探索密铺的奥秘：从平移对称到非周期单元|六边形|密铺|对称性|方向|非周期

引入

你是否曾赞叹过地板的木条怎能如此紧密地拼接在一起, 或者浴室地面的六边形瓷砖怎能如此完美地连接起来. 这些都是密铺(tiling,又译几何镶嵌)的例子, 密铺是一种或几种形状的排列, 它们紧密地拼接在一起以填充空间. 二维密铺非常受欢迎, 我们可以在大教堂和清真寺中的马赛克艺术中欣赏到它们的美, 也可以在墙壁和地板上发现他们的作用.

在数学中, 密铺通常因为其规则的模式而受到欣赏. 但数学家们同样也会从不规则中发现美. 正是这种美感, 吸引了一位退休的印刷技师, 他发现了首个“非周期单元”——一种能够以非重复模式铺满平面的单一瓷砖.[1] 为了理解这一重大发现, 我们从一个简单的问题开始：如何密铺一条直线.

平移对称密铺

假设我们用于密铺直线的瓷砖是一些可以连在一起形成序列的字母. 如果我们能创建一串在两个方向上无限延伸的字母, 那么我们就能“密铺直线”. 例如, 假设我们有两种瓷砖, 和 , 并且有如下两条规则：

在的两侧, 你只能放 .
在的两侧, 你只能放 .

我们能用这些瓷砖和规则密铺直线吗？完全可以. 假设我们首先放一个 .

根据规则, 我们必须在它的两侧放 .

接着, 在这些的两侧, 我们必须放 , 如此继续.

根据这个规则放置瓷砖, 我们可以在两个方向上无限延续, 因此我们可以密铺直线. 事实上, 我们可以得出一个更强的结论：在当前规则下放置瓷砖, 形式(1)是密铺直线的唯一方式. 让我们看看这意味着什么.

假设我们一开始放的是 .

规则要求我们在它的两侧放 .

然后在的两侧放 , 如此继续.

这看起来像是第二种有效的直线密铺方式. 但把它与第一种方式并排比较一下.

如果我们将其中一个密铺往旁边滑动一个瓷砖, 这两种方式将完美地匹配并且一直匹配下去.

换句话说, 经过一次平移后, 这两种密铺方式是等价的. 这表明这两种密铺遵循相同的模式.

仔细观察还会发现一些更有趣的事情. 将第一种密铺复制一份：

现在, 当你将上面的密铺滑动两个瓷砖后看看会发生什么：

原始的密铺方式与自身匹配. 当一个密铺经过平移后与自身等价时, 它具有“平移对称性”. (这就像当物体的两个镜像部分可以相互反射时, 物体具有“反射对称性”一样. )

平移对称性说明一个密铺实际上只是某一个模式的不断重复. 在这个例子中, 直线的密铺可以看作是由无数个模式的平移副本组成.

这是一个简单的具有平移对称性的直线密铺例子.

在二维中, 也有许多熟悉的平面密铺满足这种性质.

在上述每种情况下, 都可以通过某种平移使整个密铺与原始密铺完全匹配.

类似直线密铺, 这些具有平移对称性的二维密铺也可以看作是一个模式的重复出现. 例如, 单个六边形在每个方向上扩展.

要在等边三角形的密铺中看到这一点, 可以想象这些三角形组合成六边形, 然后这些六边形通过平移不断重复.

三角形、六边形和正方形的平面密铺都属于“单元密铺”, 因为它们都是由无限多个相同的单一瓷砖组成的. 也有许多方法可以使用多个不同的瓷砖来进行平面密铺, 如下图所示.

更多复杂的密铺

那么密铺可以不满足平移对称性吗？当然. 让我们回到直线密铺.

对于瓷砖和 , 考虑以下新的规则：

在的两侧, 你可以放置或 .
在的两侧, 你只能放置 .

根据这个新的规则能密铺直线吗？注意到之前的密铺也符合新的规则, 显然答案是肯定的.

但新的规则有更大的灵活性, 这将生成更多的直线密铺方式.

例如, 以下两个配置在新规则下都是有效的：

这些都可以在任意方向上无限扩展.

新规则除了给我们带来许多新的直线密铺方式外, 还允许我们生成不重复的密铺. 例如, 考虑以下密铺：

这里的模式是什么？从开始, 然后在右边放一个 , 再放两个 , 接着放一个 , 然后放三个 , 再放一个 , 接着放四个 , 以此类推. 在左边, 继续添加：

这样做, 你将得到一个无法通过平移自身使整体与部分匹配的密铺.

一个简单的办法是观察这个密铺中唯一的最左边的 , 它在平移后会去哪里？如果你向左平移, 没有来匹配它. 如果你向右平移, 来自左边的也没有能与它匹配的.

因此, 新规则允许满足平移对称的密铺, 也有不满足平移对称的密铺. 在平面上密铺也类似.

例如, 我们已经看到过一个具有平移对称性的正方形密铺. 通过移动这些正方形, 我们可以打破一些平移对称性.

而使用某些瓷砖还能完全避免平移对称性. 比如, 在平面上使用的矩形瓷砖进行密铺, 可以不具有任何平移对称性.

