《科技群星闪耀时：15个创新传奇》，这是计算科学、物理学和数学领域的著名学者沃尔夫拉姆为数学、物理学和计算科学史上的“群星”所写的传记。
作者从他与理查德·费曼的回忆到与乔布斯的碰撞，从图灵的工作如何释放几代人的创新力，讲到艾达·洛夫莱斯在计算史上的真正影响，将读者带入思想家和创造者们的思想和生活，并将书中故事与自己的兴趣、见解和经历结合在一起，以独到眼光透过历史审视了伟大思想背后的动力，解读科学发展、创新的规律，以及后世能汲取的启发。
本文节选他对于莱布尼茨的认识的故事。
《科技群星闪耀时：15个创新传奇》
作者：[美]斯蒂芬·沃尔弗拉姆（Stephen Wolfram）
译者：应俊耀 蔚怡
多年来，我一直对戈特弗里德·莱布尼茨充满好奇，尤其是因为他似乎想构建类似于 Mathematica 和 Wolfram|Alpha 的东西，也许还想构建《一种新科学》中的思想概念，尽管他比我早了三个世纪。因此，当我最近去德国旅行时，我为能够参观他在汉诺威的档案馆而激动不已。
翻阅着他那几页已经泛黄（但仍然结实，足以让我触摸）的笔记，我感到了某种联系，因为我试图想象他在写这些笔记时的想法，并试图将我在笔记中看到的内容与三个多世纪后我们现在所知道的东西联系在一起：
有些东西，尤其是数学方面的，是永恒的。比如莱布尼茨在这里写下了 √2的无穷级数（原文为拉丁文）：
这是莱布尼茨在尝试计算一个连分数，尽管他已经把算式写了出来（ Π 是他早期版本的等号），但他还是算错了：
这里还有一个关于微积分的小结，几乎可以写进现代教科书中：
但其他方面还有些什么呢？他的作品和思想更为宏观的图景又是什么呢？
我一直觉得莱布尼茨是一个有点令人困惑的人物。他在哲学、数学、神学、法律、物理、历史等迥然不同的领域做了许多看似毫不相干的事情。
他用我们现在看来有些奇怪的 17 世纪术语来描述他所做的事情。但随着我了解得越来越多，我对莱布尼茨这个人也更加有好感，我意识到，在他所做的很多事情的背后，有一个核心的思想方向，这个方向与我所追随的现代计算方向奇妙地相近。
戈特弗里德·莱布尼茨于 1646 年（伽利略去世的四年后，也是牛顿出生的三年后）出生在今天的德国莱比锡。他的父亲是一位哲学教授，他母亲的家族从事图书贸易。莱布尼茨的父亲在莱布尼茨 6 岁的时候就去世了，考虑到莱布尼茨的年龄如此之小，在经过长达两年的审议后，他被允许进入父亲的图书馆，开始阅读各种藏书。他在 15岁时进入当地的大学学习哲学和法律，并在 20 岁时获得了两个学位。
早在少年时期，莱布尼茨似乎就对知识的系统化和形式化很感兴趣。长期以来，人们一直有一种模糊的想法，比如在 14 世纪拉蒙·柳利（Ramon Llull）的半神秘主义著作《伟大的技艺》（Ars Magna）一书中，人们或许能够建立某种普适性的体系，在这种体系中，所有的知识都可以由一个合适的（如笛卡儿所说的）“人类思想字母表”中所提取的符号组合而得到。莱布尼茨在他的哲学毕业论文中就试图追寻这一想法。他用一些基本的组合学来计算可能性。他谈到要把思想分解成简单的组成部分，在这些组成部分上可以运行“发明逻辑”为了增强说服力，他还加入了一个论证，意图证明上帝的存在。
正如莱布尼茨自己晚年所说，这篇 20 岁时写就的论文从许多方面来看都是幼稚的。但我认为，它开始决定莱布尼茨一生对各种事物的思考方式。因此，举例来说，莱布尼茨关于“令人困惑的法律案件”的法学毕业论文，全部都是关于如何通过将这些案件还原为逻辑学和组合学来解决它们的。
