内容来自墨子沙龙活动“数学漫谈”（2024年4月21日）上的圆桌，演讲嘉宾是中国科学院数学与系统科学研究院袁亚湘院士。
Q
我目前是一名计算机专业在读本科生，我特别喜欢数学，喜欢看数学的书籍，喜欢玩棋牌等和数学有关联的游戏。您能给我一些关于未来发展的建议吗？
A
对于数学和职业规划，我认为最重要的是根据自己的兴趣爱好。比如有些小男孩爱踢足球，家长没有逼他每天必须踢球，但他自己会偷偷地去踢足球。所以喜欢数学的孩子并不是靠家长逼着做数学题目，而是自己觉得数学好玩，每天不做两道题好像心里不舒服。这样才真正是喜欢数学。
大学毕业选择职业，千万不要因为大学本科学这个专业，就吊死在这棵树上。像撒切尔夫人本科学化学，后来当英国首相；李源潮在复旦大学学数学，后来当国家副主席。因此，选择将来的职业，最重要的是找到自己感兴趣的事情。
当然，光有兴趣自己不擅长也不行。比如我对打篮球很有兴趣，但是我个子矮，还没投篮就被人盖帽了，在篮球领域就是被人虐，这也不行。因此，最好是找到自己的兴趣，并且是自己比较擅长的。
此外，计算机科学跟数学可以结合，比如图灵既是数学家，又是计算机科学家；西安交大徐宗本既是信息领域的院士，也是数学家。很多学科可以交叉。
Q
如果对数学并不是很感兴趣，但也不是很抵触，在就业压力大的情况下，怎样培养孩子数学兴趣，从而更好地拓宽就业面和就业能力？
A
孩子学习数学的兴趣一般，我的观点是要培养兴趣。作为家长，要观察自己孩子的兴趣点，从而培养孩子的学习兴趣。家长不要总想教孩子多少知识，要启发、诱导，让孩子明白，学习是他自己的事情，不是为了家长和老师学习。我的妈妈是文盲，但是她很神奇，她能够培养孩子的兴趣。我们村子里出了三个大学生，现在都是教授了，都是我妈妈培养的。后来我也为人父，为人师，作为一个教育工作者，我不如我的妈妈。
Q
在现在的教育环境下，学习初等数学时，存在大量刷题，大量超前学习的现象。您怎么看待这个问题？
A
关于刷题，我非常反对，家长一定要有定力。如果我有双胞胎可以做实验，一个就让他反复刷题，另一个稍微放养，可能放养的孩子高考会考得更好一点。但是我们家长赌不起，因为别人都刷题。
举个例子，袁老师是湖南人，很爱吃辣椒，每天吃一盘或者两三个辣椒挺好的。但是如果一天吃八盘辣椒，连续吃一个星期或者一个月，可能胃就伤了。或者一天吃两块臭豆腐可以，一天吃五盘臭豆腐，连续吃两个星期，以后看到臭豆腐就想吐。现在很多的学习，犯的逻辑错误是一样的，学生每天做一两道题，掌握知识挺好的，但是大量的做题，就像让孩子每天吃二十个荷包蛋，可能吃坏了。
另外，大量的刷题，做重复的事情，在脑子里像刻进去背住题型，实际上对能力是没有帮助的。数学跟别的学科不同，别的学科要背很多东西，数学是真正学懂以后什么都不用背。1加1等于2，3加3等于6，3加4等于7，不是靠背出来的。我们最反对按学语文的方法来学数学。乘法口诀背熟了，但是孩子不知道背后的道理。做题的目的不是为了提高分数，而是让孩子学懂。很多靠刷题取得高分的孩子上大学就不适应。如果希望孩子成功，不要太在意高考那一瞬间提高两三分。“多考两三分，干掉几千人”这种口号真的不重要。
张平文院士是我的好朋友，现在是武汉大学校长，曾经当过北大副校长，他说：“我们北大数学学院挂科的都是人大附中的”，人大附中是全国有名的中学，培养出的学生高考很厉害。因此，家长真的要注意，不要太在意高考那一瞬间的成绩，最重要的是孩子的健康，让他在中小学学得快乐。
