由于电子文档以外部链接存放具有不稳定性与不可控性，为此，封面图片原始高清文件和推文中明确有PDF文档免费分享的电子文档下载请通过考研竞赛交流圈（点击打开）文件或美图分类获取。
【说明】文中公式在用手机阅读时如果显示不全，请用在公式上左右滑动显示完整公式。
线性方程组的求解通常分为直接法和迭代法. 直接法是在所有运算都精确的前提下，经过有限次运算得到方程组精确解的方法，迭代法则是按照某种规则生成一个迭代序列，使其收敛于方程组的解，在满足收玫和精度要求下一般具有较好的速度效率. 线性代数课程学习中对迭代法不做要求，一般只讨论直接法，迭代法一般属于专门的数值计算课程中的内容.
前面我们讨论了两种线性方程组求解的直接解法，一种是基于矩阵理论的高斯消元法，一种是基于行列式理论的克莱默法则. 在高斯消元法对系数矩阵，或增广矩阵实施初等变换，也就是线性方程组消元的过程中，一般会将系数矩阵，或增广矩阵转换为上三角形矩阵，这也就给出了矩阵的一种分解形式——LU 分解。
本讲的任务是首先讨论矩阵的 LU 分解，然后基于图形变换实例研究几何变换的矩阵描述原理及具体的图形变换方法.
一、矩阵的 LU 分解及其应用
矩阵的 LU 分解是一种非常重要的矩阵分解方法，它可以将一个方阵分解为一个下三角矩阵 和一个上三角矩阵 的乘积，它在数值计算和线性代数中有广泛的应用，可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式和逆矩阵等。
LU 分解本质上是高斯消元法的一种矩阵表达形式，在高斯消元法过程中将矩阵 通过初等行变换变成一个上三角矩阵时，变换过程中左乘的一系列初等矩阵的乘积得到的是一个下三角矩阵，比如，对于线性方程组
在利用高斯消元法求解时，利用行变换 可以将增广矩阵化为行阶梯形，即
此时，对于系数矩阵
而言，上述变换过程可以用初等矩阵的乘法表示为
这样最终得到了一个上三角矩阵和一个变换得到下三角矩阵
这个下三角矩阵也称为对系数矩阵的变换矩阵，显然它是可逆的，并且由初等矩阵的逆矩阵可知其逆矩阵也是下三角矩阵，并且有
用变化矩阵的逆左乘变换过程等式两端，则得
即矩阵 可以分解为一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积.
定义1设 ，若有单位下三角矩阵（即主对角线上元素均为 1 的下三角矩阵) 和上三角矩阵 ，使得 ，则称该式为 的LU 分解或Doolittle 分解.
【注】上面的引例给出了一个求一个矩阵的 LU 分解的过程.
例1求矩阵 的 LU 分解.
【解】：利用倍加变换 将 化为行阶梯形，有
由初等变换对应的初等矩阵，可得
再由得到的上三角矩阵 ，即得
对于线性方程组 ，若系数矩阵 存在 分解，即 ，则 。令 ，则可将线性方程组的求解问题转化为求解两个可以非常容易就得到解的线性方程组
例 2利用 分解求解方程组
【解】：由引例给出的过程可知系数矩阵可做 分解，并且
方程组求解转换为求解两个方程组
其中第一个方程组 为
解得
从而可得 为
解得
从这个例子的过程可以看到，因为 和 结构的特殊性，这两个线性方程组的求解非常方便. 又因只需对系数矩阵 进行 分解，且分解结果与常数项向量 无关，因此在求解具有相同系数矩阵而常数项向量不同的线性方程组时，LU 分解的方法可以提高计算和存储的效率。
【注】：(1) LU 分解主要用来提高线性方程组的求解速度，目标主要针对可逆的方阵，并且初等变换只使用倍加变换。
(2) 当矩阵 为方阵时，由于下三角矩阵 与上三角矩阵 的行列式都等于对角线元素的乘积，故由 可知，行列式 就等于 的对角线元素的乘积. 由于 主对角线上的元素都为 1，故 ，也就等于 的对角线元素的乘积。
（3）但是当 时，也可能存在 分解 ，此时 为 阶单位下三角矩阵， 为 的行阶梯形矩阵。
二、几何变换视角下的矩阵运算
随着图形、图像在日常生活中应用的逐渐深入，计算机图形学的应用领域越来越广，如仿真设计、效果图制作、动画制作、电子游戏开发、虚拟现实等. 图形的几何变换，包括图形的平移、旋转、放缩等，是计算机图形学中经常遇到的问题。这里以平面图形的几何变换为例，来探讨矩阵运算所产生的几何变换效果.
