陶哲轩：什么造就“好”的数学？

大数据文摘授权转载自zzllrr小乐

播客主：Steven Strogatz

译者：zzllrr小乐

被称为“数学莫扎特”的陶哲轩在 2007 年写了一篇文章，探讨“好”的数学研究的共同要素。近日，这位菲尔兹奖得主与量子杂志播客《为何之乐The Joy of Why》主持人一起重新审视这个话题。

我们倾向于认为数学纯粹是逻辑性的，但数学的教学、价值、用途和运作方式充满了细微差别。那么什么是“好”数学呢？2007 年，数学家陶哲轩 为《美国数学会公报》（Bulletin of the American Mathematical Society）撰写了一篇文章，试图回答这个问题。如今，作为菲尔兹奖、数学突破奖和麦克阿瑟奖学金的获得者，陶是当今最受尊敬、最多产的数学家之一。在本集中，他与我们的主持人、数学家史蒂文·斯特罗加茨 (Steven Strogatz，以下简称SS) 一起重新审视好数学的构成。

音频可以在Apple播客、Spotify、Google播客、Stitcher、TuneIn或您最喜欢的播客应用程序，以及量子杂志网站收听。

SS：早在2007年10月，当时第一代iPhone仍然是热门商品，股市在经济大衰退之前也处于历史最高点，加州大学洛杉矶分校 (UCLA) 数学教授特伦斯·陶 (Terence Tao) 决心回答一个长期以来数学家争论的问题：到底什么是好的数学？

与严谨有关吗？优雅？现实世界的实用性？陶写了一篇非常深思熟虑、慷慨大方、我甚至可以说是敞开心扉的文章，讲述了数学可以发挥的所有作用。但现在，15年过去了，我们是否需要重新思考什么是好的数学呢？

我是 Steve Strogatz（史蒂文·斯特罗加茨），这是量子杂志的播客“The Joy of Why”，我和我的搭档 Janna Levin 轮流探索当今数学和科学中一些尚未解答的最大问题。

今天，陶哲轩本人将重温数学的永恒问题。陶教授撰写了 300 多篇研究论文，涉及的数学领域非常广泛，包括调和分析、偏微分方程、组合数学、数论、数据科学、随机矩阵等等。他被称为“数学界的莫扎特”。作为菲尔兹奖、数学突破奖、麦克阿瑟奖和许多其他奖项的获得者，这个绰号当然是当之无愧的。

陶，欢迎来到“为何之乐”（The Joy of Why）。

陶：很高兴来到这里。

SS：我很高兴能够与您讨论是什么让某些类型的数学研究变得更好这个问题。我清楚地记得 2007 年翻阅《美国数学学会公报》时，看到了您为我们提出的关于这个问题的文章 https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0702396 。这是所有数学家都在思考的问题。但对于那些可能不太熟悉的人来说，您能告诉我们，您是如何想到这个问题的吗？你当时是如何定义好的数学的？

陶：好的。那个实际上是我的一个恳求。所以当时的通报编辑让我投一篇文章。我想我作为一名学生对数学是什么有一个非常天真的想法。我有一种想法，认为有某个老人委员会可以为人们解决问题。作为一名研究生，这对我来说有点震惊，因为我意识到实际上没有这个中央权威来解决问题，而人们是进行自我指导的研究的。

我不断地去演讲，听其他数学家如何谈论他们觉得令人兴奋的事情以及是什么让他们对数学感到兴奋，以及每个数学家都有不同的处理数学的方式。比如，有些人会追求应用，有些人是为了美，有些人只是为了解决问题。他们想要解决问题，并且会专注于最困难、最具挑战性的任务。有些人会注重技术；有些人会尝试让事情尽可能优雅。

