在少年时代，我们相信，耕耘一定有收获，奋斗一定能成功。
长大以后我们才发现，社会何其复杂，世界千变万化，很多人甚至不知道明年会经历什么。
在充满不确定性的世界探索真相并不容易，但有了数学，人们就能深入不确定性，从纷繁的信息中找到方向。求职、理财、结婚......做出情感反应前，不妨先找到数字依据作为兜底的参考。

作者：[日] 大栗博司

译者：尤斌斌

摘自《用数学的语言看世界》

01

求职：原子弹爆炸实验与“费米问题”

1945 年 7 月，位于美国新墨西哥州的特里尼蒂实验场开展了世界上首例原子弹爆炸实验。在那 3 年前，恩利克 · 费米在芝加哥大学建造了核反应堆，实现了原子核分裂的持续性连锁反应。他也作为曼哈顿计划的成员参加了这次原子弹爆炸实验。

爆炸 40 秒后，爆炸冲击波到达观测基地，一直在观察爆炸中心地的费米站起来，举起双手。他的手中握着事先剪碎的纸片，爆炸冲击波到达时松开手指，纸片随着冲击波的威力飞到了两米半以外的地面。看到这个情景，费米稍微思考后，对参加实验的成员们说：“这威力相当于 2 万吨 TNT 炸药。”

曼哈顿计划的科学家们研究了爆炸数据，经过历时 3 个月的精密计算，给出了与费米一样的结论。就算是很容易获得的信息，只要深入研究，也能发现许多价值。

费米喜欢给芝加哥大学的学生出题，让他们即兴估算各种量。其中最著名的问题是“芝加哥市区有多少位钢琴调音师”。

这个问题被称作费米问题，曾经出现在知名企业的笔试题中。不过， 其解题方法实际上十分简单。这个问题乍一看很难， 其实只要将其分解成几个简单的部分，分别估算后再将估算结果组合在一起即可。

例如估算钢琴调音师的人数这个问题，首先要思考芝加哥市区存在多少台钢琴。

我住在洛杉矶的近郊，洛杉矶是美国第二大城市，人口差不多有 400 万人。芝加哥是美国第三大城市，人口大概是 300 万人左右。假设平均每个家庭有 3 口人， 那么差不多有 100 万个家庭。当然，不可能每个家庭都拥有 1 台钢琴，不过假设 100 个家庭中只有 1 个家庭拥有钢琴的话， 又觉得有点太少。记得我小学的班级中，有好几个同学家里有钢琴。因此，假设 10 个家庭中就有 1 个家庭拥有钢琴，即 100 万个家庭就有 10 万台钢琴。除了个人以外，学校或演奏厅等公共设施也配有钢琴。但是，例如小学里的钢琴，其实几百个学生相对应的钢琴只有几台而已，所以也可以忽略公共设施的部分。

现在我们假设芝加哥市区有 10 万台钢琴，给这 10 万台钢琴调音需要多少位调音师呢？

我家也有钢琴，钢琴每半年要调 1 次音。当然其中有些钢琴不需要调音，所以假设平均每 2 年调 1 次音。那么， 1 位调音师在 2 年内可以给几台钢琴调音呢？1 年等于 365 天，假设只在工作日开展调音工作，那么 365 × 5/7 约等于 270 天。2 年差不多是 500 天。1 台钢琴所需的调音时间为 1 小时，再考虑到路上花费的时间， 1 位调音师 1天最多可以调 4 台钢琴。也就是说， 1 位调音师在 2 年内最多能够给500 × 4 = 2000 台钢琴调音。那么，如果要给 10 万钢琴调音的话， 大概需要 100 000 ÷ 2000 = 50 位调音师。

在上述估算中，我们都粗略地假设调音为每 2 年 1 次。如果数值越精确，估算的结果也会越准确。不过至少估算结果的位数还是对的。实际上，我们查看“职业电话簿”后发现，芝加哥市区至少有 30 位钢琴调音师。因为还有调音师并没有登记在册，所以我们估算的 50 位左右其实并没有很大的偏差。

02

理财：存款翻倍需要多少年？

前面我们都在讲有关 10 的乘方，其实有些时候我们也会使用其他数的乘方。例如计算机的数据由“0”和“1”这两个数字组合表示，所以用 2 的乘方 2x 来表示更方便。在这种情况下，为了表示正在计算“2”的乘方的指数，我们在 log 右下角加了一个 2 ，写作 log2 ，亦写作 lb 。求指数 x 的对数函数记作

