小乐数学科普：“此刻有数，世间无物”数学家瓦赞谈数学创造力|代数|定理|小乐|数学家瓦|数学科普|瓦赞

量子杂志Quanta Magazine对话2024年克拉福德Crafoord数学奖得主Claire Voisin（克莱尔·瓦赞），就数学作为一门艺术、语言、抽象思维进行探讨。另请参阅小乐数学科普：2024年克拉福德数学奖授予女数学家克莱尔·瓦赞（Claire Voisin）

作者：Jordana Cepelewicz 量子杂志资深作家 2024-3-13

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2024-3-15

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克莱尔·瓦赞（Claire Voisin）花了很长时间才爱上数学。

这并不是说她不喜欢这门学科。她在法国长大，是12个孩子中的第10个，她喜欢花几个小时和她的工程师父亲一起解决数学问题。到她12岁的时候，她已经开始自己阅读一本高中代数教科书，被书中概述的定义和证明迷住了。“有这么多的结构。”她说：“代数实际上是一种关于结构的理论。”

但她并不认为数学可以成为她的终身职业。直到她上大学的时候，她才意识到它是多么的深刻和美丽，而且她有能力做出新的发现。在此之前，她认真追求数学之外的几个兴趣：哲学，绘画和诗歌。（“当我20岁的时候，我想我只做数学和绘画。这可能有点过分，”她笑着说。）到她20岁出头的时候，数学已经囊括了一切。但绘画和诗歌继续影响着她，她把数学看作一门艺术，一种挑战和玩弄语言极限的方式。

几十年后，在成为代数几何领域的领导者后，Voisin再次找到时间绘画和制作泥塑。尽管如此，数学仍然占据了她大部分的注意力；她更喜欢把时间花在探索这个“不同的世界”上，在那里“就像你在做梦一样”。

Voisin是位于巴黎的法国国家科学研究中心的高级研究员。在那里，她研究代数簇（algebraic variety），即可以被认为是由多项式方程组定义的形状，一个圆是由多项式方程x²+y²=1定义的。她是霍奇理论的世界上最重要的专家之一，霍奇理论是数学家用来研究代数簇的关键性质的工具包。

Voisin因其工作赢得了一系列奖项，包括2008年的克莱研究奖（Clay Research Award），2015年的海因茨·霍普夫奖（Heinz Hopf Prize）和2017年的邵逸夫数学奖（Shaw Prize for mathematics）。今年1月，她成为第一位获得克拉福德数学奖（Crafoord Prize in mathematics）的女性。

量子杂志与Voisin交流谈到了数学的创造性。为清晰起见，采访内容经过浓缩和编辑。

Claire Voisin在书桌工作

Voisin强调了数学语言对于理解旧概念和创造新概念的重要性。

“你可以把一个数学定理比作一首诗，”她说。

图源：Laurence Geai

Q：你小时候很喜欢数学，但却不想追求它。为什么不呢？

数学证明有一种魔力--当你理解它时，当你意识到它有多强大时，当它让你强大时，你都会感到这种情绪。作为一个孩子，我已经看到了这一点。我喜欢数学所要求的专注力。随着年龄的增长，我发现它在数学实践中越来越重要。做数学的时候，世间无物。你的整个大脑都是为了研究问题而存在的。这是一次非凡的经历，对我来说非常重要--让自己离开现实世界，去生活在一个不同的世界。也许这就是为什么我的儿子这么喜欢玩电子游戏。

但是，从某种意义上说，使我成为数学后来者的原因是，我对游戏绝对不感兴趣。游戏不适合我。在高中，数学就像一场游戏。我很难认真对待。起初我没有看到数学的深度。甚至当我高中毕业后开始发现非常有趣的证明和定理时，我从来没有想过我可以自己发明一些东西，我可以把它变成我的。