孩子上好大学当然很重要，但更重要是在大学要好好学习，上“好大学”和“上好”大学，我觉得第二个更重要。每个学校都会产生优秀人物，北大清华也许比例稍微高一点。举个例子，我在科学院招研究生，北大的后1/3、后25%肯定不要，但中国科大的前1/3肯定要，复旦大学的前1/3肯定要。
人的一生真的是长跑，哪怕没上那么好的大学，只要在大学里好好学习，条条道路通罗马。我们数学研究院领导，中国数学会理事长席南华院士是怀化师专毕业的，他研究生考到了华东师范大学，最后到科学院，到哈佛，一步一个台阶。还有很多例子，华罗庚的学历是初中；我们科学院副院长张杰，内蒙古大学毕业，当过上海交大的校长。
家长们到底是希望孩子在高考那一瞬间很辉煌，周围的家长羡慕你，还是希望孩子10年、20年以后，在社会上真的出人头地，值得思考。
Q
我正在上初一，开始接触几何证明，老师经常要我们写步骤，步骤要有逻辑，要清晰。我觉得我只要答案是正确的就行了，为什么要有步骤？
A
老师要求你写步骤，肯定是道理的。聪明人有这么一个毛病，思维比动手能力更快。所以可能对很多比较聪明的孩子容易出现这种情况，知道怎么做，但是觉得写步骤很烦。
数学一定是有严格的推理步骤的，因为有a才有b，因为有b才有c。哪怕你觉得步骤不重要，但是在你的脑海里步骤是存在的，只是你不想写。
老师并不知道你是否会这个步骤，所以老师要求写步骤，是有一定道理。为了应付考试，包括将来高考，一定要严谨，养成写步骤的习惯。
Q
刚才您没来得及讲的笑话是什么？
A
这个笑话是这样的：大概在100万年以前，恐龙把地球上的树叶都吃光了，食物链断了，恐龙开始吃人。有一个部落的一个人武功非常高，他把周边的恐龙都杀光了。消息一传十、十传百，全地球都知道了，都派人来学习杀恐龙。这个人就开了一个杀恐龙学校，教了很多学生。这些人都学会了杀恐龙，就回到当地继续教当地人杀恐龙，又办了很多学校，会杀恐龙的人越来越多，最后恐龙都被杀光，灭绝了。过了几百万年，突然有个小朋友问老师，恐龙都已经灭绝几百万年了，我们还学杀恐龙技术有什么用？老师说可有用了，你将来毕业后可以去当老师，教别人杀恐龙，数学家不就这么做的吗？
这个笑话是讽刺数学没用，其实是公众对数学不理解，那些认为数学没用的人，总喜欢编一些笑话来说数学没用，但实际上数学还是有用的。
Q
我们可能会觉得集合论是一种公理，通过公理推出来的所有东西都是绝对抽象的，绝对严谨正确的。为什么集合论这些公理一定是对的？有没有可能它们就是错的。比如我们如果承认选择公理，就导致会有巴拿赫-塔斯基分球悖论。所以我们在多大程度上可以觉得数学推出来的所有东西都是抽象严谨且正确的？或者说它只是我们构建出的一套数学系统，只是实用主义上比较方便去进行一些推导？我们需要关心数学的本质是不是这种抽象的真理，还是可以不用关心，直接去搭建像代数几何这种更加重要的知识？
A
这是非常好的问题，而且是很专业的问题。因为数学也是个信仰，所以很多数学，包括集合论，都是基于公理的假设。公理的确就是一种信仰，不管你承不承认，做研究的人就是在这些公理条件下，再去推结果。同不同意这个公理，认不认可这个公理，是另外一回事。不认可可以不跟他谈；如果认可，在这些公理条件下，能做哪些事情，这是最本质的。
例如欧几里得的几何公式，你可以讲它的公式不对，但是不对，你就在另外一个体系上做，就导致有“非欧几何”。
所以数学也是如此，数学家研究的数学，无论是直觉，还是公理，大部分是有一定的合理性。比如描述现实社会，欧几里得的平面几何公式跟三维空间比较吻合。有些东西跟我们直觉完全不一样，就导致了“非欧几何”、“黎曼几何”等，这在物理上又有很多的用处。
