近代数学枝繁叶茂,各类难以解决的问题不可胜数。然而,真正称得上跨世纪的难题却也不多。下面讲的哥德巴赫猜想、费马大定理和四色猜想就是其中最具影响的三个,被誉为近代数学“三大难题”。
一、哥德巴赫提出的猜想
大约280年以前,担任过俄罗斯公使的德国数学家哥德巴赫发现了一个有趣的现象:任何大于5的整数,都可以表示为3个素数的和。对这一由尝试而积累的信念,他本人无法予以证实。
1742年6月7日,哥德巴赫将自己的想法求教于当时颇负盛名的彼得堡科学院院士欧拉。欧拉经过反复研究,发现解决问题的关键在于:证明任何大于2的偶数,都能表示为两个素数的和。欧拉细心核对了以下一张长长的表:
这张表的每一次延展,都使欧拉对自己结论的可信度进一步增加。最后他终于坚信这是一条真理。1742年6月30日,欧拉复信哥德巴赫,信中指出:
“任何大于2的偶数都是两素数的和。虽然我还不能证明它,但我确信这个论断是完全正确的。”
这就是举世闻名的哥德巴赫猜想,或准确地称为“哥德巴赫-欧拉猜想”。
这个连大名鼎鼎的欧拉也无能为力的问题,很自然地成了当时人们追逐的焦点。整个19世纪最为优秀的数学家,几乎都研究过哥德巴赫猜想,然而几无进展。
1900年,在巴黎召开了国际数学家大会,会上希尔伯特提出了20世纪人类需要攻克的23个数学难题,其中哥德巴赫猜想排名第八。
1912年,著名数论大师兰道在饱经碰壁之后,感慨地说:“即使把问题放宽为证明:每一个大于1的整数,都可以表示为不多于S个素数之和。这对于现代的数学家来说,恐怕也是休想!”
不料过了18年,1930年,25岁的苏联数学家西涅日曼,用独创的“正密率法”证明了兰道所说的那个“休想”的命题! 不过,他所算出的S 值相当大。然而这毕竟是向哥德巴赫猜想进军道路上的第一个重大突破。此后,沿着西涅日曼的道路,包括兰道在内的许多数学家竞相突破,只用7年时间,就把S 的值缩小到67。
1937年,苏联著名数学家 И.维诺格拉多夫用自己创造的“三角和法”,获得了震惊全球的结果,证明了:“充分大的奇数,可以表示为3个奇素数的和。”维诺格拉多夫的工作,相当于证明了西涅日曼常数S=4。
1938年,我国著名数学家华罗庚证明了“几乎所有偶数都可以表示为一个素数与另一个素数幂的和”,即所谓,这在当时是一个相当出色的成果! 1920年,挪威数学家布朗曾另辟新径,用一种改进了的古老筛法,证明了一个大于2的偶数一定能够表示为不多于9个素数的乘积与另外不多于9个素数乘积的和,即所谓(9+9)。此后的40年,在这条道路上战果辉煌,突破一个接着一个:
1924年,德国的拉德马哈证明了(7+7);
1932年,英国的爱斯尔曼证明了(6+6);
1938年和1940年,苏联数学家布赫斯塔勃相继证明了(5+5)和(4+4);
1950年,苏联的维诺格拉多夫证明了(3+3);
1948年,匈牙利数学家瑞尼在又一条充满希望的跑道上,迈出了第一步,证明了任何一个大偶数都可以表示为一个素数与另外不多于k 个素数乘积的和,即所谓(1+k);
1956年,我国年轻的数学家王元证明了(3+4),翌年又证明了(2+3);
1962年,我国数学家潘承洞把匈牙利数学家瑞尼的结果,向前推进了一大步,证明了(1+5);第二年,他与王元联手更上一层楼,证明了(1+4);
1965年,意大利数学家朋比利和另两位苏联数学家同时证明了(1+3);
随着时间的推进,堡垒一个个地被攻破,包围圈在令人鼓舞地缩小着! 1966年5月,我国青年数学家陈景润证明了(1+2)。这是自 1742 年哥德巴赫猜想问世以来,人类取得的最好成果。陈景润的成就,震惊中外,被誉为“推动了群山”。
另外,类似于欧拉开列的偶数(1+1)的表示表,已经验证到1.3亿个,没有出现反例。一次次成功的证实,都使人们对攻克欧拉和哥德巴赫猜想的信念,变得更加不可动摇!
陈景润1966年取得(1+2)的成果,离目的地只有一步之遥。然而,这是最为艰难的一步! 从那时起,时间又流逝了半个多世纪,但至今依然没有人能够望得见尽头。至于谁能最终采撷到这颗“皇冠上的明珠”,希望不久的将来,能够传来捷报!