莱布尼茨本来有望成为一名教授，但他却决定开始为各种宫廷和政坛统治者担任顾问。他为他们所做的工作中，有些是学术研究，追踪错综复杂但政治上很重要的家谱和历史；有些则是组织和系统化，如法典、图书馆等；有些是实用的工程，比如试图找到更好的方法来防止银矿进水；还有一些，特别是在早些年，是为政治策略提供“有依据的”学术支持。
1672 年的一次活动让莱布尼茨在法国巴黎待了四年，在此期间，他与知识界的许多领军人物进行了交流。在此之前，莱布尼茨的数学知识是相当基础的。但在巴黎，他有机会学习所有最新的思想和方法。
例如，他找到了克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens），在他成功通过求三角形数倒数之和的测试之后，惠更斯同意教他数学。
多年来，莱布尼茨不断完善自己关于知识系统化和形式化的想法，构想出了一个完整的知识体系结构，用现代术语来说，就是如何将知识计算化。他认为第一步是发展一种符号学（ars characteristica），即一种为事物赋予符号或象征性表征的方法，实际上是创造一种统一的“思想字母表”。然后，他想象通过这种统一的表征，就有可能“通过演算找到任何领域的理性真理……就像在算术或代数中一样”，这与我们现在对计算的了解有着惊人的相似之处。
他用各种雄心勃勃的名称谈论自己的想法，如 scientia generalis（“知识通法”）、lingua philosophica（“哲学语言”）、mathematiqueuniverselle（“通用数学”）、characteristica universalis（“通用系统”）和 calculus ratiocinator（“思想演算法”）。他设想这些应用最终将会遍及科学、法律、医学、工程学、神学等各个领域。其中有一个领域他很快就取得了明显的成功，那就是数学。
在我看来，在数学史上，很少有人将符号视为核心问题，这是很值得注意的。这开始于 19 世纪后期由戈特洛布·弗雷格（GottlobFrege）和朱塞佩·佩亚诺（Giuseppe Peano）等人所做的现代数理逻辑的工作。最近，我在创建 Mathematica 和 Wolfram 语言的过程中也遇到了这个问题。这种情况也发生在三个世纪前的莱布尼茨身上。据我推测，莱布尼茨在数学上的成功，很大程度上要归功于他在符号学上所做的努力，以及符号学所带来的对数学结构和过程的清晰推理。
当你阅读莱布尼茨的论文时，你会发现他的符号及其发展非常有趣。许多东西看起来相当现代，虽然也有一些迷人的 17 世纪的痕迹，比如偶尔使用炼金术或行星符号来表示代数变量：
用Π 代替等号，并略显俗套地把这个符号当成一个天平，把某一边的“腿”写得稍长以表示小于（“ < ”) 或大于（“ > ”）：
尽管不方便录入和排版，但用上划线来表示合并同类项，可以说是一个比括号更好的主意：
今天，我们会用上划线来表示根。但是莱布尼茨想在积分里也使用这个符号，并配以漂亮的“带着小尾巴的 d ”。这让我想起我们在 Mathematica 中使用双线体“微分 d ”来表示积分。
特别是在解方程的时候，经常会用到 ± ，但这常常使分组过程十分混乱，比如说 a±b±c。莱布尼茨似乎也遇到了类似的麻烦，但他发明了一种符号来处理这个问题，这种符号即便在今天也实在值得一用：
尽管这些上波浪线看起来相当漂亮，但我不确定莱布尼茨的某些符号是什么意思：
就像这些带小点的东西一样：
或者是这个看起来很有趣的图解形式：