这与使用规则六边形的单形密铺有很大不同. 在单形密铺中, 重复的结构是无法避免的. 瓷砖本身的几何形状迫使密铺具有平移对称性. 我们称这些密铺为“周期性密铺”.

相比之下, 有一些瓷砖允许重复的模式也允许不重复的模式. 这很自然的引出了一个问题：如果某些密铺不得不具有重复的结构，那么是否存在密铺能够避免这种重复？这个问题在1960年代提出, 随即数学家们展开了对“非周期性密铺”的探索.

非周期性密铺

为了探讨这个问题, 我们再次回到一维空间, 接下来讨论的直线密铺将使用一组看起来不寻常的瓷砖：

-瓷砖： , , , , …

给出这些无限多瓷砖的两条规则：

在长度为的 -瓷砖旁边, 你只能放置长度为的 -瓷砖.
在长度为的 -瓷砖旁边, 你只能放置长度为的 -瓷砖.

同样, 我们的问题是：根据新的规则能否铺满这条线？假设我们首先放置一个长度为的 -瓷砖.

规则规定, 在两侧我们只能放置长度为的 -瓷砖.

现在, 在每个旁边, 我们必须放置长度为的 -瓷砖.

接下来, 我们添加长度为的 -瓷砖.

如此继续下去, 可以看出, 我们可以在两个方向上无限延续, 这意味着我们确实可以用这些新瓷砖和规则来铺满这条直线. 值得注意的是, 这种铺法不具有平移对称性. 因为我们一开始放置的单个立刻被两侧的包围, 而得到的模式— —将不会再出现. 在这个密铺中, 每个出现的旁边至少都有一个其他 . 这意味着字符串将不会再出现, 所以不能将这种密铺平移到自身上.

无论你从哪个瓷砖开始, 这种情况都会发生. 如果开始的是 , 根据规则能得到字符串

同之前一样, 模式将不会重复. 即使你从类似开始, 也是相同的情况.

因此不管你从哪里开始, 初始瓷砖总是特定长度的唯一 -或 -瓷砖, 这将阻止任何平移对称性的出现. 这正是我们所寻找的：一组瓷砖和规则允许我们密铺直线, 但永远不会满足平移对称性.

“有限瓷砖”的非周期性密铺

你可能会对需要无限多瓷砖的非周期性密铺感到不满意, 这并非个别现象. 当数学家开始认真寻找平面上的非周期性密铺时, 他们希望找到一个有限的瓷砖集, 能够铺满平面但不具有平移对称性. 最初的解决方案使用了个瓷砖, 但几年后数学家将这个数字减少到了六个.

1970年代, 英国数学家和物理学家罗杰·彭罗斯(Roger Penrose)取得了突破, 发现了现在以他名字命名的著名二瓷砖集.彭罗斯瓷砖是一对简单的四边形, 通过一套精确的规则, 能够将平面密铺而不满足平移对称性.

现在要想进一步改进, 就只有一种可能, 找到一块瓷砖的非周期性密铺. 因此, 数学家、密铺爱好者和艺术家开始寻找一种能够独自完成任务的非周期性“单瓷砖”.

2022年11月, David Smith 找到了它. 这就是“帽子”, 已知的第一种非周期性单瓷砖.

Smith 一位业余数学家、艺术家和密铺爱好者, 他像许多数学发现那样，通过探索和观察，发现了“帽子”. 之后, Smith 与研究人员 Craig Kaplan、Chaim Goodman-Strauss 和 Joseph Samuel Myers 联系, 他们共同验证并确认了这是长久以来寻找的非周期性单瓷砖.

当然, 证明某物可以密铺整个平面但无法具有平移对称性不是一件容易的事. 他们使用的一些技术在我们的简单示例中有所显现. 例如, 证明等边三角形可以密铺整个平面的一种方法是注意到它们组合形成了较大的结构, 在这里是六边形, 而六边形是已知可以密铺整个平面的. 同样帽子瓷砖也可以组合成更大的更规则的结构, 这可以用来理解它如何密铺平面.

虽然在我们的非周期性线密铺中可能没有重复的模式, 但确实有一种模式随着向右移动而扩展. 最初你会看到 , 然后是 , 然后是 , 然后是 , 依此类推. 这是一种自相似性——一种在不同尺度上重复的模式, 有时还可以用来证明某个特定的密铺无法平移到自身, 因为这样做会扭曲长度.

通过合作, 这个团队证明了仅使用帽形砖及其镜像, 就可以在平面上进行密铺, 但无法实现平移对称. 而且, 与其他尝试的瓷砖不同, 这个方案不需要特殊的规则. 瓷砖本身的结构迫使密铺不具有周期性. 令人欣喜的是当他们深入研究几何时, 发现了更多的解决方案.帽形砖实际上是一个无限家族中的一种非周期性砖块！

寻找非周期性单砖的工作似乎已经告一段落. 但真的结束了吗？在用帽形砖进行非周期性密铺时, 你还需要它的镜像(即翻转砖块后得到的形状). 也许还有一种尚未发现的非周期性单砖, 它不需要镜像. 找到它, 你会出名. 而灵感可能就在你的脚下.

参考文献

[1] Erica Klarreich. Hobbyist Finds Math’s Elusive ‘Einstein’ Tile. https://www.quantamagazine.org/hobbyist-finds-maths-elusive-einstein-tile-20230404/.