费马是17世纪欧洲颇负盛名的数学家,在数学的许多领域有着极深的造诣和辉煌的成就。只是由于其本人性格怪异,从不愿公开发表自己的著作,所以他的大多数研究 成果,不是记录在与友人的通信之中,就是批注在阅读过的书籍之上。1665年,费马病逝,留下了大批书籍和遗稿。
1670年,费马的儿子在整理他父亲遗留下的书籍时,发现了一本古希腊数学家丢番图著作的译本。在这本书的页眉上,有一段费马于1637年用拉丁文写下的批注:
“将一个正整数的立方表示为两个正整数的立方和,将一个正整数的四次方幂表示为两个正整数的四次方幂的和;或者一般地,将一个正整数高于二次的幂表示为两个正整数同次幂的和;这是不可能的。对此,我确信已经找到了令人惊异的证明,但是书页的边幅太窄了,无法把它写下。”
费马批语的公开,引起了人们的极大兴趣。费马的儿子翻箱倒柜,希望能从他父亲的遗稿中找到那个“令人惊异”的证明,但终无所得。许多优秀的数学家也为重现费马的“证明”做了大量的艰苦的工作,均徒劳无获。
在一连串的失败和挫折之后,人们倾向于认为:费马并没有充分论证过他的定理。
时间无情地过去了一个世纪,岁月的痕迹,终于使这个以费马命名的猜想,成为向人类智慧挑战的又一道世纪性难题。
第一个具有历史性的突破,出现于1779年。瑞士数学家欧拉,用无穷递降法巧妙地证明了当n=3,n=4时费马猜想成立。但之后问题又沉寂了近半个世纪。1822年,法国数学家勒让德重新吹响了进军号,并证得了n=5时费马猜想成立。过了若干年,他的同胞勒贝格又证得了n=7时费马猜想也成立。
1831年,一位才华绝代的法国妇女索菲娅,靠独有的聪明才智,在假定x、y、z与n互素的前提下,证明了对小于100的奇素数,费马猜想是正确的。18年后,德国数学家库麦尔用一种精妙的方法,取消了索菲娅关于x、y、z的限制。至此,费马猜想正确性的指数上限,正式推进到100。200年漫漫的岁月,进展仅此而已! 现实,使人们对这一问题刮目相看了!
1850年和1853年,法兰西科学院两度决定,悬赏3000金法郎,征求对费马猜想的一般性证明。消息传出群情振奋,重赏之下,果然取得了进展,指数上限从100推进到216。
1908年,德国数学家沃尔夫斯克逝世的时候,把10万金马克赠给了德国哥廷根科学院,作为对费马猜想完整解答的奖励,限期100年。巨额的悬赏,掀起了一股汹涌澎湃的“证明”热潮! 在很短的时间内,各种刊物公布的“证明”就超过了1000个。然而,它们都被证实是错误的!以至于哥廷根科学院决然宣布:从此不再审查稿件;所有的论文在公开发表两年后,依然为数学界所认可的,才考虑评奖。这才使得这股“证明”的狂潮稍稍有所收敛。
从那时起,历史的车轮又向前滚动了数十年。之后,在电子计算机的帮助下,数学家们将费马猜想中的指数上限一再刷新。1978年的纪录还只不过是12.5万,到1993年已经达到4100万。不过,这距我们所追求的目标依然十分遥远。就在正面战场上的推进还望不见尽头的时候,侧面战场上却传来了震惊寰宇的消息。1983年,一位名不见经传的29岁德国数学家 G.法尔廷斯(G.Faltings),在费马猜想的证明上取得了实质性的突破。法尔廷斯成功地证明了数学家莫德尔在1922年提出的另一个猜想。这一猜想的证实,表明了不定方程,至多只有有限个非零的整数解。法尔廷斯的贡献在于:300年来,人们第一次将费马猜想(后称费马大定理)的证明, 转化为只须对有限组整数解的排除! 法尔廷斯无与伦比的成果,使他登上了1986年度世界数学最高奖———菲尔兹奖的领奖台。
经历了300年风风雨雨的费马猜想,到了法尔廷斯手中,终于有了飞跃性的突破。
后来，1994年10月25日11点4分11秒，另一位数学家怀尔斯通过他以前的学生、美国俄亥俄州立大学教授卡尔·鲁宾向世界数学界发送了费马大定理的完整证明邮件!至此费马大定理得证。
三、“四色猜想”的始末
“四色猜想”的由来,众说不一。有人认为它是由德国数学家默比乌斯提出的,但更多的人倾向于以下说法。
1852年,毕业于伦敦大学的F.格里斯发现了一个有趣的现象:无论多么复杂的地图,只要用4 种颜色,便能区分有公共边界的国家和地区。格里斯觉得这中间一定有什么奥妙,于是便写信向其胞兄佛德雷克询问。
佛德雷克对数学造诣颇深,但绞尽脑汁依然不得要领,只好求教于自己的老师,著名的英国数学家摩根(Morgan)。摩根对此苦苦思索了几个昼夜,拿不准佛德雷克所提问题是对还是错,于是便写信给挚友,著名的数学家哈密尔顿(Hamilton)。哈密尔顿才华横溢,当时以发现“四元数”而享誉欧洲。
摩根在信中希望哈密尔顿,要么证明如果一张地图有公共边界的两部分涂以不同的颜色,那么只要4种颜色就够了;要么构造出一张需要5种颜色的地图来!
