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《得一见机》

作者：曹则贤

出版时间：2024年8月

外语教学与研究出版社

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编者按

此书为“曹则贤科学教育’一’字系列”的最后一本，其他三本为《一念非凡》《惊艳一击》《磅礴为一》。若将4本放在一起参校，或更见作者之用心。

曹矩阵，每一行、每一列以及两个对角线都是｛1234｝的一个排列

章节试读

第2章单位/Unit

摘要：物理量的度量要选择合适的单位，在众多的物理量中选择一组合适的基本单位，构成一个一致的基本单位系统。基本单位同普适常数相关联。认识单位制背后的学问提供了一个有效学习物理的角度。单位的存在既保证简单性也足以表现足够的复杂性。单位圆是展现数学内容的舞台。

关键词：单位，单位制，标度，标准，自然单位，原子单位，普适常数，基本物理单位，单位圆，单位元

πάντων χρημάτων μέτρον άνθρωπος.

—Πρωταγόρας1)

一法度衡、石、丈尺，车同轨，书同文

——[汉]司马迁《史记》

A quantity without its units is like water without wetness.2)

——Sanjoy Mahajan

量与单位

本章谈论单位(unit)以及其它与度量(measure, measurement)相关的内容，属于计量学(metrology)的专门范畴，敏锐的读者会发现这是学习自然科学、了解人类社会进步过程的一个独特视角。对物理量(physical quantity)的度量, 当然首先要认识到有那么一个要度量的量，接着要为其选择合适的单位, 要有刚性的参照(reference point, standard)，要有一个标度(scale); 当不同的物理量单位一起构造一个单位系统(system of units, 单位制)时，要考虑它们之间的一致性问题(coherence)，等等。早在有物理学之前，人们从生活出发就认识到了度量、选择单位以及建立起单位制的需求。单位制不是特为物理学而设的，但物理学需要并最终建立起了一套合理的单位制。

度量单位的选取，是同度量对象和单位标准放到一起考量的结果。人类为了改善自己的生存条件而认识世界，这还将继续是人类认识自然的原动力，因此关于世界的表达至少在一开始是从人类自身及周围环境出发的。人是万物的尺度。长度单位最终落实为米，看似随意，实际是因为它是人类身高的特征度量。人类身高几乎就是自身伸开双臂时两中指之间的距离，这个距离就是一庹(仔细看这个字)。伸开双臂测量长度，这就是希腊语动词μέτρον (metron)的本义，由此而来的就是我们熟悉的measure (作动词汉译为测量，作名词汉译为测度), measurement(测量，抽象名词)，以及meter(音译米)。这样大家也就明白了，虽然metric-system 确实以长度单位meter为基础，但是把metric-system翻译成米-制却欠妥，它指的是一整套度量制度，意在“度量”而非仅指长度为“米”，有非常丰富的内容。质量单位被定为千克(kilogram, 缩写为kg )，这个质量单位的选取是由人的体重、摄取食物量以及自身能操控的物质重量等因素决定的。从千克的字面意思可见，此前克(gram) 是基本质量单位。常温常压下水的密度约为1 g/cm3, 这是用常见物质(水)和长度(拇指一节的长度，约1 cm) 一起确立的质量单位选择。克是人类食物添加物如盐、糖、胡椒等的合适单位。

在我们的汉语中谈论度量(liáng)衡时，必须注意到度量衡谈论的是测量这件事儿，度是对长度的测量，量是对(粮食)体积的测量，而衡是对重量的测量。度量长度要用到直的杆儿，高粱秆儿、芦苇、木杆/竹竿等都曾是测量的标准，由此也就顺便产生了相应的单位。杆(竿)是我国的长度标准，“日上三竿”，“八竿子打不着的亲戚”，这些表达就说明了这一点。杆，rod, 历史上也是英国的长度标准，1 rod ~ 5.03 m，看来他们用的木杆够长(图2.1)。Canon, 来自希伯来语的芦苇(kaneh)，引申义有标准、规则的意思, 故物理学中有canonical transformation (正则变换), canonical ensemble (正则系综)的说法。度是测量长度的笼统说法，为此要有长度单位如尺、寸等，“度者，分、寸、尺、丈、引也” (《汉书.律历志上》)。那么，这些单位又从哪里来呢？《说文》云：“周制寸、尺、咫、寻、常、仞诸度量皆以人之体为法” 3) 。也就是说，早先人类活动中关注的尺度，大体是与人的特征尺寸可相比较的，故长度单位多从人的身上来。前述西语的米(meter) ，即汉语的庹，是人凭借自身能提供的最大长度单位。注意，一方面度量单位要利于交流，故总要选取尽可能共通的标准，另一方面我们也要知道，对一个事物的度量最好来自其自身，中医定义个人两乳尖间距为8寸来谈论穴位位置，就再科学不过了。后世的“对几何的描述只能基于几何自身” 4) 的哲学即与此同。量(体积)的单位是斗、升，这也是具体量具的名称；衡(重量)用的是秤，秤有标度(秤星的安排)和用作比较标准的权(秤砣，见图2.2)，故有权衡、权重之说。注意，升、斗测量的是体积，但若利用秤对不同体积的粮食做了重量的标定，则用升、斗也可以作为粮食的质量单位。欧洲要到启蒙时期才有不同单位之间的联系。

