变分方法与非线性发展方程 | 非线性发展方程动力系统丛书2|动力系统|变分方法与非线性发展方程|无穷维|泛函|波解|算子

在自然界中，万物都在不断变化和运动。为了理解和预测这些变化，人们发展了许多数学理论和方法。其中变分方法是一种重要的研究工具。

《变分方法与非线性发展方程》（丁彦恒等著. 北京：科学出版社，2024. 3）一书主要探讨非线性发展方程与变分方法的关系，以期为解决实际问题提供有力支持。

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非线性发展方程是用来描述随时间连续变化的系统的一类方程，这个系统由方程 ż(t) = f(z) 描述，其中 ż 表示 z 关于 t 的导数，f 是 Banach 空间 X 上的给定的向量场，z(t) ∈ X 表示系统在时刻t 的状态函数。当X 是有限维的时候，此系统由常微分方程(ODE) 系统来描述；当X 是无穷维的时候，此系统由偏微分方程(PDE) 来描述。当f 关于z 是非线性时，我们称此方程为非线性发展方程。非线性发展方程的演化理论关注如下问题：特殊解的存在性(比如孤立波解、时间周期解等)、特殊解的稳定性问题、解的长时间渐近性、初值问题解的适定性等。

变分方法是研究泛函临界值问题的一个数学分支，是处理非线性发展方程的有力工具。它特别广泛地应用于具有变分结构的非线性发展方程。比如，考虑平坦 Hilbert 空间ℋ 上的 Hamilton 系统：ż(t) = J▽zH(t, z)。假设H(t, z) =(Lz, z)/2+R(t, z)，其中L 是ℋ 上的线性自伴算子，J 是ℋ 的辛结构，R 是非线性泛函。于是该系统等价于

－(Jż(t) + Lz(t)) =▽zR(t, z) 或Az = N(z),

其中 A = －( Jd/ dt + L) 为 L² ( ℛ , ℋ ) 上的自伴算子， N 是梯度型非线性映射。一般而言，我们的首要任务是：①根据 A 的谱性质建立工作空间并给出对应泛函的表现形式(此即所谓建立变分框架)；②针对性地发展和应用抽象的临界点理论处理该泛函(见本书第2 章)。

本书主要研究一些非线性发展方程。

首先，我们探讨了抛物控制系统中的扩散问题。通过运用变分方法，我们得到了非线性扩散方程的同宿解的存在性、多重性和集中性结果。
在量子力学问题中，我们研究了非线性Schröinger 方程，并给出了其初值问题的结论。接下来，我们利用变分方法证明了驻波解的存在性。此外，我们还考虑了非线性Schröinger 方程的半经典解的存在性等问题。对于非线性Dirac 方程，我们提供了其变分框架，并介绍其半经典极限和非相对论极限的结果。
在第5 章，我们介绍了经典Hamilton 系统和无穷维Hamilton 系统的相关结果。
最后，我们研究了非线性Schröinger 方程和Korteweg-de Vries 类型方程的孤立波解的稳定性和不稳定性问题。

在此，我们希望本书能为研究非线性发展方程及其变分方法的学者和研究生提供一定的参考价值。同时，我们也期待与广大读者共同探讨、交流和学习。

丁彦恒

(吉林大学数学学院，

中国科学院数学与系统科学研究院)

郭柏灵

(北京应用物理与计算数学研究所)

郭琪

(中国人民大学)

肖亚敏

(河北师范大学)

2022 年11 月于北京

本文摘编自《变分方法与非线性发展方程》（丁彦恒等著. 北京：科学出版社，2024. 3）一书“前言”，标题为编者所加。

（非线性发展方程动力系统丛书; 2）

ISBN 978-7-03-077687-7

责任编辑：李欣李萍

本书讨论变分方法在非线性发展方程理论中的应用。非线性发展方程主要关心局部解、全局解的存在性以及孤立波解的稳定性等问题。利用变分方法我们可以寻找众多的非线性发展方程的稳态解，之后根据对应的守恒律可以得到系统的轨道稳定性和不稳定性。本书主要内容包括最优控制问题中的扩散方程、量子力学问题中的非线性Schrödinger 方程和非线性Dirac 方程、经典和无穷维Hamilton 系统。通过对这几类发展方程的研究，我们以期建立非线性发展方程的变分理论。

本书适合高等院校数学、物理专业的研究生和教师以及相关领域的科研工作人员阅读。

（本文编辑：刘四旦）