算术基本定理，也被称为素因数分解定理，是数论中的一个核心定理。它阐明了整数的基本性质，即每个大于1的自然数 都可以唯一地表示成有限个素数的乘积。换句话说，忽略乘积中素因子的顺序，每个整数都有一个独一无二的质因数分解。
算术基本定理用数学的语言表示就是：
- 每个大于1的正整数 都能以唯一的方式表示成质数幂的乘积，其中 p₁
下图中只以 101 到 140 用来说明不同的分解结果：
不同的分解方法可能会得到不同顺序的素数因子，但最终的素数及其指数必然相同的。
正整数的标准表示法
实际上，任何正整数都能表示为所有正质数的无穷乘积：
其中，只有有限个指数 n_i 是正整数，其余指数都是0。
例如，8可以写为：
为什么算术基本定理重要？
算术基本定理是数论中非常重要的概念，主要有如下原因：
- 理解整数结构： 这就像化学中的元素周期表——每种物质都可以分解为基本元素。数学上的“基本元素”就是素数，任何数的性质和它的素数构成有着密不可分的联系。
- 证明的工具： 在数论中，许多证明都依赖于整数的质因数分解。算术基本定理保证了这种分解的存在性和唯一性，使得研究者可以在各种问题上应用它。
- 理论的基础： 它为数论很多概念如最大公约数（GCD）、最小公倍数（LCM）、同余等提供了理论基础。
- 广泛应用领域： 它在密码学、计算机科学、代数以及其他数学分支中都有应用。例如，现代加密算法中的一个关键部分——大数质因数分解的难度，就是基于算术基本定理的。
数学史背景
在数学史上，素因数分解的概念可以追溯到古希腊数学家欧几里得。在他的著作《几何原本》中，欧几里得证明了有无限多个素数，并提供了分解整数为素数乘积的唯一性的理论基础——欧几里得引理。
直到 19 世纪，高斯（Carl Friedrich Gauss）的《算术研究》才给出了严谨的证明。
- 欧几里得引理：假设有一个素数 p₁ 和两个正整数 a 和 b。如果 p₁ 能够整除 a 和 b 的乘积，即 p₁ | ab，那么 p₁ 必须整除 a 或 b 中的至少一个。
算术基本定理证明的详细解释
需要把这个定理的证明分成两个部分：先是证明存在性——每个数都能分解成素数的乘积，然后证明这种分解是唯一的，除了因数的顺序不同。
先来看看算术基本定理的存在性部分如何证明。
存在性（Existence）
这部分的证明使用了一种称为“反证法”的技巧。这意味着我们将开始于一个假设，即存在一些不能分解为素数乘积的自然数，并通过逻辑推理证明这个假设必然导致矛盾，从而说明起始假设是错误的。
- 假设的开始
假设存在某些大于 1 的自然数，这些数不能被写成素数的乘积。我们选择所有这样的数中最小的那个数，称它为 n。 - 分析 的性质
由于 是我们假设中不能分解为素数乘积的最小自然数，所以它不能是一个素数。因为如果 n 是一个素数，它自然地可以被写成素数乘积的形式，即它自身：n=n。 - 必然是合数
既然 n 不是素数，那么它必须是合数。合数是指可以被分解为两个或两个以上较小的数的乘积的数。这些较小的数必然是大于 1 的自然数。 - 分解 n
因为 n 是合数，即 n 为两个数的乘积：n=a×b。这里，a 和 b 是小于 n 的正整数。 - 应用假设到 a 和 b
现在，我们知道 a 和 b 都是小于 n 的自然数。根据我们的初始假设，n 是不能分解为素数乘积的最小自然数，所以 a 和 b 都能够分解为素数的乘积。设 a 可以写成素数 p₁,p₂,p₃,…,pⱼ 的乘积， 可以写成素数 q₁,q₂,q₃,…,qⱼ 的乘积。 - 得出矛盾
现在，得到
这意味着 n 实际上可以被写成素数的乘积，这与我们最初的假设相矛盾，即不存在素数乘积来表示 n。
- 假设不成立，得出结论
由于我们的假设导致了矛盾，能够得出结论：不存在不能分解为素数乘积的自然数。换句话说，每个大于 1 的自然数都必然可以被写成素数的乘积，这就是算术基本定理的存在性部分。
通过这个简单的逻辑链，就证明了无论是哪个大于 1 的自然数，都可以将其分解为素数的乘积。
唯一性的证明
现在，使用反证法来证明每个数的素数分解是唯一的：
- 反证法的开始
假设存在一个自然数 n，它可以以不同的方式分解成素数的乘积。我们选择所有这样的数中最小的那个，称它为 n。 - 分解 n
因为我们假设 可以有两种不同的素数分解，我们写出这两种分解：
其中 和 都是素数。并且，假设没有任何素数在两个分解中的顺序是相同的。
- 应用欧几里得引理
第 3 步的解释基于欧几里得引理，在这里的情况下，p₁ 是 n 的一个素数因子，并且 n 也等于 q₁q₂…qₛ 的乘积。将这个乘积视作 a 和 b 的组合，可以说：
- q₁ 是 a；
- q₂…qₛ 是 b；
- 素数的性质
既然 p₁ 整除 q₁，并且 q₁ 是素数，所以 p₁=q₁。 - 简化 n 的分解
现在可以将 p₁ 和 q₁ 从两边的等式中消去，就得到一个较小的数 。
- 得出矛盾
但是，这个新的数 n' 仍然有两种不同的素数分解方式，这与 n 作为具有这种性质的最小数的假设定是错误的。请重新检查我们的假设：假设 n 是能够以多于一种方式分解为素数乘积的最小自然数。但现在找到了一个更小的数 n' 也有这个性质，这与 n 是最小的这样的数的假设矛盾。 - 结论
这个矛盾说明我们的最初假设是错误的，不存在这样的数 n。因此，每个大于 1 的自然数不考虑排列的顺序下，都有唯一的素数分解。
通过这个逻辑链，我们证明了算术基本定理中的唯一性：每个大于 1 的自然数都可以唯一地分解为素数的乘积。
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