图 2.1 某年在德国法兰克福，用随机拉来的16人之左脚长度以决定1 rod的长度 (取自Jakob Köbel 所著Geometrei一书 , 1535年版)。

图 2.2 秦两诏权 (现存陕西兵马俑博物馆)

针对同一物理量的测量，人们也会选择不同的单位。单位有供参照的功能，待表达的量同单位量的大小相比，最好是在有限的几个甚至只在一个数量级内。你不能指望在原子物理和天文学中使用同样的长度单位还静享同样的方便。历史上对一个物理量引入不同的单位，相邻单位之比常常是不同的。比如关于时间的度量，从我们人类可体验的日常出发，我们选择了地球绕日公转周期(年)、月球绕地公转周期(月)、地球自转周期(天)这些相对于人来说非常刚性的标准作为时间单位。一年约等于12个月，一年约等于360天，一月约等于30天。与此同时，因为我们人类一般是10个手指头、脚趾头(digit) 5) 因而我们的计数又采用了十进制。360 是个奇妙的数字，有一大串的除数，包括刚才提到的30， 12和10，所以平面内的转动一圈(我们人类的日常活动之一呃) 会被定义为360°，往下可以分出一些同样是整数的全同碎片 6) 。60，24，15 这些360的除数也被用于时间的细碎分割，1天分为12个时辰、24小时(钟点 7) )，1小时分为60分钟，1分钟分为60秒。相较于时间的度量，长度和重量的度量单位就更繁杂了。在不列颠的长度单位中，1 mile = 5280 feet; 1 yard = 3 feet, 1 foot =12 inches。又比如，在我国汉代的衡量制度中，有一石为四钧、一钧为三十斤、一斤为十六两、一两为二十四铢的说法。这种稍显随意的度量制度会让极少数有思想的人不自在。1670年，法国里昂的教士穆冬(Gabriel de Mouton 1618-1694)在《日-月视连线的观测》(Observationes diametrorum solis et lunae apprarentium)一书中建议采用基于十进制划分的线性度量制(a system of linear measures based on decimal divisions)。这见于如今的长度单位，1 km=10 3 m ，1 m=10 2 cm ,1 cm=10 mm。这个基于十进制的度量体系让后来的物理量表示不再那么繁琐。我国在秦朝时即开展度量衡的统一。所谓 “一法度衡、石、丈尺，车同轨，书同文”，这个举措对统一中国以及其后两千年间中国历经磨难却一直能保持住中华江山一统(in unity)，其作用是不可估量的。历史的一体性与连续的认同感(The historical unity and continuing identity)是中华文明的特征。

具体的或者抽象的测量行为，量的单位，可用作测量的标准，以及量的标度(scale)，这些概念在文献表达中经常是混淆的，读者请留心分辨。比如温度采用绝对温标(temperature scale)时，它的单位为K, 水的三相点定为273.16 K 是个严格的标准(参照点)，所谓的温标是绝对温标，即采用绝对温标时卡诺热机的效率为

(2.1)

而黑体辐射谱峰位的频率与T成正比。“度，法制也”的意思，恰好对应scale。对于具体的测量设备比如温度计，还有如何定标、如何比对、如何确定工作范围等麻烦事儿。与测量相关的这些知识，包括认识到引入一个物理量的必要性，为其选定单位和测量参照点，指定标度(scale), 将单位制同其它已有单位之间协调一致(coherence)，反映了相关领域的思想发展史。它提供了一个学习物理的绝佳角度。

