女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

科幻作家特德姜（Ted Chiang）巧妙地将高层次的数学概念编织到他的科幻小说叙事的结构中：例如实数轴的压缩、集合的线性排序、公钥加密和费马最小时间原理等概念在他的故事中发挥着深刻的作用——不过并不总是明确的。他独特而引人入胜的叙事具有广泛的情感吸引力：改编自他的小说《你一生的故事》的电影《降临》（2016）在首映周末票房排名第三。除此之外，特德姜的故事还具有启发性：他的读者会发现自己在不经意间学习到了数学知识，以及语言学、物理学、计算机科学和巴比伦宇宙学。本章将讨论特德姜如何利用数学来阐明非数学概念；如何利用非数学概念来传达数学思想；以及如何将两者联系起来，为科幻读者（尤其是那些有一定数学背景或倾向的读者）提供文学上的"啊哈时刻"。

导言

在二十一世纪之交，数学在大众文化中变得越来越引人注目。人们不再认为数学是一门深奥的学科，是白胡子哲学家、奇人和疯子的专利，现在，电视剧和电影让观众知道了一个秘密：他们也可以掌握数学的秘密。2005-2010 年电视节目《NUMB3RS》的标语是："我们每天都在使用数学；预测天气、计算时间、处理金钱。数学是......用你的头脑来解决我们所知的最大谜团"——这表明，数学实践既具有深远的意义，又是大众的事情。《心灵捕手》（1997 年）、《证据》（2005 年）、《模仿游戏》（2014 年）和《隐藏人物》（2016 年）等电影中的数学家都是蓝领、女性、同性恋和黑人。

然而，尽管这些对数学家的不同描述令人耳目一新，但在流行媒体中，数学本身往往或多或少地被用作道具（在白板上看起来很酷的东西）或情节设置——它能破案、让外星人与人交流，或在赌场上为大学生赢钱。不过，有些作品，如特德姜的科幻小说，则深受数学的影响。在小说《除以零》的注释中，特德姜写道："我们在小说中最欣赏的东西之一，就是出人意料却又不可避免的结局。这也是优雅设计的特点：巧妙的发明却又显得完全自然"。也许这种优雅最常见的表现形式就是情节的转折，比如雪莉·杰克逊的《彩票》（1948 年）的结尾。但它还有另一种更微妙的表现形式，即在作品的暗线中出现第二种叙述，或者更准确地说，是对所说内容的第二种解释，即潜台词。在这种情况下，两种叙事互为支撑，当第二种叙事最终浮出水面时，细心的读者、观众或听众就能加深理解，甚至顿悟。这种优雅不仅体现在诗歌中，因为诗歌中的隐喻和类比经常占据中心位置，而且也体现在电影和散文中；尤其是在特德姜的作品中，我们可以发现这种优雅——带有数学的倾向。在他的《你一生的故事》中，特德姜用数学来阐明非数学概念；用非数学概念来传达数学思想；用两者之间的联系来为他的读者——尤其是那些有一定数学背景或倾向的读者——提供文学上的 "啊哈时刻"。在本章中，我们将探讨这一点如何在这本小说集的四个故事中得到体现。

方向

特德姜的小说集以《巴比伦塔》(Tower of Babylon)开篇，这是一部类似圣经的旅行叙事小说，主人公赫拉鲁穆不是在地球上旅行，而是向上旅行。赫拉鲁穆是一名矿工，他被召唤爬上仍在建造中的巴比伦塔巴别塔塔顶，任务是“'挖通天穹'"。故事中充斥着测量数据："如果把塔放倒在希拉平原上，从这端到那端，将要走上整整两天时间。当塔矗立着朝向天空时，从地面爬上顶端,将花去一个半月时间"；"当一块砖从塔顶掉下来时，塔顶上砌砖的人们恸哭不已，还使劲抓扯自己的头发，因为要过四个月才能补充它。"；建塔的工作人员每四天爬一次塔；“塔的底座有两个平台。第一个平台是巨大的正方形，大约二百腕尺长,四十腕尺高。”特德姜较少关注塔的建造目的，而更多关注其建造所需的工程细节，然而在背景中，塔存在的理由却若隐若现：巴比伦人狂妄自大，试图建造 "一根支撑天宇的巨柱,一道通往天堂的楼梯,人们可以爬上去瞻仰耶和华的杰作,耶和华也可以下到地面来看看人间的创造。"

当然，《圣经》中关于巴比伦塔的故事暗示了建造这座塔的另一个动机：建造者们试图巩固他们作为一个民族的团结。他们说："来吧，我们要建造一座城和一座塔，塔顶通天，为要传扬我们的名，免得我们分散在全地上。"（《创世纪》11：4）。耶和华对人类获取知识的行为十分警惕，因此对这种行为不屑一顾：

耶和华说：“看哪，他们同是一个民族，有一样的语言，他们一开始就作这事，以后他们所要作的一切，就没有可以拦阻他们的了。

来，我们下去，在那里混乱他们的语言，使他们听不懂对方的话。”（《创世纪》11：6–7）

现在，我们不妨来个跳跃，唤起电影《接触》中流行的、由学者沃勒和弗洛德（2016 年）论证的命题——数学是一种通用语言：也许人们对建筑的集体工程对上帝的威胁，就像他们的 "一种语言 "和高塔对天堂的侵犯一样。一想到要闯入苍穹，赫拉鲁穆就很不舒服，他试图压抑自己的担忧。他努力学习建筑的细节，和同事们一起思考天体几何和降雨科学；他试图忽略自己对天堂的字面理解，即使他获得的知识让他更接近上帝。他上升到月亮、太阳和星星的最高处，最后到达了巴比伦宇宙模型中的天穹，那里阻挡着天堂之水。他深感不安：

赫拉鲁穆的所有感官都被拱顶的景象迷惑了。有时，当他看着拱顶时，他觉得世界好像在不知不觉中翻转了过来，如果他站不稳，就会掉到拱顶上去……

还有的时候，......一瞬间，似乎没有上，也没有下，他的身体不知道自己被牵引到了哪个方向。

尽管忧心忡忡，赫拉鲁穆还是和他的同伴们在花岗岩中挖了好几年隧道，直到——似乎不可避免地——挖通了一个水库，隧道被洪水淹没。赫拉鲁穆被大水淹没，在洪水中迷失方向，差点淹死。最后，他被喷到一个洞穴里，爬出一条通道，来到离塔基不远的地面上。