但是，当听这么多不同的数学家谈论他们认为数学中有价值的东西时，令我震惊的是，尽管我们对于好的数学应该是什么样子都有不同的理想，但他们都倾向于收敛到同一件事。

如果一段数学真的很好，追求美的人最终会遇到它。那些追求、重视技术力量或应用的人最终会落在它上面。

尤金·维格纳（Eugene Wigner）有一篇关于数学在物理科学中不合理的有效性的非常著名的文章 https://doi.org/10.1002/cpa.3160130102 大约一个世纪前，他刚刚观察到数学的某些领域——例如黎曼几何、弯曲空间的研究——最初只是数学家的纯粹理论练习，试图证明平行假设等等事实证明，这正是爱因斯坦、庞加莱和希尔伯特描述广义相对论数学所需要的。这只是一个正在发生的现象。

因此，数学家认为在智力上有趣的东西最终在物理上也很重要，而不仅仅是停留在数学上。但即使在数学领域，数学家认为优雅的学科也恰好提供了深刻的见解。

我的感觉是，那里有一些柏拉图式的好数学，而我们所有不同的价值体系只是获取客观好东西的不同方式。

SS：这非常有趣。作为一个倾向于柏拉图式思维的人，我很想同意。虽然听到你这么说我有点惊讶，因为我本以为你最初的目的似乎是，对此有很多不同的观点。不过，这是一个有趣的事实，一种经验事实，我们确实在什么是好的或什么是不好的问题上达成了一致，尽管正如你所说，我们来自许多不同的价值观。

陶：对。收敛可能需要时间。例如，肯定有一些领域，用一种指标来衡量，它们看起来比其他领域要好得多。也许他们有很多应用，但它们的表示非常糟糕。或者是非常优雅但在现实世界中还没有很多好的应用的东西。但我确实觉得最终它会收敛。

SS：好吧，让我问你一下与现实世界的接触点。这是数学中一个有趣的张力。而且，作为小孩子，比方说，当我们第一次学习几何时，你可能会认为三角形是真实的，或者圆形或直线是真实的，并且它们可以告诉你你看到的矩形形状在世界各地的建筑物中，或者测量员需要使用几何学。毕竟，“几何”（geometry）这个词来自于地球的测量。因此，曾经有一段时间几何学是经验性的。

但我想问你的是约翰·冯·诺依曼发表的评论。因此，对于任何不熟悉的人来说，冯·诺依曼本人就是一位伟大的数学家。他在这篇文章“数学家” https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Von_Neumann_Part_1/ 中发表了关于数学与经验世界、现实世界之间的关系的评论，他大致说数学思想起源于经验，但在某些时候，一旦你获得了数学思想，这个学科就开始拥有自己的生命。然后它更像是一件创意艺术品。审美标准变得重要。但他说这会带来危险。他说，当一个主体开始与其经验来源相距太远时，尤其是在第二代或第三代中，该主体有可能遭受过多的抽象近亲繁殖，并面临退化的危险。

对此有什么想法吗？我的意思是，数学是否必须与其经验来源保持联系？

陶：是的，我认为它确实必须接地气。当我说，从经验上讲，所有这些不同的数学方法确实会趋同，这只是因为——这只有在主体健康时才会发生。所以，好消息是通常都是这样。

但是，例如，在所有其他条件相同的情况下，数学家更看重简短的证明而不是长的证明。但我们可以想象人们会走极端，比如，数学的一个子领域痴迷于使证明尽可能短，并拥有这些极其不透明的深层定理的两行证明。他们把它变成了一种竞赛，然后它变成了一种深奥的游戏，然后你就失去了所有的直觉。你可能会失去更深入的理解，因为你太痴迷于让所有的证明尽可能简短。现在，这在实践中实际上并没有发生。但这只是一个理论上的例子，我认为冯·诺依曼也提出了类似的观点。

在六七十年代，有一个数学时代，抽象在简化和统一许多以往非常经验化的数学方面取得了巨大进步。特别是在代数中，人们意识到，数字和多项式以及许多其他以前被单独处理的对象，你都可以将它们视为同一代数类的成员，在本例中是一个环（ring）。

无论是拓扑空间还是向量空间，数学上的许多进步是通过找到正确的抽象来取得的，并证明具有普遍性的定理。这有时就是我们所说的数学布尔巴基时代。它确实离接地气有点太远了。