在科学领域中，经常会使用自然常数“e”的乘方 ex。求指数 x 的对数函数记作 loge ，亦写作 ln，称为“自然对数

对数有一个重要性质，即log yn = n × log y。这个性质对 lb 、ln 和 lg 均适用。因为接下来会多次用到这个性质，所以先提前在此进行说明。首先，我们来回顾一下第 2 节中曾经讲过的“计算幂的 n 次方时，指数变为 n 倍即可”，那么 (10x)n = 10x × n 。其对数则为

假设 y = 10x ，则 x = lg y ，因此可以推导出：

lb 和 ln 也能使用相同方法推导。在科学领域中之所以经常使用自然对数，是因为对于非常小的数值 ε 来说，以下公式

近似成立。这个公式帮我们简化了许多计算。推导出这个公式十分简单，但因为推导过程有点长，所以我决定把证明过程贴在我个人主页的补充知识中。

接下来，我们尝试在资产管理中运用这个公式。2014 年，日本各大城市银行的定期存款年利率约为 0.025%，所以即便存 1 年定期，你的存款也只能变成 (1 + 0 .00025) 倍。那么，想让银行存款翻倍的话需要多少年呢？存 2 年的话是 (1 + 0 .00025)2 倍，存 3 年就是 (1 + 0 .00025)3倍， n 年就是 (1 + 0 .00025)n 倍。所以，只要计算以下公式

中 n 的值，就能得出存款翻倍所需要的年数。为了求 n 的值，我们首先计算左边的自然对数

在这个算式的右半部分，使用公式 ln (1 + e) ≈ e，令e = 0 .00025 ，则ln (1 + 0 .00025) ≈ 0.00025。因为等式 (1 + 0 .00025)n = 2 中右边 2 的自然对数 ln 2 ≈ 0.69315 ，所 以 n × 0.00025 ≈ 0.69315。接下来可以算出存款翻倍所需要的年数为 n ≈ 0 .69315/0 .00025 = 2772 .6 。由此可知，想让银行存款翻倍差不多需要存 2800 年。这就好比是古腓尼基人在北非建立城市国家迦太基时把钱存入银行，到了今天存款终于翻倍了。

来建立一个公式。假设利率等于 R%，则 1 年后存款增加为(1 + R/100) 倍， n 年后增加为 (1 + R/100) n 倍。利率只有百分之几，因为 R/100 是个很小的数值，所以可以使用刚才的近似公式，要想n年后存款翻倍，那么 ln(1 + R/100)n 就要等于 ln 2 ≈ 0.69315，那么

使用上述公式即可计算存款翻倍所需要的年数。我咨询了金融投资顾问管理资产的方法，他们告诉了我一条“72 法则”。也就是说，存款翻倍所需要的年数 n 乘以利率 R，即n × R = 72。另一方面，刚才我们推导出来的公式是 n × R ≈ 69.315。

那么，“72 法则”的准确率有多高呢？下面我们通过表格的形式表示存款翻倍所需要的年数和利率，从而来检验法则的准确率。

可以发现， 随着利率的降低， 年数 × 利率无限接近 69.315 ···。金融投资顾问之所以使用数字 72，是因为 72 这个数值相对来说误差较小，而且 72 = 23 × 32 ，只有 2 和 3 两个因数，所以也方便在脑中计算存款翻倍所需要的年数。

03

结婚：e与恋人

自然常数 e 除了计算复利，还出现在生活中的各个方面，例如“挑选恋人”的问题。假设有 N 个候补恋人， 轮流对他们进行面试。刚开始抱着见个面的心态拒绝掉最初的 (m − 1) 人， 然后从第 m 个人开始认真挑选， 只要下一个碰到的人比前面的好，就确定选他。那么， 问题是从第几个人开始认真挑选，才能选到自己最中意的人呢？

答案是候补人数除以自然常数即

m = N/e ≈ 0.368 × N

第 m 个人成功的概率也可用自然常数表示，即 1/e 。

据说开普勒在第二次婚姻对象的选择上就使用了上述策略。

上文节选自图灵新知《用数学的语言看世界》，【遇见数学】已获转发授权。

《用数学的语言看世界》

作者：[日] 大栗博司译者：尤斌斌

本书为著名理论物理学家大栗博司先生写给女儿的数学启蒙书，书中以用“数学语言”解读自然为线索，突破传统数学教育的顺序和教学方式，用历史事件、生动故事以及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”、用数学探索自然不可见结构的思维方式，是重新认识和理解数学的科普佳作。增订版对各章内容进行了补充与扩展，使本书内容更为翔实。