当然，莱布尼茨最著名的符号是他的积分符号（用长“s”代表“summa”，即求和）以及 d ，在下页上图这张纸的空白处，这些符号首次被总结出来，日期是1675年11月11日（事后“1675”里的“5”被改成了“3”，也许是莱布尼茨改的）：
我发现一个有趣的现象，尽管莱布尼茨为“计算”运算发明了很多符号，但他显然没有为逻辑运算发明类似的符号，“或”只是拉丁文的 vel，“与”是 et，等等。而当他想到量词（现代的∀ 和 ∃）时，他只是用拉丁文缩写 U.A. 和 P.A. 来表示它们：
在思想史上，直到 20 世纪 30 年代才出现通用计算的概念，这一直让我感到很反常。我常常在想，在莱布尼茨的著作中是否潜藏着通用计算的早期版本，甚至可能有我们现在可以解释为类似图灵机系统的图表。但随着对莱布尼茨的了解越来越深入，我越发清楚为什么情况可能并非如此。
我猜想，其中很大一部分原因是，他对离散系统不够重视。他把组合学的结果称为“不证自明”，大概是因为他认为这些结果可以用算术等方法直接验证。他认为只有“几何”数学或连续数学才需要微积分。在描述曲线的性质时，莱布尼茨提出了类似连续函数的东西，但他似乎从未将函数的概念应用于离散数学中。如若他这么做了，那么结果就有可能会引导他去思考用通用元素构建函数。
莱布尼茨认识到他的无穷小微积分的成功，并热衷于为其他事物提出类似的“微积分学”。在与通用计算的另一次“擦肩而过”中，莱布尼茨提出了用数对逻辑属性进行编码的想法。他想过把事物的每一个可能的属性与不同的质数联系起来，然后用质数的乘积来描述事物的属性，再用算术运算来表示逻辑推理。但他只考虑了静态属性，而没有想到像哥德尔配数那样的概念，即运算也可以用数进行编码。
不过，尽管莱布尼茨没有提出通用计算的概念，但他确实明白计算在某种意义上是机械的。事实上，他似乎很早就下定决心，要制造一台真正的机械式计算器来进行算术运算。也许部分原因是他想自己使用（构建一项技术总是一个很好的理由！）。尽管他精通代数等知识，但在他的论文中的空白处却充满了学校水平的基础算术计算（有时还是错误的），这些计算现在都被保存了下来，供后人参考：
在莱布尼茨的时代，有一些零星的机械式计算器制造实例。当他在巴黎时，莱布尼茨无疑看到了布莱瑟·帕斯卡（Blaise Pascal）在 1642 年制造的加法计算器。但莱布尼茨决心制造一种“通用”计算器，首次用一台机器完成基本的四则运算。他还想为计算器设计一个简单的“用户界面”，例如，将手柄旋向一边表示乘法，旋向另一边表示除法。
在莱布尼茨的论文中，有各种关于机器应该如何工作的图表：
莱布尼茨想象他的计算器会有很大的实用价值，事实上，他似乎还希望能把计算器做成一门成功的生意。但实际上，莱布尼茨很难让计算器可靠地工作。因为和当时的其他机械式计算器一样，它基本上就是一个美化了的里程表。就像近 200 年后查尔斯·巴贝奇的机器一样，当发生一连串的进位时，要让许多轮子同时运动，这在机械上很难实现。
莱布尼茨最初制作了一个木制的机器原型，原本只打算处理三位数或四位数。但当他在 1673 年访问伦敦期间向罗伯特·胡克（RobertHooke）等人演示时，效果不太好。不过，他一直认为自己已经弄清了一切，例如，他在 1679 年用法语写下了“算术机的最后修正”：
然而，1682 年的笔记表明，问题还不止于此：
但莱布尼茨根据自己的笔记起草了设计图，并与一名工程师签订了合同，让他制作一个有更多数位的黄铜版本：
莱布尼茨为这台机器所做的“宣传材料”看起来也很有趣：
还有部分“手册”（以365×24作为“工作实例”）:
配有详细的使用示意图：