数学家就是超前的。数学家有时考虑一些表面上看来很抽象，脱离现实生活的东西，说不定在别的领域会有重要作用，例如量子力学、物理里面有很多跟拓扑学、几何有密切的联系。比如虚数，物理学如果没有虚数，薛定谔方程就无法去刻画很多东西。但是在最早出现虚数的时候，“虚数”就是虚无的数，没意义的数。所以很多数学的结果，在它诞生的时候毫无用处，但可能在将来会有用。
数学就是追求自己的逻辑体系，比如代数几何，很多结果有用，但也有一些结果毫无用处。所以对待数学不要太苛刻，周向宇院士就反复强调做基础科学无用之用，他做真正的纯基础研究，我们还是要允许这种完全是为了探索和追求智力的极限的研究。
这有点像奥运会100米跑了10秒还不够，非要跑9.8秒，9.8秒还不够，还要跑八点几秒，是追求体力上的极限。实际上很多数学的题目，也是追求人类智慧的极限。
Q
我之前看过一些数学家的传记，了解到算轨道很好用的新算法，是您的老师在读俄国人写的教科书时想到的。那么您能否结合自身的科研经历，描述一下数学家做出原创性成果的创造力是如何获得的？
A
我是留学剑桥的，在剑桥大学授予学位的时候，数学是在理科的最前面，有点像哲学在文科最前面。学科分类先是数学，然后是自然科学，所以数学不算自然科学，数学在某种意义上有点像艺术。
很多数学家看起来怪怪的。真正的数学家，像陈景润，就是性格怪怪的，很有艺术家的性格。而且他做数学研究，特别是基础数学的方式也有点像做艺术。
比如贝多芬，来灵感了，可以创作很好的《第九交响乐》，要是没来灵感，几天几夜什么事也做不出来。数学家其实也类似，来灵感了，几天就可以写出很好的文章，不来灵感的时候，几个月什么事也做不出来。
因此，要给做基础科学的人轻松的环境。因为数学一些重大发现，就是有一些突发的灵感，但这个突发灵感又不是天上掉下来的，跟平时不断地积累，不断地思考有关系。比如牛顿不断思考，有一天突然开窍了，就是所谓的厚积薄发。就像骑自行车，开始总摔跤，突然有一天就会骑了；就像郭靖学降龙十八掌，开始半年学不会，某一天突然就来灵感了。所以做数学研究，的确需要类似的气质，特别是纯数学家，要长期坚持去做。
举费马大定理的例子，安德鲁·怀尔斯年轻时，觉得勾股定理Xn加Yn等于Zn，当n大于2时，居然没有正整数解，这个问题很有意思。他从小立志长大要证明这个问题。后来他对数学很感兴趣，大学学数学，又读研究生。随着知识越来越多，他对这个问题了解得越来越深刻，越来越觉得费马大定理太难，有段时间甚至想放弃，后来他研究椭圆曲线，居然发现这两者有联系，后来十年磨一剑，把问题解决了。
数学的确是需要持之以恒，需要毅力长期坚持去做，如果突然来灵感，就有很大的成就感。张益唐做孪生素数猜想时，他在美国没有固定工作，居然就对这么一个数论的问题特别感兴趣，一直坚持在做，最后成功。在华人中应该说是最伟大的成果之一。
Q
我是业余的数学爱好者，最近有一篇新的论文，清华大学一位助理教授做机器学习方面的问题，利用了正态分布的函数，取德尔塔为虚数的情况。其实正态分布的函数很好理解，但是怎样把很容易明白的知识和比较前沿的发现结合去理解，我经常会苦于没有这样的资源。现在所看到的比较好的科普类书籍，也就停留于欧拉所写的《无穷分析引论》，是对于很久以前的一些数学知识进行一些联系和科普，很少会有对于比较现代性知识的科普。想问您有没有比较好的书籍和方法可以推荐？
A
作为业余的数学爱好者，关注数学领域重大进展和突破性的成果，说明你对数学的确有兴趣，值得鼓励。