这就是数学家的小激动：赫拉鲁穆遇到了亚历山德罗夫的实数轴单点紧致化。有兴趣的读者可以在James Munkres的《拓扑学》等书中了解拓扑空间和紧致性，但我们可以非正式地将这种紧致性描述如下：取实数轴并将其缩小，比如说，缩小到开放区间（-1，1）。然后把这个区间弯曲成一个缺一点的圆。最后，将区间的“两端”连接在标有"∞"的点上。(这种描述忽略了这种紧致化的许多数学细微差别，包括区间“两端”的不存在，但有助于阐明这一概念）。赫拉鲁穆从 0 点（塔基）出发，向着无穷远的方向（方向任选）绕了一圈，到达并穿过了无穷远（即天堂），基本上完成了绕圆一周的旋转，回到了与出发点相近的位置（见图 1）。考虑到他已经到达并穿过了无穷远，他在接近拱顶时的迷失方向是可以理解的。完成革命后，赫拉鲁穆有了两次顿悟：一次是数学上的，一次是精神上的。首先，他问自己，天与地这样遥远的地方怎么会相接，并推导出一个数学模型：

他觉得自己一下子就明白过来了。一个圆滚筒，他想，人们用一个雕刻有符号的滚筒滚过一块柔软的泥板，滚筒就在泥板上形成了一幅图画印。符号可能出现在泥板相反的两端，但它们在滚筒上却是肩并肩的排列。人们把天堂和地狱看成一张泥板相反的两头，中间就是天空和星星。然后，世界以某种奇异的方式卷起来了，天堂与地球就成了滚筒上两个并列的符号。

图1：亚历山德罗夫的实数轴单点紧致化

图2：实射影平面的基本多边形。要形成这个投影面，需要将垂直边缘和水平边缘 "粘 "在一起，并标出箭头。请注意，这个平面无法嵌入三维空间

图1中的圆是这个圆柱体的横截面。喜欢数学的读者甚至可以考虑赫拉鲁穆在真实的投影面中旅行的可能性（见图 2）。这个流形是一个不可定向的曲面，这可能是赫拉鲁穆在接近穹顶和被洪水吞噬时极度迷失方向的原因："四周全是令人窒息的黑暗，压力强大的水流，吸附、推动着他。他连上下左右都分不清了"。接下来，他意识到塔的建造本身就是一种崇拜：

如此一来，就知道上帝为什么没有毁掉那塔了，为什么没有因为人们努力越出为他们设定的界限而惩罚他们，因为再长的旅程也仅仅只能让他们回到原来出发的地方。他们几个世纪的辛勤劳作不会揭示出比他们所知道的更多的创造，他们最后所看到的只是上帝无比杰出的艺术才能。通过这种才能，上帝的存在才被指明，而又被隐藏起来。而人们就知道了他们应该呆在应该呆的地方。

赫拉鲁穆走近无限之塔，迷失方向地穿过它，然后返回去传播福音："他会向塔上的人传话。告诉他们他所知道的世界的模样。"赫拉鲁穆的洞察力既是虔诚的，也是拓扑学的：就像埃德温·艾勃特（Edwin·A.·Abbott）的长篇小说《平面国》（Flatland，1884 年）中的正方形一样，他被一个球体带出了他的平面宇宙，进入了神奇的三维世界。伽利略被迫放弃了他的科学发现，正方形也因为提出第三维度——甚至第四维度——的存在而入狱！人们不禁要问，赫拉鲁穆和他的天方夜谭般的拓扑学证词会变成什么样子。

解密

中篇小说《七十二个字母》（72 Letters）是特德姜最令人困惑的故事之一，故事发生在另一个维多利亚时代的英国。在那里，独角兽的角与驼鹿的鹿角一起被陈列在博物馆里，自动装置通过使用euonyms（由72个希伯来字母组成的字符串）来制作动画，这使得“（名称和对象）的潜在能力得以实现”。真正的维多利亚时代是科学家与灵性主义者合作与对决的熔炉；特德姜改变了那个时代的科学和精神运动，并在这部杰作中将它们与卡巴拉主义传统结合起来。这部杰作涵盖了从热力学到阶级政治再到自我复制机器概念的方方面面。

读者见到故事主人公罗伯特时，他还是个小男孩，正在试验玩具的自动化：他的泥娃娃和瓷马和罗伯特世界里的其他物品一样，都是通过刻在羊皮纸碎片上的"euonyms"来实现自动化的。工业和个人保护都依赖于euonyms：

很久以来，名字一直被分为两类：一类用于激活对象，另一类的功能相当于护身符。健康护身符保护人们免遭伤害和疾病，其他护身符则可以防火或者保护海船不致沉没等等。

工业自动机在矿井中推动矿石手推车，充当信使，并启动制造驱动轮。因此，技术的进步以及人类生命的保存都依赖于对euonyms的发现和分析。

在罗伯特时代之前，对euonyms的研究历来是神秘主义者和卡巴拉学者的领域。事实上，每个euonyms 都是一个神的名字（其中一个版本包含 72 个字母），用来复活一个假人。在犹太民间传说中，假人是一种无生命的生物，通常由粘土或泥土制成，像特德姜的自动机一样，通过在其身体上或插入其中的纸片上铭刻神的名字来激活它。特德姜直接将他的自动机与假人联系在一起，他指出"[自动机的特定组件]最早出现在圣经时代。据说，约瑟夫的兄弟们造了一个有生命的女性假人，这样他们就可以和她做爱而不违反禁令。"

绕道而行：数学与假人

特德姜的《七十二个字母》并不是唯一一部将数学与假人传说联系在一起的作品。在《数字中的真理：Laurie A. Finke 和 Martin B. Shichtman 在《数字的真相：达伦·阿罗诺夫斯基的π中的神秘主义与疯狂》一文中讨论了《π》中卡巴拉、用"神圣词汇"创造出的假人与股票市场行为预测之间的联系。在《π》中，主人公马克斯（肖恩·古莱特 Sean Gullette 饰）试图揭开数学的秘密；在《七十二个字母》中，罗伯特试图揭开语言的秘密。但从根本上说，两人都试图通过哲学家雅克·德里达（Jacques Derrida）所说的符号来理解现象。毕竟，数学研究又何尝不是如此呢？

