可以得到一个方程。三个天体中引力的合力一定为零，这样我们又得到一个方程。三个天体的运动速度和质量密切相关，考虑速度的方向之后，它们的总和固定守恒，又可以得到一个方程。所有天体的总能量守恒，这又是一个方程。就这样，几代数学家和天文学家不懈努力，一个方程一个方程地探寻、挖掘、总结，最终找到了描述三体问题的10个方程，用积分的形式把它们写了出来。求解的目标是得出三个天体的位置和速度。每个天体都包含三个维度的位置速度数据，共计18个未知数。接下来的任务就是用10个方程找到18个未知数的解，这是很艰难的任务，大部分这类的微积分方程都无法找到。

瑞典国王的竞赛悬赏受到了欧洲大部分学者的关注。比赛明确规定，为了评委能够公平地审查征集来的答案，所有答案都不能署名，只允许留下一句暗号，将来凭暗号领奖。获奖作品将在米塔尔—莱弗勒创办的《数学学报》（Acta Mathematica）上发表，作者将获得2500瑞典克朗奖金和一枚金质奖章。这笔奖金的数额相当于当时一位大学教授4个月的收入。竞赛于1885年正式发布，征集时间为三年。竞赛的评委会由三位数学家组成，除了米塔尔—莱弗勒之外，还有德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯和法国数学家夏尔·埃尔米特。

看到竞赛消息的庞加莱当时年仅31岁，正在巴黎大学任教。他出生在法国南锡，家庭在当地算得上显赫。庞加莱的父亲是南锡大学的医学教授，他的堂兄雷蒙·庞加莱做过几任法国总理和总统，带领法国参加过第一次世界大战，主持召开了巴黎和会，签订了《凡尔赛和约》。庞加莱5岁时患上了严重的白喉。他发病的时候影响了视力，完全看不见老师在黑板上写的字。为了学习，庞加莱只能训练自己盲听的技巧，光靠听讲和心里默想学会了大量基础知识。这样的训练让庞加莱特别善于在心里默默推导数学公式。后来的学者曾经评价庞加莱不太看重数学逻辑，但直觉一流。庞加莱学习成绩一流，几乎每门课都得到老师的赏识，两次获得法国中学生数学竞赛冠军。数学老师形容他是“ 数学怪兽”。他在作文方面也表现突出，最差的科目是音乐和体育，学校给出的评语是“ 普普通通”。

19岁的庞加莱以第一名的成绩考入巴黎综合理工学院，后来进入南锡矿业大学，同时研读采矿工程学和数学两门专业。他获得了采矿工程学学位。在准备申请博士学位期间，他加入了矿业公司，奉命调查一起矿难事故。1879年，25岁的庞加莱获得巴黎大学博士学位。

庞加莱以学术精英的身份进入了科学研究的团体，正式披挂上阵，着手解决一系列数学难题。32岁那一年，前途蒸蒸日上的庞加莱见到了瑞典国王发布的数学题。他立即认识到，这个题目本质上就是长久以来的三体问题的变形，要彻底解决问题，就必须破解三体问题。他决心一试身手。

庞加莱明白完整的三体问题过于复杂，自己还没有骄傲到相信自己能破解它的程度。所以，他设定了一种特殊的条件。他假设，三个天体中的前两个比较巨大，第三个相对渺小，而且三个天体的运动始终位于同一个平面上。因为第三个天体太小，所以它只会受到前两个天体的引力作用而改变自身的运动状态，但反过来，它不会对前两个天体造成影响。这就是庞加莱提出的“ 限制性三体问题”。牛顿早就断言，力的作用是相互的，你推我一下，我也给了你同样的推力。庞加莱的特殊条件显然不符合宇宙的真实规律。但是，不真实的假设却特别有用。

比如，我们从地球上发射一艘前往月亮的飞船。在这个过程中，地球、飞船和月亮构成三体问题，计算飞船的轨道就成了不可能完成的任务。按照庞加莱的假设，飞船的尺度和质量远远小于地球和月亮，因此它对地球和月亮的影响可以忽略不计，我们只需要考虑地球和月亮对飞船的影响就足够了。结果是，地球和月亮之间成为二体问题，所有二体问题得到的结果现在还能继续用在地球和月亮上，地球和月亮的全部位置和速度数据都成为已知条件。错综复杂的三体问题，变成了二体问题基础上增加第三个天体的分层问题，解决起来就简单多了。

庞加莱在论文中认定，限制性三体问题的解一定是稳定的。稳定的意思是，如果一开始的初始条件有一点点偏差，那么一段时间之后的运动结果也只会产生一点点偏差。庞加莱自信满满，在论文封面上留下的暗语是，“繁星永不越界”，暗示了限制性三体问题的稳定解。

作为评委之一的魏尔施特拉斯看到庞加莱的论文后，认为庞加莱没有彻底解决三体问题，但是他在论文中采用的方法把三体问题大大向前推进了一步。更重要的是，为了推动三体问题，庞加莱在论文中实际上发明了一些新的数学理论，这让魏尔施特拉斯大为赞赏。因此，魏尔施特拉斯写信给米塔尔—莱弗勒说：“你可以告诉你的国王，庞加莱的这项工作确实不能被视为提供了所提出问题的完整解答，但它仍然具有非常重要的意义，它的发表将开创天体力学史上的一个新时代。”