对于物理单位，仅凭字面是不足以理解其内涵的，要凭借物理图像。比如，质量单位克，这是我们对西文gram， gramme的音译。在西方语言中，gram (动词划)表示一个刻划出来的结果，一个字母，后转义有了 “small weight” 的意思。1799年，法国确定gramme为米制的质量单位。一克对应常温常压下一滴体积为1 cm 3 的水的质量。当然，这要求我们对1 cm有多长要心里有数。又比如，在我们日常生活中，温度的1 ℃的变化我们是能明显感觉到的(我们必须做到这一点。我们身体的舒适温区非常小)，那它的形象是什么？当温度升高1 ℃时，压力恒定条件下一大团空气的体积增加约1/273 。认识到物理量单位的存在，确立其单位和标度，找到精确测量的方法(含理论)，制作精确测量的设备，这是物理学的关键内涵，愚以为相关内容应该纳入物理教育的第一课。

单位与单位制

自然科学的发展必然导致单位制的出现。选择一组自然的独立尺度(量纲、维度) 8) 以表达其它的量，这组量则称为基本量(base quantity)。针对这些独立尺度，各定义一个代表性的量作为度量的基本单位(base units)。一套基本单位连同相关的导出单位如果能提供关于物理量的一致的、完备的表述，那就是一套好的单位制。

从日常生活出发，最初我们的测量需要包括计时(纪年)、度量长度(距离)、度量物质的多少(重量、质量) 以及度量冷暖程度(温度)。度量的活动具有自发性，度量单位和度量标准的选择显然是和社会的生产力水平相联系的。我国古代建立了度量衡制度，却没有发展出温度的度量，西方发展出了温度度量同其酿造业、医学比较发达有关。单位制, 确切地说是度量单位系统(a system of units for measurement)是局域的。随着人类特别是在科学研究方向上不断取得进步，建立起统一的、一致的、具有客观参照的度量系统就提上了日程。1791年法国人塔雷昂(Charles Maurice de Talleyrand，1754-1838) 倡议建立基于自然单位的新度量体系。当时法国的大科学家如拉瓦锡(Antoine-Laurent de Lavoisier, 1743-1794)和拉格朗日等人都参与其中。

化学家拉瓦锡注意到物质的形状(形态)可以变，但质量却不会变。其实，拉瓦锡不仅注意到化学反应保质量不变，还注意到各生成物以及反应物之间的质量比总是为小的整数比，这让他猜测原子内部具有同一的质量单元，后来原子核内质子和中子(质量几乎完全相同)的发现证明了拉瓦锡的非凡洞察力。即便在恐怖的法国大革命期间，法国的科学家仍然忙于推动建立一个普适的、线性的单位制，这个造福人类的举动令人动容。鉴于拉瓦锡的成就，他被选为重量与度量制委员会的主席。法国人1791年着手建立metric system, 1793年通过。米制逐渐为科学界所接受并在此基础上演化出了后来的国际单位制。

单位制中基本单位如何选取取决于人类对自然的认识水平。数学家、物理学家高斯(Friedrich Gauss, 1777-1855)1832年引入了cgs单位制(centimeter-gram-second system of units)，成了第一个力学单位制。高斯的cgs is the first coherent metric system, 从这句英文你就理解为什么不可以把metric system翻译成米制了吧！Metric system(of units)是指这整套单位制的标度都是线性的(linear), 同一个量的大小单位之间采用10进制(an extended set of smaller and larger units, in decimal multiple of base unit)。高斯将这套单位制应用到电磁学上。有人说，电学的cgs单位制是笨重的，这一点学过电磁学的人都知道。其实电磁学里有好几套单位制，都笨重。笔者在教授电磁学、电动力学时，认识到这是历史造成的问题。在力学中，万有引力被表示为

(2.2a)

而在电学中，库仑力被表示为

(2.3a)

看到没，这个4π因子的有与无给后来的公式表达带来了无尽的麻烦。这是由于公式同背后的物理图像不相符所造成的。4π因子来自物理空间是三维的这个事实，三维空间中的球面面积S=4πr 2 。因此，愚以为牛顿万有引力和库仑力的正确表达应该分别是

(2.2b)

(2.3b)

这样，场的思想以及物理的几何内蕴都被明确地体现了。

接着力学发展起来且带来独立物理量的学科是电磁学。关于电(electricity)的标准单位，1838-1851年间莱明(Richard Laming, 1798-1879)想到原子是由一个物质的核以及环绕着的带若干单位电荷(unit electric charges) 的亚原子粒子构成，电荷具有不可分的单元可以用来揭示原子的化学性质。1881年，亥尔姆霍兹(Hermann von Helmholtz, 1821-1894) 指出，正电和负电都应该能分成基本单元。斯通尼(George Johnstone Stoney, 1826-1911)因1891年创造了electron一词作为电量的基本单位而闻名，文章是1894年发表的[G. Johnstone Stoney, Of the "Electron," or Atom of Electricity, Phil. Mag. Series 5, 38 (233), 418-420 (1894)]。一开始，electron是用来描述单价离子所携带的电量的。斯通尼注意到在电解现象中，每一个化学键对应固定量的电荷，此可以作为电荷单位。随着1897年携带基本电荷的阴极射线被确立为一种粒子(corpuscle), electron才被用来指称这种粒子，即当前汉语所说的电子。基本电荷的确定，因电子的发现而成为现实。或者不妨说，电子的发现，是为电寻找单位(searching for unit of electricity)的结果。斯通尼1881建议了第一个自然单位制 [G. J. Stoney, On the Physical Units of Nature, Phil. Mag. Series 5, 11, 381-390 (1881)]。将基本电荷和光速、牛顿万有引力常数相结合，可以得到一套单位制( a complete system of units)。