当然，我们在美国经历了整个新数学事件，教育工作者试图以布尔巴基风格教授数学，但最终意识到这不是适合那种水平的教学法。

但现在钟摆已经向后摆动了很多。这个学科已经相当成熟了，数学、几何、拓扑等各个领域，我们都有令人满意的形式化，我们知道什么是正确的抽象。现在该领域再次关注互连和应用。现在它与现实世界的联系更加紧密。

我的意思是，不仅仅物理学，是一种传统的联系，计算机科学、生命科学、社会科学都是。随着大数据的兴起，现在几乎所有人类学科都可以在某种程度上被数学化。

SS：我对您刚才使用的有关“互连”的词非常感兴趣，因为这似乎是我们讨论的中心点。你在文章中提到，除了这些，你所谓的关于优雅的“局部”标准，或者现实世界的应用，或者其他什么，你还提到了好数学的“整体”方面：好的数学与其他好的数学相联系。

这几乎是它之所以好的关键，因为它与其他部分集成在一起。但这很有趣，因为这听起来几乎像是循环推理：好的数学是与其他好的数学相关的数学。但这是一个非常强大的想法，我只是想知道你是否可以进一步扩展它。

陶：好的，所以，我的意思是，数学是什么——数学所做的一件事是，它建立了非常基本和基础的联系，但如果你只从表面上看的话，这些联系并不明显。一个非常早期的例子是笛卡尔发明的笛卡尔坐标，它在几何学（对点、线和空间对象的研究）和数字、代数之间建立了基本联系。

因此，例如，你可以将圆视为几何对象，但也可以将其视为方程：x² + y² = 1 是一个圆的方程。在当时，这是一个非常革命性的联系。古希腊人将数论和几何视为几乎完全脱节的学科。

但对于笛卡尔来说，存在着这种根本的联系。现在我们教数学的方式已经将它内化了。如果你遇到几何问题，你会用数字来解决它，这已经不足为奇了。或者，如果你对数字有疑问，你可以用几何来解决它。

这在某种程度上是因为几何和数字都是同一数学概念的各个方面。我们有一整个领域称为代数几何（algebraic geometry），它既不是代数也不是几何，但它是一个统一的学科，研究对象，你可以将其视为几何形状，如直线和圆等，也可以将其视为方程。

但实际上，这是我们研究的两者的整体结合。随着学科的深入，我们意识到，在某些方面，这比单独的代数或几何更为基础。因此，这些联系正在帮助我们发现某种真正的数学，而最初，不知何故，我们的实证研究只为我们提供了该学科的一个角落。

有一个著名的大象寓言，我忘了出处（应出自中文成语“盲人摸象”，zzllrr小乐译注），如果你有……有四个盲人，他们发现了一头大象。其中一个人摸到了大象的腿，他们想：“哦，这个，太粗糙了。它一定像一棵树什么的。”

其中一个人摸到了象鼻，直到很久以后，他们才看到有一个大象物体正在解释他们所有单独的假设。是的，所以我们一开始都是盲目的。我们只是看着柏拉图洞穴上的影子，后来才意识到——

SS：哇，你讲的这个非常有哲理。这是个事儿。我现在无法抗拒：如果你要开始谈论大象和盲人，这表明你认为数学就在那里——它就像大象，而我们是盲人……或者，我们正在试图看到一些独立于人类而存在的东西。这真的是你所相信的吗？

陶：当你做好的数学时，它不仅仅是在到处乱推符号。你确实觉得有一些你想要理解的实际对象，而我们拥有的所有方程都只是该对象的近似或阴影。

你可以争论什么是现实等等的哲学观点。我的意思是，这些是你可以实际触摸到的东西，而且数学上越真实的东西，有时它们看起来就越不实在。正如你所说，几何学最初是关于物理空间中的物体的非常有形的东西，你实际上可以构建一个圆形和一个正方形等等。

但在现代几何中，我们在更高的维度中工作。我们可以谈论离散几何形状，各种古怪的拓扑结构。而且，我的意思是，尽管不再测量地球，但这门学科仍然值得被称为几何学。古希腊语词源非常过时，但其中肯定有一些东西确实如此。无论你想称之为多真实。但我想重点是，为了真正做数学的目的，相信它是真实的会有所帮助。