尽管如此，计算器的问题依然存在。事实上，40 多年来，莱布尼茨一直在不断改进他的计算器，可能总共为此花费了 100 多万美元（按今天的货币计算）。
那么，这个实体的计算器怎么样了呢？当我参观莱布尼茨的档案馆时，我不得不问。“好吧，”主人说，“我们可以带你看看。”莱布尼茨的计算器跟一排排盒子一起，被放置在一个玻璃保险柜里，它看上去跟新的一样。
在我的镜头下，古老与现代被奇妙地并排陈列在了一起：
所有的零件一应俱全，包括一个方便的木制手提箱。手提箱配有一根摇柄。如果操作得当，只需摇动几分钟，就能完成任何基本的算术运算：
莱布尼茨显然将他的计算器看作一个实用的项目。但他仍想对其进行推广，例如，他试图建立一种通用的“逻辑”来描述机械连杆的几何形状。而且他还思考了数与算术的本质。他对二进制数尤其感兴趣。
几个世纪以来，除十进制以外的进制一直被用于娱乐数学。但莱布尼茨认为二进制具有特殊的意义，也许是连接哲学、神学和数学的重要桥梁。他从去过中国的传教士那里听说了《易经》，意识到二进制数是《易经》的核心思想，并认为它在精神上与他的普遍性特征（characteristica universalis）有关，这让他倍受鼓舞。莱布尼茨发现，根据二进制来制造计算器是可能的。但他似乎认为，只有十进制才是真正有用的。
读莱布尼茨写的关于二进制数的文章，感觉很奇怪。其中有些内容清晰而实用，而且看起来非常现代。但有些内容却有着非常明显的 17 世纪风格，比如说二进制如何证明万物可以从无到有，1 被用来代表上帝，0 被用来代表虚无。
在莱布尼茨之后的几个世纪里，几乎没有人用二进制做过任何事情。事实上，这个情况一直延续到最近几十年数字计算的兴起。因此，当人们看到莱布尼茨的论文时，他的二进制计算可能是最“超越他的时代”的：
从某种意义上来说，莱布尼茨的二进制是在寻求最简单的底层结构。毫无疑问，当他谈到他所谓的“单子”（monad）时，他也是在做类似的事情。不得不说，我从未真正理解过单子。通常，当我觉得自己差不多理解了的时候，就会有一些关于灵魂的提法让我完全搞不懂。
然而，我总觉得莱布尼茨似乎得出了这样的结论，即“所有可能的世界中最佳的世界”是“在最少的原则下拥有最多种类的现象”的那一个，这一点很吸引人。事实上，在我撰写《一种新科学》的前期工作中，当我在 1981 年第一次开始构想和研究一维元胞自动机时，我曾考虑将它们命名为“polymone”，但在最后一刻，当我再次对单子感到困惑时，我又打消了这个念头。
莱布尼茨和他的论文一直都被包裹着一层神秘的色彩。也许是妄想症作祟，库尔特·哥德尔似乎深信莱布尼茨发现了被压抑了几个世纪的伟大真理。不过，虽然莱布尼茨的论文在他死后确实被封存了起来，但那是由于他研究的话题是历史和家谱，而且这些研究还可能涉及国家机密。
莱布尼茨的论文早已解封，在三个世纪之后，人们可能会认为这些论文的方方面面都会得到很好的研究。但事实是，即使过了这么长时间，也没有人真正详细研究过他所有的论文。这并不是因为论文数量太多，它们总共只有大约 20 万页，也许可以摆满十几个书架（只比我个人 20 世纪 80 年代的文件多一点）。但问题在于资料的多样性，它们不仅主题繁多，还有大量重复的草稿、笔记和信件，人们搞不清它们之间的关系。
莱布尼茨的档案中包含大量令人费解的文件。有尺寸巨大的文件：
有十分迷你的文件（随着年龄的增长和近视的加重，莱布尼茨的字越写越小）：
档案中的大多数文件看起来都非常严肃和认真。不过，尽管莱布尼茨时代的纸张价格昂贵，人们还是会偶尔发现为后人保留下来的涂鸦 [ 那会是斯宾诺莎（Spinoza）吗？] ：