我需要一些更深刻，更严肃的东西，我可以做我的东西。

Q：在你发现数学之前，你在哪里寻找它的？

我喜欢哲学和它对概念的执着。此外，直到我22岁左右，我花了很多时间画画，特别是受几何启发的具象作品。我非常喜欢诗歌--马拉美（Mallarmé，1842 - 1898）、波德莱尔（Baudelaire，1821 - 1867）、勒内·夏尔（René Char，1907 - 1988）的作品。我已经生活在一个不同的世界。但当你年轻的时候，我想这是正常的。

数学变得越来越重要。它真的需要你所有的大脑。当你不在办公桌前处理某个具体问题时，你的大脑仍然在忙碌。所以我数学学得越多，画得越少。我只是最近才开始画画，现在我的孩子都离开了家，我有更多的时间。

Q：是什么让你最终决定把你大部分的创造性精力投入到数学上？

我对数学越来越感兴趣。作为一名硕士生和博士生，我发现20世纪的数学是非常深刻和非凡的。这是一个想法与概念的世界。在代数几何中，有著名的亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928 - 2014）领导的革命。即使在格罗滕迪克之前，也有令人难以置信的结果。所以这是一个离今天最近的领域，有着美丽但非常强大的想法。我研究的霍奇理论就是其中的一部分。

我越来越清楚我的生活属于那里。当然，我有家庭生活--丈夫和五个孩子--还有其他的职责和活动。但我意识到，有了数学，我可以创造一些东西。我可以把我的生命献给它，因为它是如此美丽，如此壮观，如此有趣。

Claire Voisin认为自己是爱上数学的“后来者”。她现在是代数几何领域世界上最重要的专家之一。

图源：Laurence Geai

Q：你以前写过数学是一种创造性的努力？

我是一个专业的数学家，所以我的日常工作是围绕数学组织的。我坐在办公桌前；我在电脑上工作。但我的大部分数学活动并不是在这段时间内发生的。你需要一个新的想法，一个好的定义，一个你认为你可以利用的结论。只有这样，你的工作才能开始。我坐在办公桌前的时候就不会这样。我需要跟随我的思想，让自己思考。

Q：听起来数学对你来说很个人化的。在这个过程中，你有没有发现关于自己的一些事情？

在做数学的时候，大多数时候我不得不和自己做斗争，因为我很混乱，我不是很自律，而且我也很容易抑郁。我不觉得这很容易。但我发现，在某些时刻--比如早上吃早餐时，或者当我在巴黎的街道上散步时，或者做一些不需要动脑筋的事情，比如打扫卫生时--我的大脑开始自己工作。我意识到我在思考数学，却并非一开始就有打算为之。就像你在做梦一样。我已经62岁了，我没有切实的方法来做好的数学：我还是或多或少地等待我得到一些灵感的那一刻。

Q：你的工作对象是非常抽象的--高维空间，满足复杂方程的结构。如何看待这样一个抽象的世界？

其实也不那么难。最抽象的定义，一旦你熟悉了，就不再抽象了。那就像一座美丽的山，你看得很清楚，因为空气非常清澈，有光线可以让你看到所有的细节。对我们来说，我们研究的数学对象看起来是具体的，因为我们对它们的了解比对其他任何东西的了解都更多。

当然，有很多东西需要证明，当你开始学习一些东西时，你可能会因为抽象而痛苦。但是当你使用一个理论时--因为你理解了这些定理--你实际上会感到非常接近所讨论的对象，即使它们是抽象的。通过学习对象，通过操纵它们并在数学证明中使用它们，它们最终会成为你的朋友。

Claire Voisin在树前

对于Voisin来说，数学是非常个人化的。“数学证明有一种魔力--当你理解它时，当你意识到它有多强大时，当它让你强大时，你都会感到这种情绪。”

图源：Laurence Geai

Q：这也需要从不同的视角来看待它们？

我本来不学代数几何。我研究的是复解析几何和微分几何。在解析几何中，需要研究一个更大的函数类和由这些函数局部定义的形状。它们通常没有整体方程，不像代数几何那样。

起初我并没有太注意代数的视角。但随着年龄的增长，我在这一领域的工作越多，我就越觉得掌握这两种不同语言的必要性。

有一个令人难以置信的定理，叫做GAGA，这个词有点像个笑话；它在法语中的意思是“年老糊涂的”（senile），但它也代表代数几何和解析几何（géometrie algébrique et géométrie analytique）。它说你可以从一种语言过渡到另一种语言。你可以在复解析几何中进行计算（如果它更容易的话），然后再回到代数几何。