SS：是的，这不是很有趣吗？确实如此。这似乎是数学史上根深蒂固的事情。阿基米德（Archimedes ）写给他的朋友，或者至少是同事埃拉托色尼（Eratosthenes）的一篇文章让我震惊。

我们现在谈论的是公元前 250 年。他说，他发现了一种求出我们所说的抛物线段面积的方法。他画了一条抛物线，用一条与抛物线轴成斜角的线段穿过它，然后算出这个面积。他得到了一个非常漂亮的结果。但他对埃拉托色尼说了一些话，比如“这些结果一直是图形中所固有的。”它们就在那里。它们只是在等他找到。

这不像是他创造了它们。这不像诗。我的意思是，实际上这很有趣，不是吗？很多伟大的艺术家——米开朗基罗（Michelangelo）都谈到过将雕像从石头上释放出来，就好像它一开始就在那里一样。听起来你和许多其他伟大的数学家——正如你所说，都相信这个想法非常有用，它就在那里等待着我们，等待着正确的头脑去发现它。

陶：嗯，我认为其中的一个表现是，当它们第一次被发现时通常很难解释的想法，它们会被简化。我的意思是，某些事情一开始看起来非常深奥或困难的原因往往是你没有正确的标记符号。

比如我们现在有了十进制来操作数字，非常方便。但在过去，我们有罗马数字，然后还有更原始的数字系统，如果你想做数学，这些系统真的非常难以使用。

欧几里得的《几何原本》（Elements）——这些古代文献中的一些论证，比如，欧几里得《几何原本》中有一个定理，我认为它被称为“愚人桥”之类的东西。就像这样的陈述，比如一个等腰三角形，两个底角相等。这就像现代几何文献中具有正确公理的两行证明。但欧几里得却采用了可怕的方式来证明它。这就是古典时代许多几何学学生完全放弃数学的地方。

SS：确实如此。（笑）

陶：但是，我们现在有更好的方法来做到这一点。我们在数学中看到的复杂性常常是我们自身局限性造成的。所以，随着我们成熟，事情变得更简单。因此感觉更加真实。我们看到的不是人造物。我们看到的是本质。

SS：好吧，回到你的文章：当你写这篇文章时，当时是你职业生涯的早期，不是最开始。为什么你当时觉得尝试定义什么是好的数学很重要？

陶：我认为……到那时，我已经开始为研究生提供建议，我注意到，对于什么是好的、什么是不好的，存在一些误解。而且我也在和不同领域的数学家交流，每个人在数学上看重的领域似乎和其他人不一样。但不知何故，我们都在研究同一学科。

有时有人会说一些让我不舒服的话，比如，“这个数学没有应用，因此它没有价值。”或者“这个证明太复杂了；因此它没有价值，”或者诸如此类。或者反过来，“这个证明太简单了；因此它不值得……”。就像，有时我会遇到一些势利之类的东西。

根据我的经验，当我理解不同的观点、不同领域的人思考数学的不同方式并将其应用于我关心的问题时，最好的数学就会出现。因此，我关于如何正确使用数学、如何运用数学的经验与这些非常不同——有点像“做数学的唯一正确方法”。

我觉得必须以某种方式提出这一点。数学确实有多种方法，但数学仍然是统一的。

SS：这非常有启发性，因为我想知道，在我的介绍中，我提到了你探索过的许多不同的数学分支，但我甚至没有包括其中一些。就像，我记得几年前，您关于流体动力学中这个谜团的工作，关于我们认为的某些方程是否可以很好地近似水和空气的运动。我不想讲太多细节，只是想说，在这里，人们认为你在做数论或调和分析，突然间你正在研究流体动力学问题。我意识到这是偏微分方程。但尽管如此，你的兴趣广度似乎与你接受不同见解、好数学的所有不同做法中的有价值想法的广度有关。