莱布尼茨与数百位人士有邮件往来，有名人，也有不知名人士，遍布欧洲各地。因此，在 300 年后的今天，人们可以在他的档案中找到雅各布·伯努利等人的“随手书信”：
莱布尼茨长什么样呢？下图是他的官方肖像，以及没有戴超大假发的样子（这个样子即使在他那个时代也被人嘲笑），他戴假发大概是为了遮住头上的一个大囊肿。
莱布尼茨为人彬彬有礼，脾气平和。在某些方面，他可能会给人一种书呆子的感觉，对各种话题都有深入的阐述。就像他在信中所做的那样，他似乎煞费苦心地去迎合与他交谈的人，比如在与神学家交谈时强调神学，等等。和他那个时代的许多知识分子一样，莱布尼茨从未结过婚，不过他似乎很受宫廷女性的青睐。
在他的侍臣生涯中，莱布尼茨热衷于往上爬升。但由于不喜欢打猎和饮酒，他一直无法真正融入他为之效力的统治者的核心圈。莱布尼茨晚年时，当汉诺威的乔治一世成为英国国王时，莱布尼茨本可以很自然地加入他的宫廷。但莱布尼茨被告知，在他离开德国前往英国之前，他必须撰写完一份应该已经研究了 30 年的所谓的历史文稿。如果他能在死前完成这项工作，他很可能会去英国，并与牛顿进行一种别开生面的交流。
莱布尼茨的遗物里有很多文件，也有他的机械式计算器，还有一样东西——一把他旅行时随身携带的折叠椅，他把它挂在车厢里，这样他就可以在旅行中继续写作。
莱布尼茨非常注重自己的地位（他经常自称“戈特弗里德·冯·莱布尼茨”，尽管没有人知道“冯”的由来）。为了彰显自己的发现，他想制作一枚纪念二进制数的奖章。他想出了一个详细的设计方案，并加上了一句标语：omnibus ex nihilo ducendis；sufficit unum（“一切皆可从无到有，所需的只有 1”）。但是，没有人为他制作过这枚奖章。
2007 年，我想为我的朋友格雷格·柴廷（Greg Chaitin）准备一份 60 岁生日礼物，他一直是莱布尼茨的忠实粉丝。所以我想：为何不真正制作一枚莱布尼茨的奖章呢？于是我们说做就做。不过在背面，我们没有采用莱布尼茨提议的公爵图片，而是用拉丁文题刻上了格雷格的作品。
当我参观莱布尼茨档案馆时，我带上了一枚奖章的复制品，这样我终于可以把一枚真正的奖章放在莱布尼茨的设计旁边了：
如果能知道莱布尼茨在他的墓碑上写了什么精辟的声明，那将是一件很有趣的事情。但事实上，当莱布尼茨以 70 岁高龄去世时，他正处于政治命运的低谷，因此也没有人为他精心修建纪念碑。不过，当我在汉诺威的时候，我还是很想看看他的坟墓，结果发现墓碑上只有一串简单的拉丁文碑文“莱布尼茨埋骨处”。
然而，在城市的另一边，还有一家纪念莱布尼茨的商店，一家直营店里的饼干被冠以莱布尼茨的名字，以表示对他的敬意。
那么，我们最终应该如何看待莱布尼茨呢？如果历史以不同的方式发展，那么从莱布尼茨开始可能会直达现代计算。但现在的情况是，莱布尼茨试图做的很多事情都是孤立的，人们主要是以现代计算思维回溯到 17 世纪来进行理解。
根据我们现在所知道的，莱布尼茨理解了什么，不理解什么，是很清楚的。他掌握了为各种不同的事物提供形式化、符号化表征的概念。他怀疑，可能存在一些通用的元素（甚至可能只有 0 和 1），这些表征可以从这些元素中构建出来。他还明白，从知识的形式化符号表征出发，应该可以用机械的方法计算出知识的结果，也许还可以通过枚举可能性来创造新知识。