绕道结束

然而，时代正在发生变化：命名学，即对这些euonyms的研究，正越来越多地由世俗研究者进行——罗伯特和他的童年好友购买了一本《命名法少儿指南》，"上面的说法和学校里教的很不一样。书上说命名师再也不根据上帝或者神的名字来给对象定名了。流行的看法是,同时存在着词的世界和物理的世界。"

“罗伯特·斯特雷顿在剑桥三一学院的时候仍然在继续研读命名法。他研究了几个世纪以前犹太教神秘哲学的一些文本。那时候，命名师被称作“美名大师”，自动机被叫做‘有生命的假人’。接下来，他钻研以更加广阔的哲学和数学领域为背景分析字母排列技术的论文。”特德姜详细阐述了罗伯特的euonymic 研究，这当然是语言学研究，但其核心也是数学研究。甚至特德姜使用的语言也具有数学性质：

“他了解到，每一个名字都是由几个种名综合而成的，每个种名具体描述了对象所具备的一种特定的特征或能力。为了得到描述某种特征的种名，必须对形容这种特征的全部语词进行综合汇编：同源词或词源，正在使用的语言，已经灭绝的语言，等等。将所有这些字词进行筛选、替代和重新排列，从中提取出最本质的东西，那就是种名。种名还可以作为引申定义的基础：有些特征在任何语言中都没有适当的描述词，这种情况下，使用引申定义的技术，人们就可能推导出描述这些特征的种名。语词汇编的整个过程既要依赖规则，也要依靠命名师的直觉。选择最佳字母排列的能力是一种无法言传的高超技巧。

他还研究了现代的名字组合及分解技术。组合技术是把一系列种名——既简练，又能激活对象的潜能，这是对种名的要求——融合在一起，组成一串似乎是随意排列的字母，这些字母构成了对象的名字。分解技术就是把一个名字分解成各个种名。并不是每一个形成整体的名字都只能分解成固定的种名：一个威力强大的名字完全可能有多种拆分方法，可以被再次分解成好几套迥然不同的种名。有些名字极难分解，命名师必须费尽心机，开发出新的拆分方法，以揭示这个名字的奥秘。”

虽然这些强调的词语当然出现在非数学语境中，但它们共同为这段文字注入了代数学和数论的韵味。故事的其他部分也包含数学语言：例如，罗伯特的研究重点是"排列和组合的细节"——这显然是对组合学词汇的暗示——有一次罗伯特意识到，卡巴拉优尼卡研究者的成就就像一个巧妙的证明一样，是 "优雅的"。此外，对优美词法研究的描述，例如下面的描述，很容易就会变成对数学研究的描述：

罗伯特与小组中的其他命名者合作，在他们之间，他们瓜分了巨大的命名可能性之树，分配树枝进行研究，修剪掉那些被证明没有结果的树枝，栽培那些似乎最有结果的树枝。

事实上，罗伯特从事的是解密和加密研究，其工作类似于现代密码学家的工作。(特别是，我们可以将命名者的工作与数学家和计算机科学家的工作联系起来，他们试图淘汰公钥加密——一种常用的信息加密系统，只有目标接收者才能解密。

数学探索

公钥加密涉及使用两把"钥匙"，一把公钥和一把私钥。例如，假设罗伯塔的朋友利昂娜想用RSA（Rivest-Shamir-Adleman）加密法为罗伯塔加密一条秘密信息。首先，请回顾以下内容：

• 整数是实数1、2、3、…、它们的负数和0。正整数是1，2，3，...。

• 如果存在使n=km的整数k，则整数m是整数n的因子。

• 素数是p>1的整数，其唯一正因子是1及其本身。

• 如果没有大于 1 的整数同时是 a 和 b 的因数，则称整数 a 相对于整数 b 是互质数。

• 给定一个正整数n，如果n是a-b的一个因子，则称两个整数a和b是模n的同余整数。如果a和b是模n的同余整数，我们可以写为a ≡n b。

• 给定一个正整数n，φ（n）表示小于n且与n互质的正整数的数量。

在 RSA 密码术的一种实现中，信息加密和解密过程如下。(有关 RSA 密码学的更详细描述，请参阅《Judson 2018》第 7.2 节）。

1. 罗伯塔选择两个不同的大质数 p 和 q，让 n 作为它们的乘积：即 n = pq。

2. 由于 p 和 q 都是大质数，因此存在某个整数 e，且 1 < e < φ(n)，使得 e 和 φ(n) 为互质数。

这对数字 (n,e) 是密码系统的公开密钥；该密钥用于加密，并与利昂娜共享。请注意，利昂娜只知道 n 和 e：她不知道 p、q 或 φ(n)。

3. 由于 e 和 φ(n) 是相对素数，因此根据贝祖特特性（见 Judson 2018 中的定理 2.10），存在一个使ed ≡φ(n) 1 的正整数 d。数字 d 是密码系统的私人密钥，用于解密。只有罗伯塔知道这个私人密钥。

4. 为了给罗伯塔发送信息，利昂娜使用一种与罗伯塔达成一致的可逆方法，将明文信息转换成一个相对于 n 的质数的正整数 m

5.为了将c解密成原始消息m，罗伯塔计算唯一的正整数m‘，使得m’

注意，由于 ed ≡φ(n) 1，存在一个整数 k，使得 ed -1 = kφ(n)，即 ed = kφ(n) + 1。因为 c ≡n m^e，所以 c^d ≡n (m^e)^d（参见尼文等人 1991 年的定理 2.1）。因此

由于 m 和 n 都是相对素数，欧拉定理（Judson 2018 中的定理 6.18）得出 m^φ(n) ≡n 1。所以

因此，cd ≡n m。因此，m'≡n m，所以 m'= m。

6. 罗伯塔已成功计算出 m'= m，现在她只需将 m 转换成利昂娜的原始明文信息即可。

公钥加密之所以相对安全，归根结底在于：如果不知道系统的私人密钥 d，就无法解密加密信息，而要找到 d，就必须知道 e 和 φ(n)。虽然 n 和 e 这两个数字是公开共享的，但如果不知道 p 和 q，就无法合理地计算 φ(n)，而当 p 和 q 非常大时，这些素数就几乎不可能被识别出来，因为目前还没有已知的有效算法可以可靠地对极大的数字进行因式分解，也就是找到它们的因数。因此，只有持有系统私人密钥的人才能解密加密信息。