陶：我忘了是谁说的，但是数学家有两种类型：刺猬和狐狸。狐狸是对一切事物都略知一二的人。刺猬是一种非常非常了解一件事的生物。两者都不比另一个更好。他们相辅相成。我的意思是，在数学领域，你需要的是某个子领域真正的深度领域专家，并且他们对某一学科了如指掌。你需要能够看到一个领域与另一个领域之间联系的人。所以我肯定是一只狐狸，但我和很多刺猬一起工作。我最引以为傲的工作往往就是这样的合作。

SS：哦，是的。他们意识到自己是刺猬了吗？

陶：嗯，好吧，随着时间的推移，角色会发生变化。比如有其他合作，我是刺猬，其他人是狐狸。这些都不是永久性的——这些并不在你的 DNA 中。

SS：啊，好观点。我们可以采用——我们可以穿两件斗篷。

那么，当时那篇文章有没有回应呢？人们对你说过什么话吗？

陶：总的来说，我得到了相当积极的回应。我的意思是，我认为《AMS美国数学会公报》并不是一份广泛传播的出版物。而且，我并没有说任何太有争议的话。另外，这种早于社交媒体的形式，我想也许有一些数学博客继承了它，但没有 Twitter。没有什么可以让它像病毒一样传播。

是的，我也认为，一般来说，数学家不会把太多的时间和智力资本花在猜测上。我的意思是，还有另一位名叫 Minhyong Kim 的数学家，他有一个非常好的比喻，对于数学家来说，信誉就像货币，就像金钱。如果你证明定理并证明你了解这个学科，那么你就在银行中积累了某种信誉货币。一旦你有了足够的货币，你就可以通过有点哲学性的方式进行一些推测，并说出可能是真实的而不是你实际上可以证明的东西。

但我们往往比较保守，我们不希望银行账户出现透支。你不希望你的大部分写作都是推测性的，而只希望百分之一的内容能够真正证明某些事情。

SS：很公平。从那时起已经过去了很多年。我们在说啥啊？已经超过15年了。

陶：哦，是的，时间过得真快。

SS：你的观点改变了吗？有什么需要我们修改的吗？

陶：嗯，数学文化正在发生很大的变化。我已经对数学有了一个广阔的视野，现在我有了更广阔的视野。

所以，一个非常具体的例子是：计算机辅助证明在2007年仍然存在争议。有一个著名的猜想，称为开普勒猜想，它涉及在三维空间中堆积单位球的最有效方法。有一个标准的堆积，我认为它被称为立方中心堆积或其他东西，开普勒推测这是最好的。

这个问题最终得到了解决，但证明过程需要计算机辅助。这是相当复杂的，Thomas Hales 最终实际上创建了一种完整的计算机语言来正式验证这个特定的证明，但它没有被接受为真正的证明很多年了。但它说明了需要计算机辅助来验证的证明概念是多么有争议。

从那以后的几年里，出现了很多其他证明的例子，人类可以将复杂的问题简化为仍然需要计算机来验证的问题。然后计算机继续验证它。我们已经制定了一些关于如何负责任地做到这一点的实践。如何发布代码和数据以及检查新开源事物的方法等等。现在，计算机辅助证明已被广泛接受。

现在，我认为，下一个文化转变将是人工智能生成的证明是否会被接受。目前，人工智能工具还没有达到可以生成证明来真正推进数学问题的水平。也许本科水平的家庭作业，AI可以处理，但研究数学，AI还没有达到那个水平。但在某个时候，我们将开始看到人工智能辅助的论文问世，并且将会出现一场争论。

我们的文化在某些方面发生了变化……早在 2007 年，只有一小部分数学家在出版前提供了他们的预印本。作者会小心翼翼地保护他们的预印本，直到收到期刊的录用通知。然后他们可能会分享。

但现在每个人都将论文放在公共服务器上，例如 arXiv https://arxiv.org/archive/math 。关于论文想法的来源，视频和博客文章的开放程度要高得多。因为人们意识到，这就是让工作更有影响力、更有感染力的原因。如果你试图不公开你的作品并且对此非常保密，它就不会引起轰动。

