据说这位菲尔兹奖得主的定理证明论文在数学史上篇幅最长|奇点|定理|广中平|数学|菲尔兹奖|论文

放弃这个词语给人一种消极的感觉。但是，一个人如果连应该在哪里选择放弃都不知道，那么他不会做出什么丰功伟绩。我坚信，学术研究也是如此。若想创造出好东西，要有放弃的能力。

在我开始学习有理变换的第二年，我与扎里斯基教授的另一位学生阿廷共同举办了研究扎里斯基教授的奇点解消理论的研讨班。也就是说，我学了两遍同样的理论。

差不多就是在那个时候，我拜访了一位叫阿比扬卡（Abhyankar）的数学家，他当时在康奈尔大学担任副教授。阿比扬卡是印度人，也是扎里斯基教授的学生。我之所以去拜访他，是因为我听说他对奇点解消问题非常关心。

我当时已经正式开始研究这个问题。当然，我依旧没有想过自己能解决它，只是觉得就算解决不了，也能多少做点贡献。也就是说，对我而言，此时的奇点解消已经变成带有一点现实色彩的梦想。我之所以去和阿比扬卡交流意见，也是因为期待能从他那里获得某些启示。

我毫无顾忌地把当时自己对奇点解消的想法都告诉了阿比扬卡。既然存在奇点，那么奇点应该也有它的特性。这样的话，只要依次将奇点的特性转换成抽象的概念并用数值表示出来，最后就能解决这个问题。

然而，阿比扬卡的想法与我的观点互相矛盾。自信十足的他斩钉截铁地对我说：“你的方法绝对解决不了这个问题！”结果我们的交流以破裂告终，但这对我而言也是一剂良药。

在那之后的几个月里，我一直埋头研究这个问题，但始终找不到解决问题的线索。就在此时，我听到哈佛大学的鲍特教授说了这样一句话——带着问题入睡（Sleep with problem）。这句话的大体意思是，要日思夜想你要解决的难题。那段时间我的确是带着奇点解消问题入睡的，但没有什么收获，反而进一步认识到了解决这个问题的难度。对这个问题研究得越深入，就越觉得迷惑，仿佛自己在深不见底的迷潭中越陷越深。

于是，我只好暂且从这个问题中抽离自己。

我这么做并不是放弃了梦想。我知道自己开始着手解决的这个问题有多难，这反倒更加激发了我向其发起挑战的热情。实现这个梦想的欲望在不断膨胀。

从巴黎回来取得哈佛大学博士学位（1960 年 6 月）后，我再次尝试向这个问题发起挑战。那时我在布兰迪斯大学担任讲师。虽然这次我铆足干劲苦心钻研奇点解消问题，但又以失败告终。

不过，在布兰迪斯大学工作的第二年，也就是从我开始担任副教授起，我渐渐有了自己的构想。这个构想很难用一句话概括，总之，在思夜想这个问题的过程中，我找到了解决问题的线索。

我日

然而，就是在这个时候，我遇到了一件让我有些泄气的事情。

有一位叫克劳德·夏瓦雷（Claude Chevalley）的数学家，他是法国数学界的代表人物之一。夏瓦雷于 1909 年出生于南非的约翰内斯堡，毕业于巴黎高等师范学院，曾在普林斯顿大学、哥伦比亚大学任教，凭借《李群论》《代数函数论》和《夏瓦雷群》等研究论文，成为享誉世界的大数学家。

我听朋友说，夏瓦雷对奇点解消问题持否定态度。

当时，我用不同于扎里斯基教授的方法解决了一维代数簇的奇点解消问题。我认为如果沿用该方法进一步发展我的理论，一定能解决二维、三维代数簇的奇点解消问题。然而，此时夏瓦雷说奇点解消问题不是那么简单就能解决的，即使有人解决了这个问题，那时代数几何学的一般性理论可能已经发展得很成熟，奇点解消问题的价值或许没有那么大了。我虽然没有直接听到他说这些话，但是从朋友转述的话中听出了他对这个问题持否定态度。总之，夏瓦雷认为解决这个问题没什么用，没什么必要去研究奇点解消问题。

两度碰壁的我比任何人都清楚，这绝不是一个轻而易举就能解决的问题。正因为如此，我更想向它发起挑战，但被别人说“解决了也没用”之后，我感到颜面尽失，要说自己当时没有泄气是不可能的。

后来，我敬爱的格罗滕迪克也说了让我挫败的话。

有一次，我从剑桥去机场送格罗滕迪克回巴黎。在去机场的路上，我在车里对格罗滕迪克聊起了奇点解消。

当时的我似乎非常兴奋。这也是理所当然的，因为那时我已经用自己的方法解决了二维、三维代数簇的奇点解消问题。如果继续研究下去，四维代数簇的奇点问题应该也能解决。我期待着格罗滕迪克的反应，想必他会肯定这项研究的价值，并给我带来一些重要的启示。我完全沉浸在自己的世界里说个不停。

然而，坐在我旁边的格罗滕迪克完全辜负了我的期待。

格罗滕迪克没有表现出特别高兴的样子，甚至有些心不在焉，因为整个过程中他几乎没有搭腔，而且最后他说的一句话证明了他没在听我说话。

他说：“若想证明四维代数簇的奇点解消是不成立的，只需要……”

当时我感觉自己就像挨了一棒，备受打击。

说这句话的不是别人，而是指导过我半年的老师，是我特别尊敬的格罗滕迪克。所谓目瞪口呆，可能就是我当时的状态吧。难道我沉迷于奇点解消问题只是为了证明它是一个谎言吗？这么伤人的话令我心灰意冷。