数学的一些重大突破，有些看起来是偶然的，特别是数学的有些分支，有些方向，并不是功成名就的数学家，就一定比不知名的人做的好。一定是要想别人没想过的事情，不按常理出牌，才会导致一些突破性的点。所以第一就是培养自己敢于跟别人想不一样的事情，这很重要。
但是还有必然性，做出了突破性成果的人，背后其实是做了很多铺垫的思考，不是天上掉下来的。数学很多大的进展，并不是想做就一定能做出来的，要有思想准备，心态要正确，保持平常心。很多纯数学家，可能偷偷摸摸的，比如世界上肯定有很多的纯数学家都在攻“黎曼猜想”，但是大概率做不成，不敢对人说。就像张益唐先生做孪生素数猜想，他没做出来之前谁都不知道他在做。很多人失败了，最后总有成功的，基础研究就是这么残酷。
因此做基础研究真的要有平静心态，一个国家，一个单位，要养一些人，允许他们失败，如果不允许失败，动不动就末位淘汰，动不动就增加压力，就很难做好基础研究。这是个很深刻的问题。
Q
人工智能这几年发展得非常迅速，包括大模型。我个人的理解是大模型要有很强的数学逻辑基础，但是很少有人可以去做数据开发大模型，更多的人可能只是在应用层面上参与。我想问现在对孩子培养过程中，怎么去让数学学习能跟人工智能的发展结合起来？
A
人工智能现在的确非常火，特别是从ChatGPT到最近的Sora。人工智能影响我们社会的方方面面，作为家长、老师，希望学生将来能够关注这方面发展是对的。我相信人工智能对社会的影响也会越来越大。
在科学领域，鄂维南院士在推动《AI For Science》，整个国家各行各业，物理学家、化学家们，都在关注人工智能的一些方法。人工智能在科学技术、社会经济的发展等方面，影响都会越来越大，是大潮流。
我个人对人工智能的看法是，不管人工智能发展得多快，它终究是人类创造出来的工具。有人过分夸大了人工智能的作用，甚至有人对人工智能有点惊恐，吹得神乎其神。作为数学工作者，我觉得不管人工智能能做多少事情，它终究是人类创造的工具。人类会让它做擅长的事情，比如大模型这种海量的数据处理。就像汽车刚发明时，跑得比人快，比马快，但是汽车只是在运行速度上比人快，减轻了人类负担。古代的李白周游中国，游一次就要几年，现代从北京到上海，昨天来今天就回去了，这是汽车给人类提供服务，而不是它比人类厉害。
所以等人工智能热过这一阵，冷静下来，估计50年以后跟现在看待汽车差不多。人工智能力求为人类提供很多便利，包括辅助科学研究，辅助科学发现，但是它肯定成为不了一个好的数学家。人还是更聪明的，这是我的看法。
当然孩子将来选择什么职业，还是看他自己的兴趣和发展，人工智能是不错的选择，但也不是绝对的。这个世界上好的职业很多，比如当医生也挺好。只要你做好了，行行出状元。
嘉宾介绍
袁亚湘 ，1981年毕业于湘潭大学，1986年获英国剑桥大学博士学位。中国科学院数学与系统科学研究院研究员。中国科学院院士、发展中国家科学院院士、巴西科学院通讯院士、美国数学会首届会士、美国工业与应用数学学会会士、伦敦数学会荣誉会员。现任中国科协副主席。主要研究非线性最优化计算方法，在信赖域法、拟牛顿法、非线性共轭梯度法、子空间方法等方面做出了重要贡献。曾任中国数学会理事长、中国运筹学会理事长、国际工业与应用数学联合会主席、国际运筹学联合会副主席。曾获国家自然科学二等奖、发展中国家科学院数学奖、何梁何利科技进步奖、美国工业与应用数学学会杰出贡献奖等。还曾获“中国十大杰出青年”等荣誉称号。
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