旅行结束

如果研究人员发现了超大型数字因式分解的有效方法，政府机构和其他组织就能解密加密信息。就像把两个大素数相乘很容易，但要把它们的乘积因式分解，即使不是不可能，也很有挑战性一样，在特德姜的世界里：

“并非每种euonym整合方法都有匹配的分解技术. . . 有些名称拒绝分解，命名者努力开发新的技术来破解它们的秘密。”

在我们的世界中，数字理论家寻求数字因式分解算法来破译加密信息，而在特德姜的世界中，命名者则寻求将 euonyms 分解，以便将他们的机器赋予生命。

就像在我们的世界中，有一些人强烈认为个人隐私必须得到尊重，因此害怕公钥加密遭到破坏一样，在特德姜的世界中，也有人反对euonymic研究。自动机的人类雕刻师担心，如果命名者能够赋予自动机创造同类的能力，他们就会失去工作；此外，在特德姜的英国，人类在未来几百年内将变得不能生育。研究人员希望能找到让"'人类通过命名来延续自身'"的euonyms。至少从人类中心主义的角度来看，这似乎是一个崇高的目标，但伦敦精英们计划，一旦发现这些euonyms，就限制它们的使用，以促进政府和贵族的优生议程。euonyms研究的赞助人菲尔德赫斯特勋爵宣称"......一旦我们控制了人类生产，我们就有办法防止穷人拥有如此庞大的家庭……'‘通过在选择谁可以生育或不生育时做出一些判断，我们的政府可以保护国家的种族血统'"。

在每一种情况下，破解密码都是对公民自由的威胁。但矛盾的是，在《七十二个字母》的结尾，正是对公民自由的极端侵犯——即谋杀一名卡巴拉学者——导致了罗伯特维护工人阶级生育权的新方法：他将寻找一种可以让生物不育的人类自我复制的euonym，就像数学家约翰·冯·诺依曼理论中的自动机一样。数学，自始至终都潜伏在幕后。

除法

今后，也许会有人证明数学其实并不具备人们一直相信它具备的一致性，所谓数学的美只是虚幻。在我看来，世间再没有比这种事更煞风景的了。

——特德姜《除以零》

与《巴比伦塔》中的赫拉鲁穆一样，特德姜的故事《除以零》中的反主人公蕾妮也经历了一次数学顿悟：然而，她的发现却让她陷入了虚无主义的绝望之中。故事共分九节，由两个平行的非线性叙事组成，前面是解释数学史和数学概念的章节介绍。在以字母 "A "标注的小节中，蕾妮是一位昔日的数学天才，如今已步入中年，她发展出一种革命性的形式主义——一种句法语言——使她能够证明任意两个实数彼此相等。正如特德姜在故事第六节导言中指出的，库尔特·哥德尔证明了

“作为一种形式系统的算术无法保证不会得出１=２这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到，但却无法证明绝对不会遇到。”

然而，通过在正规算术体系之外开展工作，蕾妮证明了一些在正规算术体系内永远无法证明的东西：这一结果使数学变得毫无意义。她的丈夫卡尔认为："数学仍然有效。科学界和经济界并不会因为意识到这一点而突然崩溃"，""但蕾妮却认为这种数学是一种"噱头"。她从小就相信数学的基本正确性：现在她发现自己的直觉 "背叛了她"。她关于数学不一致的证明对她来说是有意义的：她 "以自己变态的方式感觉它是正确的。她理解它，知道它为什么是真的，相信它"。面对她一直"知道"是正确的一切被推翻，她失去了清晰的思维和专注力；她梦见自己证明了生与死是平等的。她意识到数学一直以来都是一个虚假的偶像，这让她产生了自杀的念头。她不再知道自己是谁：失去了信仰，她必须在荒野中流浪。她想起了一个"放弃学术，卖手工皮具"的熟人。

第二个故事——包含在标有字母 "B "的小节中——侧重于卡尔，他在读研究生期间曾试图自杀，但从那以后再也没有绝望过。蕾妮的叙述主要集中在她与数学的关系以及与数学相关的自我意识上，而卡尔的叙述则主要集中在他与蕾妮的关系上。书中讨论了他们初次见面时是什么吸引了他，并详细描述了当蕾妮开始表现出对工作的沮丧时，他试图理解她心中所想：当她专注于“夹杂着俄语评论的象形文字方程式”时，他试图“解读（她的）目光”。即使蕾妮与他分享了她的灾难性启示，她仍然是一个密码：从根本上说，他是一个实用主义者，他无法理解她悲伤的深度，并试图用逻辑论证（无法与她自己的论证相提并论）和周末出游的建议来缓解她的生存痛苦。最终，蕾妮自杀未遂，当他发现她的遗书并穿过房子冲向她时，他顿悟了：他意识到 "因为他无法理解是什么让她做出这样的举动，所以他对她没有任何感觉"。

最后，两个平行的故事情节交织在一起：在她出院后，卡尔决定离婚，她最后一次尝试解释自己的情感，但为时已晚。

“一直萦绕在我脑际的东西丝毫不像我所想像的一切。如果那是常见的抑郁，我知道你会理解的，而且我们可以对付……可是，情况是这样的，我几乎像一个在证明并不存在上帝的神学家。我并不只是存在这种担心，而是知道这是事实。这听起来很荒唐吗？……这是一种我无法向你表达的情感。这曾经是我深信不疑的东西，但现在它却不是真实的，而且还是我证明出来的。”

他张开嘴想说他完全明白她的意思，他与她有同样的感受。但他没有说出来。因为这种感应将使他们分离，而不是凝聚在一起，所以他不能告诉她。

故事以这样一个精致的悖论结尾：因为卡尔无法对她失去信仰（对数学、对作为数学家的自己）感同身受，所以他失去了信仰（对他们的婚姻、对他的移情能力），从而完全理解她所经历的一切。这就是特德姜在他关于这个故事的注释中讨论的优雅设计的一个美丽范例（毫不奇怪）：结局"巧妙而又显得完全自然"。特德姜写道："当然，我们知道，出人意料却又不可避免的结局并非真的不可避免；是人类的聪明才智让它们暂时看起来如此"。事实上，特德姜从故事一开始就为这个结局做了铺垫，故事的结构简直就像一个数学证明。回想一下，也许是为了向哥德尔编号法——一种为形式语言的符号和公式分配数字的函数——致敬，特德姜将故事表面上分为 18 个叙事小节：表面上看，特德姜将故事分为 18 个叙事小节：9 个以蕾妮为中心，9 个以卡尔为中心。但事实上，正如亚历克斯·卡斯曼（Alex Kasman）的网站《数学小说》（Mathematical Fiction）上的一篇匿名评论所指出的，故事只有一个：失去信仰的故事。蕾妮和卡尔的叙述在最后一个小节 "9A = 9B "中发生了碰撞。把这个等式的两边都除以 9（在数学是一致的宇宙中，这是一个有效的算术步骤，因为除数不是零），就得到了相等的 A = B：因此，1A = 1B，2A = 2B，等等。换句话说，蕾妮和卡尔的叙事弧线一直是相通的。最后，正如蕾妮必须或多或少地与数学决裂一样，卡尔也必须与蕾妮决裂：具有讽刺意味的是，关于除法的两个叙事一直都是连在一起的。