不过，也有人曾给予我鼓励。

这个人便是扎里斯基教授。我当时一边在布兰迪斯大学工作，一边在哈佛大学的研讨班学习。有一天，我和扎里斯基教授在校园内擦肩而过。知道他一向很忙，所以我只打算跟他打个招呼。

然而，他拦住我问：“你现在在忙什么？”

“我正在重新思考奇点解消的问题。”我回答。

他若有所思地拍着我的肩膀说：“你需要一口结实的牙齿去啃它。”（You need strong teeth to bite in.）

提前备好结实的牙齿这句话体现了扎里斯基教授的幽默感。若不咬紧牙关则解决不了这个问题，所以他给我的忠告是必须备好一口结实的牙齿。扎里斯基教授是想让我下定决心努力去做。

奇点解消是扎里斯基教授亲自研究过的问题，所以他深知这个问题的重要性。不管怎样，他的话让我备受鼓舞。

另外，法国数学家汤姆（Thom）的话也令我振奋，我也经常把他的话说给自己听。他说：“从事代数几何研究工作的人净是些懦夫，一遇到棘手的问题，就扬言解决了也没有意义。这是代数几何学家的惯用伎俩。”

汤姆的话还是比较中肯的。我曾暗自发誓绝不做他嘴里的“懦夫”。

在布兰迪斯大学工作的第二年，我就是这样下定决心重新踏上奇点解消问题的研究之旅的。不久后的一个夜里，我终于突破最后一道防线，找到了解决问题的大方向。

我的研究目标是创造一个可以解决任意维数奇点解消问题的理论。我秉持坚韧不拔的信念，经过多次挑战和不懈努力，终于用不同于扎里斯基教授的方法解决了任意维数的奇点解消问题。

我兴奋地拿起电话，强有力地拨着扎里斯基教授家的电话号码。我当时感觉如果不找别人说一下，自己就无法平静下来。

“我好像解决了所有维数的奇点解消问题。”

扎里斯基教授接通电话后，我迫不及待地对他这样说道。他的声音一如既往地冷静。总而言之，少言寡语的他当时只给了我“要谨慎行事”的忠告，随即安静地放下了电话。

的确，此时最重要的就是谨慎再谨慎，否则自己可能会陷入无法挽回的尴尬境地。过去就有好几位数学家宣布解决了奇点解消问题，结果闹出了乌龙事件。其中还有数学家发表了相关论文，结果遭到扎里斯基教授毫不留情的指正。

自认为百分之百解决了问题，但没想到疏于检查细节，最终问题还是没有解决，这样的情况在数学界屡见不鲜。曾经有一位年轻的数学家宣布自己解决了某个难题，并发表了相关论文，但之后被指出存在重大错误，从此一蹶不振。扎里斯基教授给予我“要谨慎”的忠告就是为了防止我重蹈覆辙。

不久后，我在哈佛大学开设了以这个问题为焦点的研讨班。我打算在研讨班上和参加人员以问答的形式，彻底检查一下理论的相关细节。

后来我觉得有必要改进在解决问题时使用的原创方法。于是，我向学校提出了停办研讨班一个月的申请。就在得到校方批复后不久，我偶然遇到扎里斯基教授，他问我：“你的奇点解消理论还是定理吗？”

有时虽然以为自己的理论是得到证明的“定理”，但经过仔细检查后却发现其中存在漏洞，结果问题还是没有得到解决。这种例子在数学界中层出不穷。扎里斯基教授是担心发生这种情况才这么问我的。我充满自信地答道：“还是定理。”

虽然存在几处必须改进的地方，但是我坚信我的思路没有问题。

从那以后，我把所有时间都放在写论文上。本来我就是个夜猫子，经常吃完晚饭后看电视或者和家人聊天，到晚上十点才开始工作，睡觉的时候已经是早晨五点左右了。我入睡后不久，妻子就会起床，清点我昨夜写的稿子的页数，然后将稿子交给打字员。我睡醒以后会通读打印出来的稿子，仔细检查逻辑结构方面是否有错，证明细节是否严谨。如果没有任何问题，就开始思考下一步，就这样不知不觉到了晚饭时间。那段时间我的日常便是如此。

当然大学里有课的时候，我也得过去上课。但是，当时我一天只睡三四个小时，而且前一天夜里与问题奋战的余韵未尽，昏昏沉沉的大脑让我无法在课上百分之百地集中注意力。真是对不起那些来听我课的学生。

用写小说的方式是写不了数学论文的。其实我没有资格这么说，毕竟我没有写过小说。不过，我认为二者在写作方式上完全不同。比如，写到一半时发现不妥之处，小说的话可能不用重写，但数学论文就不是这样了，哪怕发现一星半点逻辑上的错误，都必须推倒重来。因此，很多时候头一天写下的十几页稿子，到第二天都会变成没用的废纸。在写关于奇点解消问题的论文时，我不知道遇到多少次这种情况。每当遇到这种情况，早上去学校的心情都无比沉重。

不管怎样，历时两个多月，在一天深夜里我的论文终于完成。论文的正式题目为“Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero”（在特征零的域上代数簇的奇点解消）。

这篇论文原稿的厚度能与马萨诸塞州的电话号码簿相匹敌。因此，数学家们后来都用“广中的电话号码簿”来代指这篇论文。在证明定理的论文中，据说我写的这篇论文是数学史上篇幅最长的。

论文内容分两次刊登在美国的数学期刊《数学年刊》上。

过了相当长的一段时间后，扎里斯基教授在卸任美国数学学会会长的纪念演讲中说道：“广中取得了胜利。”

据说在我发表论文之后，扎里斯基教授还曾多次用他自己的方法验证过我的理论。他在演讲中宣告我推出了他未能推出的理论，以此来表示对我这位学生的关怀。