函数y=cos(43x+52)^3的导数计算

主要内容：

本文用链式求导法则、导数定义求导等方法，并利用正弦函数导数公式、重要极限公式，介绍计算函数y=cos(43x+52)^3导数的主要步骤。

主要步骤：

※.正弦函数导数公式法

y=cos(43x+52)^3，由函数y=cosu，u=x^3复合函数，根据链式求导法则，并利用正弦函数导数公式，即可计算出导数，即：

dy/dx=-sin(43x+52)^3*3(43x+52)^2*(43x+52) '=-129(43x+52)^2sin(43x+52)^3。

※.导数定义法

根据导数的定义，有：

dy/dx=lim(t→0){cos[43 (x+t)+52]^3-cos(43x+52)^3}/t,

对分子由三角函数和差化积有：

dy/dx

=lim(t→0)-2sin(1/2){[43(x+t)+52]^3+(43x+52)^3}sin(1/2){[43 (x+t)+52]^3-(43x+52)^3}/t

=-2lim(t→0)sin(1/2){[43(x+t)+52]^3+(43x+52)^3}sin(43t/2){[43(x+t)+52]^2+[43(x+t)+52](43x+52)+(43x+52)^2}/t，由立方差因式分解得到，

=-2lim(t→0)sin(1/2){[43(x+t)+52]^3+(43x+52)^3}*lim(t→0) sin(43t/2){[43(x+t)+52]^2+[43(x+t)+52](43x+52)+(43x+52)^2}/t，极限分开求解，

=-2sin(1/2)[(43x+52)^3+(43x+52)^3]*lim(t→0)sin(43t/2){[43(x+t)+52]^2+[43(x+t)+52](43x+52)+(43x+52)^2}/t，前者直接代入求极限，

=-2sin(43x+52)^3*

lim(t→0) (43/2){[43(x+t)+52]^2+[43(x+t)+52](43x+52)+(43x+52)^2}sin {[43(x+t)+52]^2+[43(x+t)+52](43x+52)+(43x+52)^2}/43t{[43(x+t)+52]^2+[43(x+t)+52](43x+52)+(43x+52)^2}，

根据重要极限lim(t→0) sint/t=1进行变形，

=-sin(43x+52)^3* lim(t→0)43{[43(x+t)+52]^2+[43(x+t)+52](43x+52)+(43x+52)^2}，

=-sin(43x+52)^3*43*3*(43x+52)^2,

=-129(43x+52)^2sin(43x+52)^3。