决心

我曾经以为这是你故事的开始……这就是结局……但现在我不太相信开始和结局了。

——露易丝·班克斯《降临》

与《除以零》一样，长篇小说《你一生的故事》——2016 年电影《降临》就是改编自这个故事——交织着两个相关的叙事：一个是与外星种族首次接触的线性纪事，一个是对母女关系的非线性思考。每段叙述的叙述者都是语言学家露易丝·班克斯，这两段叙述共同构成了一封写给女儿的情书，从她决定怀上孩子的那一刻开始，也从她决定怀上孩子的那一刻结束（如果你相信有开始和结束的话）。

线性叙事的开头非常简单：外星人——人类称之为七肢桶，因为每个外星人都有七条径向对称的肢体——在世界各地放置了112个双向通信装置，使人类和七肢桶能够互相看到和听到对方。露易丝和物理学家加里·唐纳利是一个科学家小组的成员，他们被带到其中一个望远镜前，负责与露易丝建立有意义的交流。

像七肢桶一样写作:非线性会意文字

露易丝最终确定，七肢桶的口头语言和书面交流系统完全不同：她将它们分别称为七肢桶A 和七肢桶B：

语言学家们在解码口语语法方面取得了稳步进展......它并不像预想的那样遵循人类语言的模式，但到目前为止还是可以理解的：词序自由，甚至在条件语句中的分句没有优先顺序，这与人类语言的"普遍性"背道而驰。奇特，但并非不可理解。

作为一种口语，七肢桶A本身是线性的。事实上，给定一个七肢桶A 句子，我们就可以在它的词集 S 上定义一个关系 ≤，即当且仅当 w1 在句子中先于 w2 说出时，w1 ≤ w2。用数学的术语来说，≤ 是 S 的线性排序。由于词序在七肢桶A 中是自由的，等价句子可能对应于它们词集的不同线性排序，但这并不改变每个句子的词集都有唯一的线性排序这一事实，它是由说词的顺序引起的。

另一方面，七肢桶B 是非线性的：书写一个七肢桶B 句子的过程中，并不会对其构成部分进行线性排序。事实上，这些部分与七肢桶A的单词没有任何关系。七肢桶B是一个复杂的半书写系统：

术语semasiographic结合了希腊单词semasia，意思是“意义”与“图形”呈现风格…semasiographic的交流系统独立于语言之外，在与口语相同的逻辑层面上传达思想，而不是寄生于口语。它们可以在语言之外发挥作用. . . .在一种类型的符号学系统中，意义是通过任意编纂的符号的相互关系来表示的。数学符号……是这种传统系统的一个例子，在这种系统中，数字、字母和大量的专门符号通常被理解为数字、事物和动作。

露易丝将七肢桶B句子的组成成分称为语标。

看来，一个语标大致相当于人类语言中的一个书面单词：它本身有意义，与其他语标组合在一起可以形成无穷无尽的语句。语言学家们无法给它下一个准确的定义，但也没有人给人类语言中的"词"下过令人满意的定义。

但值得注意的是，在七肢桶B的句子中，语标没有自然的线性排序。露易斯回忆起观看七肢桶写作的情景：

我把录像带倒到七肢桶按照上面翻译的顺序逐字书写的地方。我放带子，眼看着语标一个个成形，组成一团黑黑的蛛网。我反复放了好多次，最后，在第一笔写完、第二笔还没有开始的地方停住。现在，屏幕上只有弯弯曲曲的一条线。

我把这最初一笔与完成后的句子互相比对。我认识到，这一笔参与了这个句子的好几个从句。开始时它是“氧”这个语标的一笔，明确有力，与其他笔画截然不同；接着它向下一滑，成为描述两颗卫星大小的比较词的一个组成要素；最后这一笔向外一展，形成“海洋”这个语标拱起的脊梁。问题在于，这一笔是连续不间断的一道线条，而且是弗莱帕落笔的第一画。

用七肢桶B 书写的句子并不对应于其语标的线性排序，因为多个语标共享组成部分，因此许多语标的部分会同时被书写。这与七肢桶A 中单词顺序的灵活性不同：虽然七肢桶A 中多个不同的单词顺序可能会产生等价的句子，但每个句子中的单词都是以独特的、可识别的顺序说出的。另一方面，半形句并不是在不连续的时间段内作为不连续的单位书写的。它们彼此不同，但它们的形式在空间上重叠，它们的产生是同时进行的。(感兴趣的读者可在 Wolfram Research GitHub 存储库的子目录 https://github.com/ WolframResearch/Arrival-Movie-Live-Coding/tree/master/ScriptLogoJpegs中找到这些语标的图片（电影《降临》中的语标由艺术家Maxine Bertrand创作，大致呈圆形，突显了七肢桶B的非线性性质）。

露易斯描述了七肢桶B书写句子所面临的挑战：

这意味着，早在写下第一笔之前，七肢桶便已经知道整个句子将如何布局。

这个句子的其它笔画同样贯穿了几个从句，笔笔勾连交织。抽掉任何一笔，整个句子的结构将全然不同，只好重新组织。七肢桶并不是一次只写下一个语标，写完一个再写第二个。任何一道笔画都不只与一个语标关联，而是涉及好几个语标。字符与字符之间融合到这种程序，我以前只在书法作品中见过，尤其是以阿拉伯文字写就的书法作品。但那些作品是出自书法家手笔，事先经过精心安排。没有人能够连说边写，以这么高的速度完成如此复杂的作品。至少，人类做不到。