数学变得更加协作。50年前，我想说大多数数学论文都是单一作者。现在，大多数论文肯定是两个或三个或四个作者。我们才刚刚开始看到像科学领域那样的大型项目，比如数十、数百人的合作。这对数学家来说仍然很难做到，但我认为我们会实现这一目标。

与此同时，我们正变得更加跨学科。我们正在与其他科学进行更多的合作。我们正在数学领域之间工作。由于互联网，我们可以与世界各地的人们合作。所以，我们做数学的方式肯定正在改变。

我希望将来我们能够更多地利用业余数学社区。还有其他领域，例如天文学，天文学家充分利用业余天文学社区，例如，很多彗星都是由业余爱好者发现的。

但是数学家……数学中有一些孤立的领域，例如密铺（tiling 平铺）、二维密铺或者新的素数记录。在一些非常精选的数学领域，业余爱好者确实可以做出贡献，并且他们受到欢迎。但有很多障碍。在数学的大多数领域，你需要大量的培训和内化的或传统的智慧，我们不能做到众包。但这种情况将来可能会改变。也许人工智能的影响之一是让业余数学家能够为数学做出有意义的贡献。

SS：这非常有趣。

那么业余爱好者可能会在AI的帮助下，要么提出新的好问题，要么帮助对现有问题进行好的探索，诸如此类？

陶：有很多不同的方式——是的。例如，现在有一些项目可以形式化大定理的证明，称为形式化证明助手，它们就像计算机语言一样，可以 100% 验证定理是否正确以及是否已被证明。这实际上使得数学领域的大规模合作成为可能。

因此，在过去，如果你与其他 10个人合作证明一个定理，并且每个人都贡献一步，那么每个人都必须验证其他人的数学。因为数学的特点是，如果其中一个步骤出现错误，整个就会崩溃。

所以你需要信任，这实际上阻碍了数学领域的大规模合作。但现在已经有一些成功的例子，真正的大定理被形式化，有一个巨大的社区，他们并不互相认识，并不互相信任，但他们通过上传到一些 GitHub仓库或诸如证明中各个步骤的单独证明之类的东西。而且形式化证明软件会验证一切，因此你无需担心信任问题。所以说，我们正在启用新的协作模式，这是我们过去从未见过的。

SS：听到你的愿景真的很有趣，陶。这是一个令人着迷的想法。你不会听到“公众数学家”（citizen mathematician）这个词。你听说过公众科学（citizen science），但为什么没有听说过公众数学呢？

但我只是想知道，是否有您担心的趋势，例如计算机辅助证明或人工智能生成的证明？我们会知道某些结果是正确的，但我们不明白为什么吗？

陶：这是个问题。我的意思是，甚至在人工智能出现之前，这就已经是一个问题了。因此，在很多领域，某个学科的论文越来越长，达到数百页。我希望人工智能实际上可以反过来帮助简化，它可以解释和证明。

因此，已经有了实验性软件，例如，如果你采用已经形式化的证明，实际上可以将其转换为交互式人类可读文档，你可以在其中获得证明并看到高级步骤，如果有一个句子你不明白你可以双击它，它会展开成更小的步骤。我认为很快你就可以让一个AI聊天机器人坐在你旁边，当你完成证明时，它们可以回答问题，并且可以像作者一样解释每一步。我认为我们已经非常接近这个目标了。

有人担心。我们必须改变我们教育学生的方式，特别是现在我们布置作业等诸多传统方式，我们几乎已经到了这些人工智能工具可以立即回答我们许多标准考试问题的地步。因此，我们需要教给学生新的技能，比如如何验证人工智能生成的输出是否正确以及如何获得别的观点。

我们可能会看到数学更具实验性的一面的出现。数学几乎完全是理论性的，而大多数科学都包含理论和实验部分。我们最终可能会得到最初只能由计算机证明的结果，正如你所说，我们对其不明白。但一旦我们有了人工智能、计算机生成的证明提供的数据，我们就可以进行实验。