著名的英国科学家开尔文爵士(Lord Kelvin, 1824-1907) 做了许多关于电的实验研究和数学分析，表述了热力学第一、第二定律，从而对统一物理学做出了重大贡献(and contributed significantly to unifying physics)。开尔文爵士引入了很多精确测量方法和设备进行电测量。特别地，他发明了精确测量电流的电流秤(current balance)，确立电流的标准单位为安培(Ampère)。开尔文爵士是物理学家，他知道一个恰当的、自然的单位制对于科学的建立有多么重要。然而，单位制又是自发演化出来的，某种意义上它事关国际话语权的问题。在法国倡议的metric system施行以后，英国人，以及后来的美国人，顽固地拒绝接受。这种反智主义的坚韧让开尔文爵士大为恼火。英制，不如说是没有制(lack of system of measurement), 被开尔文爵士痛斥为“insular and barbarous’ system of weights and measures(自绝于世的、未开化者的重量与度量制)”，一有机会就大加挞伐。然而，开尔文爵士辞世至今又过了116年，英制仍在负隅顽抗。

普朗克(Max Planck, 1858-1947)也根据基本常数发展了一套自然单位，包括长度、质量、时间和温度等。1899年，普朗克针对频率为v 的振子得到了一个熵S 的表达式

(2.4)

其中U为振子能量，两个常数a,b分别对应未来的 h/ kB 和h， h后来被称为普朗克常数。普朗克敏锐地觉察到了这样的常数具有普适的意义，反过来可以用于定义自然单位(natürliche Maasseinheiten)。普朗克以自然常数c,g,h ( h/2π ) 和kB(有时写成k，称为玻尔兹曼常数)为基础，定义了长度、质量、时间和温度的普朗克单位,

这套普朗克单位制在所谓的量子化理论，尤其是在试图同时空结构相关的量子化理论那里得到了肆无忌惮的发挥，被弄得神叨叨的，反映的是想象力的同时丰富与贫乏。然而，有必要指出，普朗克的这套单位制出现在他1899年的论文[Max Planck, Über irreversible Strahlungsvorgänge(不可逆辐射过程), Sitz. Berich. Preuss. Akad. Wiss, 440-480 (1899)]里，那时候他的光量子假说还要再等1年才会出现。至于量子力学一词，则要等到1924年才由玻恩(Max Born, 1882-1970)提出。也就是说，普朗克的自然单位，至少从其产生的必要性而言，与量子理论无关(参见拙著《黑体辐射》)。

在原子物理中也有一个自然单位制, 即Hartree atomic units, 是以英国物理学家哈垂(Douglas Hartree,1897-1958)命名的，这个单位系统把约化普朗克常数，电子质量m e 和基本电荷e, 此外还有库仑常数都当作1。由此会有两个导出单位，长度单位名为玻尔半径

(2.6)

而能量单位就是Hartree,

(2.7)

在Hartree atomic units 中，速度单位为，这和用声速作为速度单位标定战斗机的速度一样，确实比较合适。

好的度量系统(metric system)应该有一定程度的一致性(coherence), 意思是说导出单位和基本单位之间直接关联而无需引入转换系数。采用一致性的度量制，物理量之间的关系自动满足。比如质能关系，物理量各依据此一单位制的约定，在数值上也是成立的，无需引入额外作为转换系数的常数因子。比如，为了一致性，热、功和能只有一个单位焦耳(Joule)。麦克斯韦是建立一致的cgs制以及将metric system 纳入电学单位的关键人物。

选取物理量的单位要有刚性的标准，比如水的三相点作为绝对温标的一个参照点。当然，类似水的三相点这种具有物理刚性的参照点并不多。此外，还要有比照标准，为此对一些单位比如长度、质量来说要有原器 (prototype)，各处使用的单位要和原器比较、校准(calibrate)。质量单位 (1 kg)原器是保存在巴黎的、高和直径皆为39毫米的90%Pt+10%Ir (质量比) 合金圆柱。最新的质量原器为 28 Si 的球，直径为93.6毫米(图 2.3)。