但最终，人类可以。随着时间的推移，露易丝学会了如何阅读和书写七肢桶B，她的感知也开始模仿异种对话伙伴的感知。在《降临》中，露易丝（艾米·亚当斯 Amy Adams 饰）和影片中的加里（杰瑞米·雷纳 Jeremy Renner 饰）——莫名其妙地被重新命名为伊恩——向观众讲解萨皮尔·沃尔夫假说（Sapir-Whorf hypothesis），该假说在特德姜的小说中扮演着重要的角色（尽管未加说明）：

伊恩：我读过一些关于这个观点的书，如果你沉浸在一门外语中，你的大脑就会被重新连接起来。

露易丝:是的，萨皮尔·沃尔夫假说……这是一种理论，即你所说的语言决定了你的思维方式。

露易丝在学习七肢桶B的过程中，开始像七肢桶一样思考问题，而七肢桶的思维方式与人类截然不同。《降临》中的一段画外音说：

与语言不同，语标没有时间限制......。七肢桶的书面语言没有前进或后退的方向。语言学家称之为非线性拼写体系，这就提出了一个问题：它们是这样思考的吗？

的确如此。

像七肢桶一样思考：变分原理

当加里和他的科学界同行发现七肢桶似乎不理解简单的代数、几何或人类认为是基本的物理原理时，他们感到困惑。显然，七肢桶在科学上要比人类先进得多，然而七肢桶对数学和物理的理解似乎是最少的。

原来，这是因为七肢桶的第一物理原理与我们的有很大不同。物理学家终于有了突破，他们向七肢桶提出了费马最小时间原理。加里向露易丝介绍了这一概念：他解释说，如果一束光线从空气中的 A 点射向水中的 B 点，那么"光线会沿着直线传播，直到射入水中；水的折射率不同，所以光线会改变方向"。他指出，光线在理论上有许多可能的路径。(见图 3）。

图3：光从 A 处（空气中）到达 B 处（水中）的四种可能路径。光线沿着实线前进。更多详情，请参阅 "斯涅耳定律"

虽然在三维空间中，两点之间的最短路径总是一条直线（如图 3 中最右边的虚线），但由于光在水中的传播速度比在空气中慢，这意味着沿着直线路径并不是光从A点到达B点的最快方式。

光线走的不是这条路径，这是一条理论上的线。它比光实际走的路线还短些。但是，你要记住，我们的这一束光穿越空气，进入水中。光在水里的速度比在空气中慢。请看这条理论线，它的距离虽然比实际线更短，但理论线在水中的部分比实际线要长一些。所以，光线如果走这条理论线，虽然它的距离短，但所费时间比实际路线更长。

这第二条理论线，与实际线相比，这条线在水中的部分更少，但它的总长度比实际线长得多。光如果走这条路线，花的时间也同样比实际线长。

光如果走上任何一条理论线，它在旅途中所费的时间都比实际线更长。换句话说，一束光实际所取的路线永远是最快的的一条。这就是费马的最少时间律。

加里承认他对费马原理的第一次解释过于简单，并补充说类似的原理存在于“物理学的所有分支”：

“‘最少’这个词有点误导性。你瞧，费尔马定律的最少时间还不够全面。在某种情况下，光循着一条耗时最多路线。其实这种说法更准确：光所取的路径具有极端性——或者耗时最少，否则便取耗时最多的一条。最少，最多，这两个概念具有数学意义上的共性，两种情况可以套用一个数学公式。所以准确地说，费尔马定律并不是最少律，只是一项变分原理。”

“物理学的每一个分支学科都有。几乎每一项物理定律都可以称作变分原理，区别仅仅是看某一属性取的是最大值还是最小值。”他把手一摆，活像物理学的各个分支全摆在他面前的桌子上。“在光学领域，也就是费尔马最少时间律的应用领域上，取极值（是最大值或最小值）的属性是时间。如果换了力学领域，则取另一属性。电磁学当然又会取其它属性。但从数学角度来看，所有这些定理全都是相似的。”

数学之旅

一个方程可以同时找到最大值和最小值，这种想法类似于第一学期微分学中的一个概念。连续函数 f 从实数集到实数集的局部最小值和最大值，只能出现在 f 的导数为0的c值处。在微积分中，我们的目标是最小化或最大化一个函数，即从函数集到所有实数集的映射，而不是一个函数；我们不是要找出函数导数为0的实数，而是要找出函数导数为0的函数。函数导数的定义超出了本章的范围，但读者可以在开放大学的《2016年微积分导论》单元中了解更多有关变分的知识。

让物理学家们感到惊讶的是，除了算术之外，费马最小时间原理是他们向七肢桶提出的第一个数学概念，而后者似乎能够理解。加里和露易丝进行了如下交流，首先是加里的观察：

“一束光实际选择的路线永远是最快的一条。这就是费尔马的最少时间律。”

“说实在的，费尔马定律居然会成为咱们的第一个突破口，这可真奇怪。这条定律用语言解释起来很容易，但要想对它作出数学描述，只有用微积分才行，而且还不是普微积分，得用上变微积分。我们早先还估计会首先从代数或几何的一些简单定理作出突破哩。”

“的确奇怪。你有没有这种想法，什么容易什么困难，七肢桶的看法也许跟我们人类不一样？”

"没错。如果对他们来说，微积分比代数更简单，那就可以解释为什么我们在谈论物理学时遇到了这么多麻烦. "

旅行结束

后来，当他们在一家中餐馆吃饭时，露易丝告诉加里，费马原理的某些东西对她来说似乎很奇怪。加里立即找出了她智力焦虑的原因:

“你习惯于从因果关系的角度考虑光的折射：接触水面是因，产生折射改变方向是果。你之所以觉得费尔马定律古怪，原因在于它从目的、以及达成目的的手段这个角度来描述光。好像有谁向光下了一道圣旨：‘令尔等以最短或最长时间完成尔等使命。’……物理学的一般公理都是因果关系，为什么费尔马定律这样的变分原理却是目的导向？比如这里的光，好像有自己的目的。这已经接近于目的论了。”

他们的交流还在继续，首先是露易丝提出了一个问题：

“我们假定，一道光束的目的就是取一条耗时最少的路径。这道光束怎么才能选出这条路？”

“这个……好吧，我们设想万物皆有灵魂，采用拟人化的说法。这束光必须检查所有可能采取的路径，计算出每条路径将花费的时间，从而选出耗时最少的一条。”他一筷子叼走盘子里最后一个锅贴。