现在有一些实验数学。人们确实会研究各种事物的大数据集，比如椭圆曲线。但未来它可能会变得更大。

SS：哎呀，你的观点非常乐观，这对我来说太棒了。这不像过去的黄金时代。如果我没听错的话，您认为前面还有很多非常令人兴奋的事情。

陶：是的，很多新技术工具都非常强大。我的意思是，人工智能总体上有许多复杂的优点和缺点。在科学之外，经济、知识产权等也可能受到很多干扰。但在数学领域，我认为好与坏的比例比许多其他领域要好。

而且，互联网确实改变了我们做数学的方式。我与很多不同领域的很多人合作。如果没有互联网我就无法做到这一点。事实上，我可以访问维基百科或其他任何东西并开始学习一个学科，我可以给某人发电子邮件，我们可以在线协作。如果我必须做一些老式的事情，我只能与我部门的人交谈并使用物理邮件处理其他事情，我就无法像现在一样进行数学计算。

SS：哇，好吧。我必须强调你刚才所说的话，因为我从来没有想过一百万年后我会听到这样的话：陶哲轩阅读维基百科来学习数学？

陶：作为一个起点。我的意思是，它并不总是维基百科，而只是为了获取关键字，然后我会进行更专业的搜索，例如 MathSciNet https://mathscinet.ams.org/mathscinet/publications-search 或其他一些数据库。

SS：这不是批评。我的意思是，我也做同样的事情。如果对维基百科上的数学有任何批评，我认为也许是有时它对于读者来说有点太高级了，尽管不总是如此。我的意思是，不同文章之间的差异很大。但这很有趣。我喜欢听这个。

陶：我想表达的是，你必须能够审查这些工具的输出。我之所以可以使用维基百科来做数学，是因为我已经了解了足够多的数学知识，我可以闻到维基百科中的数学内容是否可疑。它可能会获得一些来源，其中一个来源将比另一个来源更好。我认识作者，并且知道哪一篇参考文献对我来说更适合。如果我使用维基百科来了解一个我没有经验的学科，那么我认为它更像是一个随机变量。

SS：嗯，我们已经讨论了很多关于什么是好的数学，以及新的好数学的可能的未来。但也许我们应该解决这个问题：为什么这很关键？为什么好的数学很重要？

陶：嗯，首先，我想说，为什么我们有数学家？为什么社会重视数学家并为我们提供资源来做我们所做的事情？这是因为我们确实提供了一些价值。我们可以将其应用到现实世界中。这是智力上的兴趣，我们发展的一些理论最终提供了对其他现象的洞察。

并不是所有的数学都具有同等的价值。我的意思是，你可以计算越来越多的圆周率位数，但到达某一点之后，你什么也学不到。任何学科都需要某种价值判断，因为你必须分配资源。那里有很多数学知识。哪些进展你想强调和宣传并让其他人知道，哪些可能应该安静地记录在日记中的某个地方？

即使你认为一个学科是完全客观的，并且只有正确或错误，我们仍然必须做出选择。只是因为时间是有限的资源。注意力是一种有限的资源。金钱是一种有限的资源。因此，这些始终是重要的问题。

SS：嗯，有趣的是，你提到了宣传，因为我认为这是你工作的一个显著特征，你还付出了很多努力，通过你的博客、通过你写的各种文章让数学公开。我记得讨论过您在《美国科学家》（American Scientist）杂志上写的一篇关于普遍性和这一想法的文章。为什么让数学公开并易于理解很重要？我的意思是，你想做什么？

陶：这是自然发生的。在我职业生涯的早期，万维网还很新，数学家们开始拥有包含各种内容的网页，但没有太多的中央目录。在Google等出现之前，实际上很难找到个人资源。

因此，我开始在我的网页 https://terrytao.wordpress.com 上创建一些小目录。我还会为自己的论文制作网页，并发表一些评论。最初更多是为了我自己的利益，只是作为一个组织工具，只是帮助我找东西。作为副产品，它向公众开放，但我是我自己的网页的主要消费者，或者至少我是这么认为的。

但我记得很清楚，有一次我写了一篇论文，把它放在我的网页上，我有一个小的子页面，名为“有什么新鲜事？”我只是说：“这是一张纸。这里面有一个问题我至今无法回答，也不知道如何解决。”我刚刚发表了这个评论。然后大约两天后，我收到一封电子邮件，上面写着：“哦，我只是在查看你的主页。我知道这个问题的答案。有一篇论文可以解决你的问题。”