图 2.3 直径为93.6 毫米28Si的球作为1 kg 质量原器

光速与普朗克常数作为单位

日常经验告诉我们，光是在某个确切的时刻发出的，因为光源确切地有被触发的时刻。至于从日常生活中如何感觉到光的传输需要时间，还真不好说，也许云彩缝隙中光漏出来到达地面确实让我们有时间延迟的感觉，或者就是错觉。据信罗默尔(Ole Rømer, 1644-1710)在1676年通过研究木卫1的视运动首次注意到光不是瞬时到达的，即光有有限的传输速度。其后科学界对于确定光速有不懈的努力，感兴趣的读者可参阅本章给出的专门文献。其中，法国物理学家斐佐(Hippolyte Fizeau, 1819-1896)在1848-1849年间让光束及反射束穿过转动齿轮的测量方法尤其闻名，在很多文献中都有描述。不过，就斐佐的光速测量实验，笔者持审慎存疑的态度：在大气中经过8.633公里远的镜子反射后还保持能穿过转动齿轮缝隙形成肉眼可见的小光斑，即便在今天也很少有实验室能做到。

关于光速，经常有文献说，根据爱因斯坦的狭义相对论光速是个常数。光速是个常数不是狭义相对论告诉我们的结论，而是狭义相对论用到的一个前提。和 G，h，kB在其它物理语境中一样，光速c在狭义相对论和量子论中被当作一个普适常数，这体现在时空距离的表达式

(2.8)

以及黑体辐射的谱分布公式比如普朗克公式

(2.9)

中, 而后者出现在狭义相对论之前。特别地，对相对论来说，重要的不是光速是个常数，而是光速没有参照系。爱因斯坦就知道这一点，并从 “不管光源处于怎样的运动状态，观测者得到的光速都是唯一的常数” 这个前提出发，得到了形式为

(2.10)

的质能公式。实际上，在麦克斯韦的电磁波理论中，光速是电磁波的传播速度，是由真空介电常数和介磁常数计算而来的，

(2.11)

从这一点来看，就没有光速涉及参照框架的切入点了。

光速作为常数，愚以为可以这样推理。首先，我们是否承认速度是有上限的，显然认为速度有上限而非无穷大是合理的。如果速度有个上限，那么上限在哪里？已知的光速远远大于我们能观察到的其它速度，光速似乎是速度上限的不二选择。如果光速是速度上限，那就好办了。速度都落在[0，c]之间，那光速甚至无需测量就可以确定其数值，它等于1。这意思是，可以对速度v [0， c ] 进行归一化 (normalization)，即可以认为v[0，1]。在狭义相对论的各种变换中，你看到的都是变量，速度是归一了的，汉语意义上的归一。此外，笔者还注意到光速还不是矢量(参见拙著《黑体辐射》)。这里又是一个光速不能是矢量的理由。如果v/c有意义，其中速度v是矢量(或曰四元数的虚部)。一般狭义相对论表述中，v/c中的v看似是个标量是因为只考虑了单一方向的变换, 或许也是为了就合光速不是矢量的事实。光速c不能是矢量，因为代数学告诉我们两矢量(四元数的虚部)之商，比如这里的v/c，没有意义。光速c如果是矢量，它也就不能作为上限，并作为标杆式的unit。俄罗斯数学家曼宁(Ю́рий Ива́нович Ма́нин, 1937-2023) 说 “为什么光速c=1? 因为它就等于1！” 我猜测他的意思是各位还是要自己悟得其中道理才好。光速c不光是个常数的问题，从技术层面上说它是个整数299279458 m/s，从物理思想上说，是速率的单位。当确定了时间的单位后，光速和时间单位一起确定长度的单位。

在前述的普朗克谱分布公式(2.9)中，常数h被称为普朗克常数。在很多的量子场论书里，都会同时记c=1，h=1, 理由是为了简洁，这就显得不懂物理了。之所以可以记c=1，h=1，那是因为这样做物理上是有道理的—写法简洁可不是理由。与c=1的理由不同，h=1是作为基本电荷e意义上的单位，是unit。黎曼 (Bernhard Riemann, 1826-1866) 在其1854年的论文Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (论作为几何学基础的假设)中指出，几何有最小部分Quantel, 其具体意义笔者不敢妄加揣度。1900年，普朗克为了用统计的方法获得黑体辐射谱分布公式，引入了光能量单位的假设， , 这里的h只是一个方便的比例系数。等到了1913年，为了解释氢原子谱线，玻尔引入了电子轨道运动的量子化条件，后来被人写成如下形式