1887年是庞加莱梦幻的一年。他在这一年入选法国科学院，破解了瑞典国王的谜题，他妻子生下了他们的第一个孩子。1889年，瑞典国王60大寿两个月之后，庞加莱从瑞典驻法国大使手中接过了他的奖金和奖章。

可就在这一年年末，负责出版庞加莱论文的《数学学报》编辑弗拉格曼发现了一处读不懂的地方，便写信追问庞加莱，两人通信沟通了一阵。经过一番讨论，庞加莱意识到自己在论文中犯了一个错误。但论文已经印刷完毕，寄给了部分读者。这样的情况一旦被公开，就会成为一场学术丑闻。本来就有很多人对庞加莱获奖感到不满，怀疑有人内定了比赛结果，如果论文再曝出错误，那更是雪上加霜了。米塔尔—莱弗勒无奈之下也只有把这件事隐藏在心里，找了个印刷错误的借口悄悄收回了寄出去的论文，选择信任庞加莱能尽快将错误修改好，再重新印刷。

庞加莱没有让米塔尔—莱弗勒失望。第二年的1月5日，庞加莱重新提交了修改好的论文，并顺利发表。完整的论文长达270页，在当年11月印刷完毕，与欧洲的数学家见面。当然，庞加莱答应承担重新印刷新版论文的全部费用，共计3500瑞典克朗。他交回了全部奖金，还要倒贴1000元。

弗拉格曼发现的那处错误一点也不简单。庞加莱自己也意识到，即便把三体问题简化成限制性三体问题，答案也不稳定。一旦初始条件有一丁点偏离，长时间运动之后的结果就会产生巨大差异。也就是说，如果我们获得的天体初始位置和速度的观测数据存在一定程度的未知误差，计算之后的运动轨迹就会完全偏离实际情况。发射到月球的飞船走着走着就丢了。

庞加莱修改后的论文保留了那句“ 繁星永不越界”的暗语，但在计算中给出了一个完全相反的结论，即三体问题的结果不稳定。拿了奖金，却完全搞错了方向，这算是彻彻底底的失败了。但庞加莱没有止步于此。他从不稳定的结果出发，继续探索不稳定本身的科学意义，提出了一整套新的数学概念。这个概念被后来的学者解读为混沌现象，又被称为“ 蝴蝶效应”，即一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个月后得克萨斯州的一场龙卷风。混沌现象的重要特征之一就是对初始条件敏感。

庞加莱修改的论文承认了原始的错误，却开创了一个全新的科学概念。气象学家发现，无论多么复杂的模型，都无法精确预测天气，微小的观测差别就会产生截然不同的预测结果。天文学家在木星的大红斑、太阳表面的剧烈活动、小行星带的空隙和更大尺度的星系分布中都发现了混沌的迹象。生态学家发现，种群数量的涨落总会超出人类的预期。随着天气预报、天文学、生态学和计算机科学等一系列新领域的应用，混沌理论慢慢发展为20世纪最重要的科学理论之一，与相对论和量子力学并称为20世纪三大科学革命。不仅在科学领域，在日常的政治和经济活动中，人们也开始意识到，简单的线性系统可能并不可靠，大自然和人类社会可能带有混沌的特质。

庞加莱的工作再次确认，三体问题以及更多天体的问题，无法找到精确的方程解答。刘慈欣在科幻小说《三体》中想象了三体人穷尽自己所能，也无法准确预测自己的三个太阳的运行规律。三体人只能放弃故土，伺机殖民地球。现代科学家可以利用计算机的数值能力近似地求出三体问题的解，帮助飞船走上前往月球和火星的正确轨道。但我们深知，太空旅行中的每一步都战战兢兢、如履薄冰，影响飞船的天体实在太多了，下一秒钟的轨道不确定性过于复杂。每一次向外探索时，我们都心怀对科学的感激，同时又抱有稳定幸存的感恩。

让我们回到一开始的瑞典国王的难题上：太阳系到底是不是稳定存在的？根据庞加莱的证明，太阳系包含了太多天体，比三体问题更复杂，当然是混沌的，也就是不稳定的。但是，这种不稳定在短时间内不一定能被人类察觉，不稳定也不一定都体现为星球到处乱飞。太阳系混乱却温柔，在长期混沌与短期稳定之间寻求平衡。这就是宇宙的真相，也是科学失败与成就的隐喻。

1912年，庞加莱因前列腺问题接受了手术，随后因栓塞而去世，享年58岁。他被葬在巴黎蒙帕纳斯公墓的庞加莱家族墓地。2004年，在法国国家教育部长的提议下，庞加莱被重新安葬在巴黎先贤祠，位列法国最高荣誉纪念堂。

高爽 | 著

中信出版集团

2023 年 10 月