莱布尼茨所写的一些东西是抽象和哲学的，有时甚至是让人抓狂的。但从某种程度上来说，莱布尼茨也是相当务实的。而且他具备足够的技术实力，经常能够取得实质性的进展。他的典型方法似乎是，首先尝试创建一种形式结构来阐明事物，如果可能的话，就使用形式符号。之后，他的目标是创造某种“演算法”，从而系统地得出结论。
实际上，他只在一个特定的领域取得了真正的成功：连续的“几何”数学。遗憾的是，他从未在离散数学领域进行过更认真的尝试，因为我认为他可能已经取得了进展，甚至有可能已经提出了通用计算的概念。他很可能也会以我在计算宇宙中所做的那种方式，开始枚举可能的系统。
在法律领域，他确实尝试过自己的方法。但在这方面，他确实做得太早了，直到 300 年后的现在，计算法学才开始变得现实。莱布尼茨也曾尝试思考物理学。不过，虽然他在一些具体概念（如动能）上取得了进展，但他从未成功地提出过任何一种大规模的“世界体系”，就像牛顿在他的《自然哲学的数学原理》中所做的那样。
在某些方面，我认为莱布尼茨并没能取得更大的进展，因为他太过于追求实用，像牛顿一样试图解码真实物理学的运作，而不仅仅是研究相关的形式结构。我认为，如果莱布尼茨至少尝试过进行我在《一种新科学》中所做的基本探索，他不会遇到任何技术上的困难，科学史可能会大不相同。
我开始意识到，当牛顿赢得了与莱布尼茨在微积分发明上的公关战时，这不仅仅是荣誉的问题，更是一种科学思维方式的问题。从某种意义上说，牛顿是典型的实用主义者：他发明了工具，然后展示了如何利用这些工具来计算物理世界的实际结果。
但莱布尼茨有更广阔和更哲学的视野，他认为微积分不仅仅是一种具体的工具，更是一个示范，应该激励人们努力实现其他类型的形式化和其他类型的通用工具。
我常常认为，我所遵循的现代计算思维方式在某种程度上是显而易见的，而且在某种程度上是以形式化、结构化的方式思考问题时的必然特征。但我一直不太清楚，这种显而易见是否只是这个时代的结果，是我们关于现代实用计算机技术的经验的结果。
不过，看看莱布尼茨，我们就能得到一些视角。事实上，我们看到的是，现代计算思维的某些核心内容在现代之前很久就可能已经出现。但是，过去几个世纪的技术背景和理解力对这种思维的发展施加了明确的限制。
当然，这也给今天的我们提出了一个令人警醒的问题：由于我们不具备遥远未来的技术背景，我们在多大程度上未能实现核心计算思维方式？对我来说，研究莱布尼茨让这个问题变得更加清晰。
至少有一点似乎是相当清楚的：在莱布尼茨的一生中，他见过的计算机基本上一手可数，而它们所做的只是基本的运算。今天，世界上有数十亿台计算机，它们能做各种各样的事情。在未来，计算机的数量肯定会大大增加（计算等价性原理使得计算机的制造变得更加容易）。
毫无疑问，我们将达到这样的地步，即我们制造的每件东西都将在各个层面上明确地由计算机构成。其结果是，小到原子，一切都将是可编程的。当然，生物学在某种意义上已经有限地实现了这一点。但我们将能够完全做到这一点，无论何处。
在某种程度上，我们已经可以看到，这意味着计算过程与物理过程的某种融合。但具体如何融合，我们可能难以想象，就像莱布尼茨难以想象 Mathematica 和 Wolfram|Alpha 这样的东西一样。
莱布尼茨死于 1716 年 11 月 14 日。到 2016 年，已经过去了 300年。这将是一个很好的机会，让我们确保莱布尼茨的想法都已实现，并庆祝莱布尼茨的核心愿景在三个世纪后终于以他从未想象过的方式达成了。
上文转自图灵编辑部，节选自《科技群星闪耀时：15个创新传奇》，【遇见数学】已获转发授权。
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