其他时候，代数几何可以提供给你研究一个问题的不同版本的可能性，并给出非凡的结果。我一直致力于从整体上理解代数几何，而不仅仅是关注它的复几何方面。

Q：你把它们看成是不同的数学语言，这种想法很有意思。

语言至关重要。在数学之前，语言就存在了。很多逻辑已经存在于语言中。我们在数学中有所有这些逻辑规则：量词（quantifier），否定（negation），括号（parentheses）来指示正确的运算顺序。但重要的是要认识到，所有这些对数学家至关重要的规则已经处在我们的日常语言中。

你可以把数学定理比作一首诗。它是用文字写的。它是语言的产物。我们之所以有数学对象，是因为我们使用语言，因为我们使用日常词汇，并赋予特定的意义。所以你可以比较诗歌和数学，因为它们都完全依赖于语言，但仍然创造了一些新的东西。

Claire Voisin坐在沙发上

Voisin有时会通过原创绘画（显示在她身后）和绘制著名肖像的复制品来放松，比如左下角的Amedeo Modigliani。

图源：Laurence Geai

Q：你被数学吸引是因为格罗滕迪克在代数几何上的革命。他创造了一种新的数学语言。

对的。

Q：你现在使用的数学语言是否仍需要改变？

数学家不断地修改他们的语言。这很遗憾，因为它使旧论文很难阅读。然而我们重新研究过去的数学，因为我们更加理解。这给了我们一个更好地写作和证明定理的方法。格罗滕迪克将层上同调（sheaf cohomology）应用于几何学时就是这种情况。真的很壮观。

熟悉你学习的对象是很重要的，对你来说，它就像一种母语。当一个理论开始形成时，需要时间来找出正确的定义，并简化一切。或者它仍然非常复杂，但我们对定义和对象变得更加熟悉；使用它们变得更加自然。

这是一个持续的演变。我们必须不断地重写和简化，对什么是重要的，什么工具是可用的进行理论化。

书架前的Claire Voisin

Voisin被数学所要求的专注力所吸引。她说，在做数学的时候，“世间无物。”

图源：Laurence Geai

Q：你是否不得不在你的工作中引入新的定义？

有时在我和János Kollár的工作https://arxiv.org/abs/2311.04714中，有一个转折点，我们终于能够找到对问题的正确看法——通过某种定义。这是一个非常经典的问题，我们用的是经典的工具，但我们的证明是基于我们建立的这个定义。

在另一个例子中，Olivier Debarre、Daniel Huybrechts、Emanuele Macrì和我证明了一个关于称为超凯勒流形（hyper-Kähler manifold）的对象的很好的分类结果https://arxiv.org/abs/2201.08152。这个证明的出发点是引入一个不变量，我们最初称之为“a”。[笑]

你可能低估了定义在数学中的重要性，但你不应该低估它。

Q：定义和语言并不是数学中唯一的指导力量。猜想也是如此，可能是真的，也可能不是。例如，你在霍奇猜想上做了很多工作，这是一个克莱千禧年问题，解决它将获得100万美元大奖https://www.claymath.org/millennium/hodge-conjecture/

假设你想理解一个代数簇。那么你可以从复解析几何的角度，把它看作是一个复流形。你可以从整体形状或拓扑学的角度来思考复流形。有一个对象，叫做同调（homology），它给了你很多关于流形的拓扑信息。但它并不那么容易定义。

现在考虑原代数簇中的代数子簇。每一个代数子簇都有一个拓扑不变量，携带了与之相关的某些拓扑信息。通过观察这些拓扑不变量，可以得到复流形的同调的哪一部分？

霍奇猜想给出了一个具体的答案。答案很微妙。