, (2.12)

其中的h便有了物理量单位的意思了，具体地说，是角动量的单位。然而，注意在公式中h按照其量纲是被理解为作用量的，因此当它被理解为物理量单元时，它被称为作用量量子(Wirkungsquantum)。这个词1906年普朗克就用了，但何时第一次出现在文献中的，笔者未能细加考证。1924年，印度人玻色(Satyendra Nath Bose, 1894-1974)假设三维物理空间对应的相空间的单元区域为 ( 玻色不是第一个这么干的)。基于这个简单的假设，玻色把黑体辐射又当作‘普通’气体分子用统计力学处理，轻松得到了谱分布的普朗克公式。接下来有了玻色-爱因斯坦统计。这样，普朗克常数这个量子力学标签就有了物理量单位的意义。

虽然电子电荷、光速和普朗克常数某种意义上都被写成1，然而却又各有很多微妙处。c=1是上限、是标准 (norm), 而h=1是作为基本电荷e意义上的单位，是unit。然而，h作为单自由度相空间的量子，相空间体积只能是它的整数倍，但是作为自旋角动量的单元 ( , 因子2π有历史的原因)，却存在的半整数倍自旋的可能，比如电子是自旋1/2的粒子, 一些重子的自旋为3/2。自旋出现半整数，电荷有个基本单位的，这到底意味着什么，笔者没能理解其间的关窍，不敢妄议。

顺带说一句，无论是采用所谓的原子单位(atomic units) 9) , c=1，h=1, e=1还是采用c=299792485 m/s，h=6.62607015×10 -34 J·s，e=1.602176634×10 -19 C，这样的国际单位制单位，都不影响，因为它是精细结构常数 (fine-structure constant)

(2.13)

此常数由索末菲(Arnold Sommerfeld, 1868-1951)在1916年引入[Zur Quantentheorie der Spektrallinien(谱线的量子理论), Annalen der Physik, Series 4，51 (17), 1-94; 125-167(1916)]，索末菲铜像上的表达式是。单位制的乱用很闹心，所以你要记住，大自然的规律和常数总是不变的。如果你理解了规律不应该依赖于参照框架和坐标系，就可以学相对论和规范场论了。

基本物理单位

量子化的存在作为单位，比如用电子电荷e作为基本电荷单位，其它粒子所带的电荷是它的整数倍，比如氦原子核的电荷是+2e (想起夸克的电荷为，这句话好象不对了)。还有一种量子化的但是不那么严格的质量单位，就是以质子质量作为质量单位，认定中子质量与质子质量同 (虽然实际上略大一丁丁点儿)，这样原子或者原子核质量就可以用质子质量为单位，用一个整数表示。所谓的用 12 C 同位素原子质量的1/12作为质量单位，把原子质量表示成精确的小数，看似仿佛考虑了中子-质子的质量差以及因原子核结合能不同所造成的微小质量差异，其实于事无补。与此相对，对于连续的存在，光选定一个单位是不够的，比如绝对温度，只选定K作为其单位是不够的，你必须提供绝对温标 (absolute temperature scale), 比如依赖黑体辐射的维恩挪移 10) 定律， ; 或者，b=2898 μm·K ，从而将绝对温度的标度同谱分布峰的波长或者频率(时间)联系起来。

物理量众多纷杂，但可以一些物理量的单位作为基本单位，其它物理量的单位可以由基本单位导出。比如，举起重物所做的功，等于重量乘上高度的改变量，重量等于质量乘上重力加速度，这样功的单位就可以从质量、长度和时间的单位导出。物理量基本单位的选取，如同线性空间基的选取，关键是看其相互间的独立性以及作为整体是否是完备的。当前的物理学，其采用的国际单位制选定了7种基本单位, 分别为长度、时间、质量、温度、电流、物质的量(mole)和照度(luminous intensity)，而单位值的确定又是基于7个定义的常数，为铯原子的一个超精细分裂对应跃迁的频率(Cesium hyperfine splitting frequency)、真空光速c、普朗克常数h，基本电荷e，玻尔兹曼常数kB，阿伏伽德罗常数NA和一个特定频率(540×10 12 Hz)单色光源的照明效率(luminous efficacy)。万有引力常数G不在此列。但是，笔者想多说一句，基本单位的选择，技术便利与测量语境固然重要，但也应该考虑物理学结构。从物理学自身的结构去选择基本单位更有必要。基本单位确定了，许多物理量就有了可参照的不依赖于physical artifacts 11) 的标准。比如电阻标准基于电阻量子，而电压标准基于约瑟夫森效应，即加于约瑟夫森结上的电压V会引起频率为f=2eV/h的振荡电流, 此处的2 e/h~484 GHz/mV 。因为有约瑟夫森效应，通过频率测量可以实现电压的精确测量。把某个量的测量归结于计数(counting)可以提升其精度与准确度(precision and accuracy)。