常见的几何变换有：对称变换、伸缩变换、斜切变换、投影变换 、旋转变换和平移变换.
平面上的点 通过映射： 实现对图形的几何变换，
矩阵不同产生不同的变换效果，根据图形变换中坐标的变换关系，具体对应的矩阵如下:
1、对称变换
对于平面直角坐标系中图形的对称变换常考虑的有关于两个坐标轴对称，关于直线 对称和关于原点对称. 设平面上的点坐标为 ，则相应的关于 轴对称、关于 轴对称、关于 轴对称和关于原点对称的矩阵可以取为
以下是对位于平面直角坐标系第一象限中的五角星的五个顶点实施相应变换后重新链接与原图对应的效果.
2、缩放变换
缩放变换包括水平伸缩、垂直伸缩、整体按比例缩放变换，对应的变换矩阵取为
其中 为缩放比例系数，一般取为大于 0 的正数. 变换效果如下图演示.
当 ，图形位置、形状不变，为恒等变换；当 ，点位置变化，图形放大 倍；当 ，点位置变化，图形缩小 倍；如果 ，图形产生变形，图形沿两个坐标轴非均匀比例缩放.
3、切变变换
切变变换包括水平斜切和垂直斜切，水平斜切 保持不变， 线性变化，所有平行于 的线段变换后与 乘固定角度；垂直斜切， 保持不变， 线性变化，所有平行于 的线段变换后与 乘固定角度，两者对应的变换矩阵为
变换效果如下图演示.
4、投影变换
投影变换包括投影到 轴和投影到 轴. 投影到 轴， 保持不变， 变成 0 ；投影到 轴，保持不变， 变成 0. 对应的变换矩阵取为
变换效果如下图演示.
5、旋转变换
绕原点逆时钟旋转角度 ，对应的变换与矩阵分别为
显然变换矩阵 为可逆矩阵，可以表示成有限个初等矩阵的乘积，因此旋转变换也可以表示成对称变换、伸缩变换、斜切变换这三类基本变换的复合. 下面分别是旋转 所得的旋转图形效果.
6、平移变换与几何变换的统一模型
平移变换对应的变换与矩阵分别为
为了使得变换矩阵与原始点坐标无关，可以将以上变换关系转换描述为
这样就可以引入如下的仿射变换关系
将上面提到的基本几何变挣统一起来，即
其中 为前面的基本几何变换控制参数， 为平移参数.
【注】（1）基于以上的几何变换矩阵，不仅仅可以实现基本几何图形的变换，同样可以实现图像的基本几何变换，因为图像在计算机中的显示也是以点坐标的方式显示的，只要将对应的点经过以上变换，然后将附带的颜色信息赋值给变换后的坐标即可.
(2) 通过设置 为不同的参数，还可以实现一些组合的变换效果，借助数学软件可以检验对应的实际变换效果.
练习题
1、求以下方程组系数矩阵的 LU 分解，并用 LU 分解求解线性方程组.
2、判断正误，并说明理由.
（1）几何变换都可以用映射 表示。
（2）几何变换对应的矩阵都可以用初等矩阵或者初等矩阵的复合进行表示.
3、选择题.
(1) 几何变换为：先关于水平 轴作对称变换，再关于 轴作对称变换，则对应的变换矩阵为（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
(2) 几何变换为：绕原点逆时针旋转 对应的变换矩阵为 ( ).
(A) (B)
(C) (D)
4、使用数学软件借助一个图形演示各几何变换效果.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
公众号推文内容分类及详细推文内容导航，可以点击公众号底部菜单中的“全部推文分类导航”选项，问题交流讨论请到添加配套QQ群！
课件源文件、最新推文PDF文档下载，全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，查阅配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程及各专题解析课程， 具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”获取课程链接 ，或点击本文左下角“阅读原文”直达课程或获取相关电子文档！
微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台！支持咱号请点赞分享！
热门跟贴