今天是 3 月 14 日，这个特别的日子以圆周率 π 的前三位数字而被认定为圆周率日，同时，它也被联合国教育、科学及文化组织在 2019 年的第 40 届大会上宣布为国际数学日。
在数学中，圆周率 π 作为圆的周长与直径的比率，无论圆的大小如何，这个比率始终保持不变。但它却又是最著名的无理数之一，小数表示是无穷无尽且不循环的。
在这个庆祝数学美妙的时刻，让我们聊聊，如何理解有理数和无理数。
有理数 (Rational Numbers)
有理数与无理数的区分是数学中的基本概念，反映了数的不同属性。
有理数是可以表示为两个整数之比（分数形式）a/b 的数，其中 a 是整数，b 是非零整数。有理数既可以是正数、负数，也可以是零。这类数的特点在于它们的小数表示要么是终止的，要么是无限循环下去的。
例如：
- 1/2 = 0.5，这是一个简单的小数。
- 1/3 = 0.̅3，这里的 0.̅3 表示数字 3 无限重复，即一个无限循环小数。
- 22/7 是一个常用作圆周率 π 的近似值的有理数，其小数展开是 3.(142857)。这个近似值是由我国南北朝时期数学家祖冲之提出的，他称之为约率，而将另一个圆周率的近似值 355/113 称为密率
- 355/113 是对圆周率更好近似的有理数。 π ≈ 355/113 = 3.14159292035398230088... ，它的循环节为 112 位。
观察在小数点后六位之前，这个近似值都是准确的。这个精度对于古代的计算来说是非常惊人的，并且在没有现代计算工具的情况下获得这样的结果显示了祖冲之极高的数学能力和深刻的智慧。
无理数 (Irrational Numbers)
与有理数不同，无理数不能表示为两个整数的比例。它们的小数部分既不会终止也不会无限循环。
无理数包括一些常见的数学常数，比如圆周率 π、平方根 √2 以及自然对数的底 e。例如：
- 圆周率 π，作为几何学和相关应用的基石，它被用于定圆周、球体积和曲线长度等计算。
- 平方根 √2，代表边长为 1 的正方形的对角线长度，它在建筑学和工程设计中有重要应用。
- 自然对数的底数 e（约等于 2.718），在微积分、复数分析、概率论和许多其他数学分支中都有广泛应用。
- 黄金比例 φ（约等于 1.618）：这个数出现在许多自然和人类设计的结构中，例如植物的叶序、著名的斐波那契数列和许多艺术作品和建筑中的比例。
- ∛2（2 的立方根）：这个数表示边长为 1 的立方体体积加倍所需的边长，在代数和几何学中都有应用。
- ln(2)（2 的自然对数）：自然对数 ln(x) 在数学分析、物理学和工程学中非常重要，ln(2) 作为这个函数的一个特定值，常常在计算复合增长和半衰期等方面有应用。
数轴上的表示
在数轴上，每一个点对应一个实数。就是说，有理数和无理数都可以找到它们各自的位置，尽管它们的表示方式不同。
有理数可以通过分数形式在数轴上定位，因为它们可以通过两个整数之间的比例精确表示。例如，1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, ⋯，都会在 0 和 1 之间找到自己的位置。实际上，这些点是如此之多，以至于无法在数轴上将它们全部展示出来。这些有理数会在数轴上形成了密集的点集，而之间的空隙被无理数填补上去。数轴上没有任何“缝隙”，没有任何位置是空的。
有理数与无理数名字的由来
术语“有理数”（Rational numbers）来源于拉丁语“ratio”，意味着比例。因为有理数可以表示为两个数的比例，所以“有理”这个词恰如其分地反映了这个特性。
而“无理数”（Irrational numbers）则是指那些不能用整数比例表示的数。这里的“无理”指的是“非比例”，并不是指缺乏逻辑或理性之意。
有理数和无理数不仅是数学理论的重要组成部分，它们还在我们周围世界的结构中扮演着关键角色。从科学的精确计算到日常生活中的各种度量，这些基本数学概念的理解有助于我们更好地洞察世界。
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