对于物理学常数以及赖以定义或者确定数值的物理常数，可以这样来理解。首先是时间。存在是变化着的，我们引入了一个标量来表示时间 (到底是用实数、虚数还是双四元数，取决于我们用什么样的数学在讨论时空概念)，记为t。时间的度量以对事件计数的方式进行，比如行星绕吸引中心的转动、摆的来回摆动等。现在的时间标准采用 133Cs 原子在基态 2 S 1/2 的超精细能级F=4, M=0 与F=3, M=0之间跃迁对应谱线的频率，定义此谱线的频率为9192631770 Hz, 或者说此谱线之电磁场的9192631770次振荡所需的时间间隔为1 s。

空间是物理的舞台。物理学第零定律断言我们的物理世界是个三维空间。谈论空间，会涉及位置、位移和距离等概念，度量空间用长度。长度的单位为米。基于光速和时间标准可得长度标准。光速是速度上限，光速可为任意一个单位为m/s的数值, 当前定义的光速值为299792458 m/s，是一个整数！这样，所谓的1米，就是光在时间间隔1/299792458 s内所越过的距离。

质量、电荷以及自旋是粒子的基本标签。质量同引力有关，而电荷与电磁相互作用有关。宏观物体表现出引力，还有放电、电流等现象，故为质量和电选择独立的单位是合理的。如今的质量标准单位为kg，有了米和秒的定义，就定义为让普朗克常数 J·s 成立的那个质量单位。电子是物质多方面性质的定义者。电子作为带电物质粒子是1897年才被发现的。电子的存在，至少从人所处的宏观层面而言，是足够基本的，可作为单位存在看待。电子所带的电荷本身就可以作为电荷单位。之所以将电流 (安培)作为基本单位，是因为电流的精确测量在电子被发现以前就有。电流单位1安培对应1库仑/秒，这和基本电荷e的带电量为库仑是一致的。也许，选择基本电荷e为电荷的基本单位更合理一些。

温度是统计量，描述平衡态系统的统计性质。温度的单位为K，其绝对温标以黑体辐射的普朗克公式为基础，用黑体辐射的谱分布曲线来定。绝对温标的一个重要参照点是水的三相点为273.16 K。绝对温度和玻尔兹曼常数kB有关，借助玻尔兹曼常数同能量相联系。玻尔兹曼常数1901年由普朗克引入，kB=1.380649×10 -23 J·K -1 ，即1 K 对应1.380649×10-23 J。另有一个在固体物理中常用的对应关系为1 eV对应 11600 K。由少数粒子构成的体系，是无所谓温度的，但社会上常常用温度单位而非eV来谈论粒子的能量，就是看中了11600这个因子吸引眼球的价值。价值当前眼里还有科学的人，才是科学家。

至于物质的量(amount of substance)，以及与其相关的阿伏伽德罗常数NA，那应该是关于原子(分子)计数的一个量。另一个基本量发光强度(luminous intensity)，其单位为cd (candela,拉丁语蜡烛), 度量光源在单位立体角内发射的能力。一只普通蜡烛的照度就大约是1 cd。另有单位lm来自lumens，汉译取音译流明，1 cd·sr=1 lm 。定义540×10 12 Hz的单色光源的照明效率为683 lm·W -1 。一个在波长λ上发光功率(单位W) 为 I e (λ)的光源，其照度为Il(λ)=683 lm·W -1 ·y(λ)· Ie(λ), 这里的y(λ)是一个需要用人眼敏感度的模型得来的权重函数(photopic luminosity function)。对于把物质的量和照度作为基本量，尤其是后者，笔者不理解，此处不论。

单位圆上( “请到原著中找我哦！” )

单位元素两例

顺便说两例单位元素。用一个单一的几何单元无缝地充满整个空间，是空间的铺排(tessellation)问题。铺排问题是一门高度艺术性的科学(图 2.5)。给定了空间，设计出什么样的几何单元(unit，三维情形会使用unit cell的说法加以强调) 才能做到无缝地充满空间，是个不易回答的问题。比如，正五边形作为单元不能无缝地铺满整个平面，所以你见不到正五边形的地砖。退一步，可以问什么样的五边形能铺满整个平面？目前这个问题已经发现了14种解，但这些解及其发现之间有什么关联，笔者不知道。铺排花样的研究在几何学、晶体学、建筑等领域中都是显学。如果给几何单元的顶点加上平移对称性的要求，每个顶点安上一个原子或者分子，这就是晶体结构问题，是固体物理学的基础。