首先，这让我意识到人们实际上正在访问我的网页，而我并不真正知道。但与社区的互动确实可以帮助我直接解决我的问题。

网络中有一条称为梅特卡夫定律（Metcalfe's law）的定律，如果有 n 个人，并且他们都互相交谈，那么他们之间大约有 n²个连接。因此，受众越多，论坛越大，每个人都可以与其他人交谈，可以建立的潜在连接就越多，好事也就越多。

我的意思是，在我的职业生涯中，我所做的很多发现，或者我所建立的连接都是因为意想不到的连接。我的整个职业经历是，越多的连接就等于越好的事情发生。

SS：我认为你刚才提到的一个很好的例子，但我很想听你谈论它，就是你与数据科学领域的人们建立的联系，他们对医学共振相关问题感兴趣成像，核磁共振成像。您能给我们讲一下这个故事吗？

陶：我想这大概是2006年、2005年。我认为加州大学洛杉矶分校校园里有一个跨学科项目，涉及多尺度几何分析或类似的东西，他们聚集了对多尺度类型几何本身感兴趣的纯数学家，还有那些有非常具体的数据类型问题的人。

我刚刚开始研究随机矩阵理论中的一些问题，所以我被认为是可以操纵矩阵的人。我遇到了一个我已经认识的人，Emmanuel Candès，因为当时他就在加州理工学院的隔壁工作。他和另一位合作者 Justin Romberg发现了这种不寻常的现象。

他们正在查看核磁共振图像（MRI images），但速度非常慢。为了收集足够的真正高分辨率的人体图像，或者足够多的图像来捕获肿瘤，或者想要找到的任何医学上重要的特征，通常需要几分钟的时间，因为他们必须扫描所有这些不同的角度，然后合成数据。事实上，这是个问题，因为例如小孩子，仅仅在核磁共振仪中静坐三分钟就很成问题。

因此，他们尝试了一种不同的方法，使用一些线性代数。他们希望获得10%、20%的性能提升。您知道，通过稍微调整标准算法可以得到稍微清晰的图像。

因此，标准算法被称为最小二乘近似（least squares approximation），而他们正在做其他事情，称为总方差最小化（total variation minimization）。但当他们运行计算机软件时，他们几乎完美地重建了测试图像。巨大的进步。他们无法解释这一点。

但Emmanuel参加了这个项目，我们在喝茶聊天。他刚刚提到了这一点，实际上，我的第一个想法是，一定是计算错误了，他说的实际上是不可能的。我记得那天晚上回到家，试图写下一个实际的证明，证明他们所看到的事情实际上不可能发生。然后到了一半，我意识到我做出了一个不正确的假设。我意识到它实际上可以起作用。我想出了可能的解释。然后我们一起工作，我们实际上找到了一个很好的解释并发表了它。

一旦我们这样做了，人们意识到，在许多其他情况下，你必须进行通常需要大量数据的测量，并且在某些情况下，你可以采用更少的数据量，但仍然可以获得非常高的分辨率测量。

所以现在，以现代 MRI 机器为例，过去需要三分钟的扫描现在只需 30 秒，因为这个软件、这个算法现在是硬连线、硬编码到机器中的。

SS：这是一个美丽的故事，这是一个很棒的故事。我的意思是，在医学成像的背景下谈论正在改变生活的重要数学。我喜欢它的偶然性和你的开放心态，听到这个想法然后想，好吧，“这是不可能的，我可以证明它。”然后意识到，实际上是可能的。很高兴看到数学产生如此大的影响。

好吧，我想我最好让你走，陶。很高兴与您讨论好数学的本质。非常感谢您今天加入我们。

参考资料：

https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/

https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0702396

https://doi.org/10.1002/cpa.3160130102

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Von_Neumann_Part_1/

https://arxiv.org/archive/math

https://mathscinet.ams.org/mathscinet/publications-search

https://terrytao.wordpress.com

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