“要做到你说的这一点，那道光束必须知道它的目的地是哪里。如果目的地是甲点，最快路径就与到乙点全然不同。”

加里又点点头，“一点没错。如果没有一个明确的目的地，‘最快路径’这种说法就失去意义了。另外，给定一条路径，要计算出这条路径所费时间，还必须知道这条路上有什么，比如有没有水之类。”

我定定地注视着餐巾纸上的简图，“就是说，这道光束事先必须什么都知道，早在它出发之前就知道。对不对？”

“我们这么说吧。”加里道，“这道光不可能贸然踏上旅途，走出一段之后再作调整。需要重作调整的路绝不会是耗时最少的路径。这道光必须在出发之初便完成一切所需计算。”

我在心里自言自语，这道光束，在它选定路径出发之前，它必得事先知道自己最终将在何处止步。这一点让我想起了什么，我很清楚。我抬头望着加里，“这就是我一直觉得古怪的地方。我很不安。”

前记忆：非线性拼写体系和非线性时间

许多科幻小说家都让他们笔下的人物体验非线性时间，并探索这种实验几乎不可避免地产生的悖论。有些作家严肃认真地对待这一问题，而另一些作家，如电视连续剧《神秘博士》（Doctor Who），则异想天开地对待这一问题：

人们认为时间是因果关系的严格递进，但实际上，从非线性、非主观的角度来看，它更像是一个摇摆不定的大球。("Blink" 2007)

但在现实世界中，人类的时间概念可以说是局部线性的，因为他们可以记住过去发生的事情，却记不住未来会发生的事情。而七肢桶的时间概念是非线性的。露易丝阐述道：

加里头一次向我解释费尔马定律那天，他说过，几乎每一条物理定律都可以阐释为变分原理，但人类头脑在思考这些原理时往往将它们简化为表述因果关系的公式。这我能够理解：人类凭借直观手段发现的物理特性都是某一对象在某一给定时刻所表现出来的属性，诸如运动、速度等等概念都是这样。按先后顺序、以因果关系的方式阐述这些事件最方便：一个事件引发另一事件，一个原因导致一个结果，由此引发连锁反应，事物于是由过去的状态发展到未来的状态。

与人类相反，七肢桶直觉到，物理属性本身是没有意义的，只有经过一段时间之后这些属性才有意义可言。比如“动能”或其他我们人类需要用积分公式描述定义的物性。这些属性用目的论的形式加以解释最便利：对事件作一段时间的观察，之后便会发现，这些事件本身具有某种要求，某种目的，比如最长时间或最短时间。对于一个事件来说，只有当它事先便了解自己的初始和终极阶段，才能达成它的目的。事先便知道“果”——先于“因”的启动便知道。

七肢桶的书写就像它们径向对称的身体一样，没有 "前进 "或 "后退 "的方向；事实证明，它们的记忆也是如此。它们经历的时间并不是一连串向前行进的时刻，在它们的记忆中，后面的时刻可以进入，而前面的时刻却无法进入；相反，它们既知道 "过去 "发生了什么，也知道 "未来 "会发生什么。有人可能会问，一个人怎么可能知道未来会发生什么，同时还能保持自由意志呢？

七肢桶的观念既非我们所想像的自由，也不像某些人所想像的那样受约束它们既不是怎么想就怎么做，也不是毫无能动性的机器人。七肢桶意识模式中最突出的一点不是它们的行动与未来事件相合，而在于它们的动机它们的动机、未来事件的目的，这两者是统一的。它们行动，使既定的末来成为现实，也使事件有了先后顺序。

自由并不是一种虚幻的假象，在先后顺序模式的意识中，它的的确确是真实的存在。在同步并举式的意识中，自由这种观念却没有多大意义，但同时也不存在“被迫”。两种意识不一样，仅此而已。这就好像在哈哈镜前，看不见照镜子的人，只能看到镜中形象。镜中出现的也许是个绝代佳人，也许是个鼻子上长着大瘤子的小丑，下巴长到胸口。两种形象都是合理的阐释，没有“对”“错”可言。但是，镜子中一次只有一个形象，你无法同时看到两个。

当露易丝开始形成类似七肢桶的意识时，她就会 "记住"--或许用 "预记 "这个词更好——将要发生的事情，就像她记住已经发生的事情一样。就像光线知道必须从哪里入水，才能在最短的时间内从 A 处到达 B 处一样，露易丝知道自己的一言一行都必须符合 "时间顺序"。她觉得自己必须达到这些要求，但又不觉得这是强制性的。在购物时，她看到一个沙拉碗，她预感到碗会从柜台上掉下来，砸到她尚未出世的女儿的头部。但她注意到：

这个动作并不像是我被迫做的。相反，当碗掉在我女儿身上时，我急忙去接住碗，这似乎也是一种本能，我觉得这样做是对的。

她的人生故事

虽然线性叙事构成了这部长篇小说的主要内容，但故事的情感核心在于露易丝交织在一起的关于她与女儿关系的小插曲，我们可以根据她在《降临》中的角色称她为"汉娜"（在特德姜的故事中她没有名字）。故事从露易丝宣布汉娜未来的父亲加里"即将向我提出问题"开始，以问题本身——"你想生个孩子吗？"和露易丝回答"我想"的决定性时刻结束。以及露易丝回答 "是的 "这一决定性时刻。这些小故事都是露易丝写给尚未出生的汉娜的前尘往事，展现了她们共同生活中的点点滴滴：十几岁的汉娜与母亲争论用吸尘器吸地板；6岁的汉娜热切期待夏威夷之旅；14岁的汉娜在写学校报告；婴儿汉娜尖叫；25岁的汉娜在一次致命的攀岩事故后被父母认出。这些小故事以非时间顺序呈现：当加里问她是否想要一个孩子时，露易丝已经能流利地使用七肢桶B，因此在她回答之前就知道了她和汉娜的整个未来将如何发展——事实上，在问题提出之前她就已经知道了。

文字上分离的线性叙事和非线性叙事最终在主题上结合在一起，就像《除以零》中蕾妮和卡尔的故事一样。特德姜在《你一生的故事》的注释中写道：

我对物理学中的变分原理的喜爱催生出了这个故事。从一开始接触物理，我就觉得这些原理让人着迷。但我一直不知道应该怎么把这些定律作为故事元素写进小说里。有一天，我看了一出由一个演员表演的话剧，说的是他妻子跟癌症的搏斗。我受到了启发，觉得自己也许能够用变分原理写个故事，描写一个人面对无法避免的结果时的态度。几年以后，这个想法和另一个朋友所说的她新出生的婴儿结合在一起，组成了这篇小说的核心。