图2.5. 铺排：用几何单元无缝地充满整个空间

群一定有单位元素(identity element)。虽然英文identity的词源是idem(相同的)，但我们在汉语中把它称为单位元素，加之单位元素e确实和1有关，那就捎带着说说吧。有限群，即有限数目的元素所构成的群，其研究中遇到的问题难度终归是有限的。有一天我们会遇到连续群，群元素是连续流形上的函数，如果顺着有限群的方法去研究，就会遭遇无穷多元素带来的问题。所幸的是，连续群的单位元素对应参数流形的原点。如果连续群可以转换为无穷小变换，那是李群(Lie group)。关于李群的表示，只需要单位元素对应的参数流形原点之邻域内的无穷小变换。单位元素和1对应，原点和0对应，1和0通过指数函数相联系，，你就能明白李群表示中为什么有形式

, (2.20)

了，其中X称为生成元。生成元的对易关系为李代数，它决定了李群的乘法性质。李群可以由一组生成元产生。物理上关于基本相互作用的研究就会用到U(1), SU(2), SU(3)群的知识，特别是其李代数的表示。

多余的话

宇宙本没有单位。为了人类认识自然的方便，也便有了单位。

测量，就与单位比对而言，测量的结果只能是整数。一个物理量的单位量，算术上表示为1 (Unit is expressed arithmetically by unity)。物理量自然的unit为其量子。使用恰当的单位量让物理表述显得简单。

单位的选择，是科学的大事儿，也是社会生活里的大事。在某些场合，使用错误单位是灾难性的。难以想象何至于面积成了房子在交易中使用的单位。采用这个错误的单位，使得房屋垂直方向上的尺度遭到了丧心病狂式的压缩。这个z-方向上缩减所带来的压抑感，特别是对于身高大幅提升了的少年们的压抑，是我们社会的一大难言之痛。

最后，笔者用开尔文爵士1883年关于Electrical units of measurement (测量的电学单位)演讲中的一段来结束本章，原文照录：In physical science a first essential step in the direction of learning any subject, is to find principles of numerical reckoning, and methods for practicably measuring, some quality connected with it. I often say that when you can measure what you are speaking about, and express it in numbers, you know something about it; but when you cannot measure it , when you cannot express it in numbers, your knowledge is of a meagre and unsatisfactory kind: it may be the beginning of knowledge but you have scarcely , in your thoughts , advanced to the stage of science, whatever the matter may be (学习自然科学之任何学科最基本的一步，是找出数值推算的原理、可操作测量的方法以及与之关联的一些品质。我常说，对于你谈论的对象若你能测量之，用数值表示之，你算是知晓一二了；若你不能测量之，不能用数值表示之，你的知识得算是贫乏的、不令人满意的那种：这可能是知识的初步，但是不管咋样，你在思想上尚未到达科学的层面)。

仔细玩味开尔文爵士的这段话，回过头去再思考一下单位、单位制、参照点、标度等内容，或许有助于我们更深刻地理解物理学的那些品质。

1) 人是万物的尺度。Of all things man is the measure —Protagoras.

2) 量没有单位，如同水没有湿意。

3) 懂得这个道理，可以认为“一法度衡石丈尺”可以断句为“一法度衡、石、丈尺”，将法理解为标准，度为动词，而衡、石、丈尺分别为重量、体积和长度，即可翻译为 One unique system for the measurement of weight, volume and length。

4) 圆是一个一维几何体，无须把它描述为一个圆盘的边界。圆也没有圆心。

5) 数字技术， digital technology, 来源于掰脚趾头数数。

6) 我们生活在二维曲面上，其局域几何是二维平面。我们分割一个事物可以映射为分割一个圆。

7) 钟点， the moment when the bell rings.

8) Dimension，就是 division, 汉译成了维度、尺度、量纲、规格等不同词儿，各有偏颇。

9) 有文献把原子单位制写成，不可取。即便把当作单位，值为1，它们的量纲也不同，这个等号的写法会误导人的。

10) Wienscher Verschiebungsgesetz, Wien’s displacement law, 一般译为维恩位移定律。这个定律蕴含的内容可远多于黑体辐射谱峰位的移动。参阅拙著《黑体辐射》

11) 实在不知道如何表述 physical artifacts，就粗略地看成是 “多余之举”吧。