然而,智慧超群的哈密尔顿两者都没能做到。他耗费了13年的心血,始终一筹莫展,抱恨逝去。
哈密尔顿死后又过了13年,另一位英国数学家凯莱(Cayley)把上述问题刊于英国皇家地理学会的会刊上公开征解,并取名为“四色猜想”。从此,“四色猜想”不胫而走,成为人们研究的热题。
“四色猜想”以后的进展,颇为扑朔迷离!在征解消息发出不到一年内,就有肯普(Kempe)和泰特(Tait)两人分别发表论文,宣布自己已经证明了四色定理。这使曾经出现的一时轰动很
快平息下来。人们普遍认为“四色猜想”已经成为历史! 不料过了11年,一个名叫赫伍德(Hedwood)的青年,指出了肯普证明中的错误,从而使这一沉熄了十年之久的问题,又重新激起人们的热情。与此同时,赫伍德匠心独运,利用肯普提供的方法,成功地证明了用5种颜色必能区分地图上相邻国家,从而在向“四色猜想”进军的道路上迈出了一大步!至于泰特的论文,人们则陆陆续续发现了文中的许多错误,其中最后一个错误论断,迟至1946年,才为加拿大数学家托特举出反例所否定。
赫伍德的“五色定理”证明并不很难。所以开始有不少人小看了“四色猜想”。爱因斯坦的数学导师闵可夫斯基(Minkowski)教授就是其中最为典型的一个。他认为“四色猜想”之所以未被解决,是因为世界上第一流的数学家还没有空去研究它!
有一次,闵可夫斯基在课堂上偶然提到这个问题,随之即兴推演,似乎成竹在胸,但写了满满几个黑板后,命题仍未得证。接下去几个星期的课,闵可夫斯基又继续推演,结果如同身陷泥潭。教授终于精疲力竭了,他愧疚地承认,对于四色问题自己无能为力。此时恰逢雷电交加,他感慨地说:“上帝责备我的狂妄!”这以后,全世界的数学家都掂出了“四色猜想”的沉重分量。
人类智慧经受到又一个世界难题的挑战,在正面战场失利之后,数学家们决定从侧面进军!
在一个侧翼,1922年,有人证明了当区域数小于25 时“四色猜想”成立;1938年,区域数推进到32;1969年,区域数又推进到45。47个春秋,区域数仅仅推进了20! 在另一个侧翼,1936年,希什(Heesch)提出,可以用肯普的思路,寻求“可约构形的不可避免组”的方法证明“四色猜想”。然而,经过分析人们发现,可约构形多如牛毛,需要做的逻辑判定多达200亿次,这远不是一个人的力量所能做到的! 看来侧面也是一条布满荆棘的道路!
就在这时,科学的地平线出现了一缕曙光! 电子计算机的发展,为“四色猜想”的证实播种了希望。进军的号角吹响了! 科学家们通力合作,一方面改进方法,把需要判定的构形数尽可能减少,另一方面不断提高计算机运算的速度,终于使问题的解决初现眉目。
1976年9月,美国数学家 K.阿佩尔(K.Appel)和 W.哈肯(W.Haken),在伊利诺伊大学的三台每秒运算400万次的IBM计算机上,运转了1200小时,检验了全部的1478种构形的可约性,终于成功地完成了“四色猜想”的证明工作。
消息传来,寰宇震动! 人机联手征服了世界性难题,这是亘古未有的奇迹! 为纪念这一历史性的时刻,伊利诺斯大学邮局在宣布“四色猜想”得证的当天,加盖了以下邮戳:
“Fourcolorssuffice!”(四色够了!)
两个多世纪以来,围绕着三大难题的攻克,人类的才智在经受了无数的磨炼后显示出奇光异彩! 正像德国数学大师希尔伯特所形容的那样,这些问题犹如“为我们生金蛋的母鸡”。在向哥德巴赫猜想进军的过程中,数学家们创造了筛法、圆密率法、三角和法等近代数论重要的方法;在研究费马大定理中,诞生了“理想数论”等新的数学分支;在探索四色定理中,又孕育出副产品默比乌斯带等。总之,人类为解决这些难题所得到的副产物,其意义远远超过了解决这些难题的本身!
（摘自清华大学出版社《数学的奇境》）
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