对于那些喜爱物理学的读者，我应该指出：这个故事中对费尔马最少时间律的讨论略去了它在量子力学方面的内容，因为该定律的经典解释更符合小说的主旨。

特德姜的这部长篇小说提出了一个根本性的问题：在明知自己的选择会导致悲伤的情况下，你会选择去爱吗？至少对露易丝来说，这个问题的先验答案是肯定的。她的行为就像七肢桶一样，"与历史的事件相吻合"，她的 "动机与历史的目的相吻合"。她的未来是注定的：不是因为她没有自由意志，而是因为她的选择恰恰决定了她知道会发生的未来——事实上，未来的发生正是因为她的选择。就像光线从 A 点到 B 点的时间最小化一样，露易丝选择生一个她知道会早死的孩子，也是在优化她的经历。但优化可以是最大化，也可以是最小化：对露易丝来说，到底是哪一种呢？连她自己都不知道：

从一开始我就知道结局，我选定了自己要走的路，也就是未来的必经之路。我循路而前，满怀喜悦，也许是满怀痛苦？我的未来，它究竟是最小化，还是最大化？

露易丝很有可能两者兼得。

结论

特德姜当然不是唯一一个在作品中探讨数学主题的作家。许多作品——从《平面国》，到罗伯特·海因莱茵和伊恩·麦克尤恩各自的故事《他建造了一座弯曲的房子》（1941年）和《立体几何》（1975年），再到低成本加拿大恐怖电影《异次元杀阵2》（2002年）——都运用了数学上的时空概念。此外，破解密码——无论是字面上的还是象征性的——吸引了无数作者、读者和观众的兴趣：《Sneakers》（1992 年）中的数学家被谋杀，因为他在大数因式分解方面取得了突破，这大概会使公钥加密技术过时（RSA 密码学中的 "A"--Len Adleman 是该片的顾问）；《The Bank and π》（1998 年）中的数学家发现了预测股票市场行为的方法。

尽管如此，特德姜在他的著作中对数学的运用还是比较独特的。《除以零》和《你的人生故事》都有数学结构。他的工作对情感的影响既具有数学知识，又与众不同。

特德姜的故事建立在深厚的人文主义基础之上，因此最深奥的哲学猜想也能引起共鸣和情感共鸣。例如，在《除以零》中，我们之所以对主人公产生痛苦的同情和怜悯，只是因为我们理解了数学悖论给她的生活带来的危机。

这是科学问题，不是有待解决的难题，而是本体论的灾难，也是人类的灾难。同样，特德姜在他的笔记中描述了《你一生的故事》是如何"从对物理学变分原理的兴趣中成长起来的"：也许令人惊讶的是，这个故事的温情及其令人震惊的动人结局，并不是在科学推测的基础上实现的，而是科学推测的直接作用。

在特德姜的世界里，人文主义与理性主义密不可分。人物和作家的理性主义非但没有 "冷 "对情感的 "暖"，反而使他们变得感性和人性化。

在特德姜的故事中，数学并不只是一个道具，甚至也不是一个角色：相反，数学是故事的框架。与蕾妮的故事一样，特德姜故事中的智力与情感生活密不可分：在他的作品中，数学与情感，就像蕾妮欣赏的大理石瓷砖一样，在 "令人难以置信的细线 "上交汇——与蕾妮一样，我们可能会 "为其精确度而颤抖"。

参考文献

Abbott E (1884) Flatland: a romance of many dimensions. Dover Publications, New York Arrival (2016) Dir. Denis Villeneuve. Film Moffat S (2012) “Blink.” Doctor Who: The Complete Third Series Dir. Hettie Macdonald. BBC Home Entertainment, London. Television episode

Boone E (1994) Introduction: writing and recording knowledge. In: Bonne E, Mignolo W (eds) Writing without words: alternative literacies in Mesoamerica & the Andes. Duke University Press, Durham

Chiang T (2016) Stories of your life and others. Vintage Books, New York (Original work published 2002)

Devlin K (1993) The joy of sets: fundamentals of contemporary set theory, 2nd edn. Springer, New York Flens H (2016)

https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Materials_Science/Supplemental_ Modules_(Materials_Science)/Optical_Properties/Snell’s_Law “Snell’s law.” Engineering LibreTexts. CC BY-NC-SA 3.0 US. 28 Jul 16. Accessed 19 Mar 19.

Judson T (2018) Abstract algebra: theory and applications. GFDL, Tacoma. http://abstract.ups.edu/ aata/. Accessed 27 Oct 2018

Kasman A (2018) Division by zero. In: Mathematical fiction. College of Charleston. http:// kasmana.people.cofc.edu/MATHFICT/mfview.php?callnumber=mf194. Accessed 19 Oct 2018

Miéville C (2004) “Wonder boy.” The Guardian. Guardian News and Media Unlimited. 23 Apr 2004. Accessed 30 Dec 2018

Munkres J (2017) Topology, 2nd edn. Prentice Hall, Inc., Upper Saddle River

Niven I, Zuckerman H, Montgomery H (1991) An introduction to the theory of numbers, 5th edn. Wiley, Hoboken

NUMB3RS (2005–2010) Creators Nicolas Falacci and Cheryl Heuton. Television series Introduction to the calculus of variations (2016) The Open University, Milton Keynes. http://www.open.edu/openlearn/ocw/mod/resource/view.php?id=72745 π (1998) Dir. Darren Aronofsky. Film

Sklar J, Sklar E (eds) (2012) Mathematics and popular culture: essays on appearances in film, fiction, games, television, and other media. McFarland, Jefferson

Waller P, Flood C (2016) Mathematics as a universal language: transcending cultural lines. J Multicult Educ 10(3):294–306. https://doi.org/10.1108/JME-01-2016-0004

Wolfram C (2017) Arrival logograms. In: Wolfram Research GitHub repository. https:// creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/CC BY-NC 4.0; https://github.com/WolframResearch/ Arrival-Movie-Live-Coding/tree/master/ScriptLogoJpegs Accessed 2 July 19

Jessica K. Sklar, “Elegance in Design”: Mathematics and the Works of Ted Chiang

青山不改，绿水长流，在下告退。

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