想知道为什么要发明和使用微积分？没有它，科技根本玩不转！|几何学|微分|微积分|数学|牛顿|莱布尼兹

微积分不仅只是数学中一种不可或缺的工具，事实上，它是现代整个科学、工程和技术发展的基础。它的诞生帮助人们解决了许多自然界的问题，并为我们提供了一种计算变化和连续现象的强大方法。

从古希腊到17世纪的数学困境

▌古代数学的局限

在古希腊时期，数学主要集中在几何学方面，当时的人们能够解决一些静态的问题，比如计算规则几何图形的面积、体积，以及证明几何定理，但对于像圆或抛物线下的区域，精确的面积计算变得非常困难。

阿基米德在他的著作中探索了这些问题，使用类似“极限”的思想，提出了“穷竭法”来近似计算曲线下的面积。尽他的工作接近了微积分的思想，但限于当时的数学方法不够完善，无法应对这些复杂的几何问题。

从那时起，数学家们就渴望找到一种方法来描述变化本身，以便更好地理解世界的运作。

▌17世纪的科学革命：对理解变化的渴望

到17世纪，随着物理学的飞速发展，尤其是伽利略和开普勒等科学家对天体运动和物体运动的深入研究，数学家们愈发意识到，急需一种新的数学工具来精确描述和计算连续变化的相关问题。

伽利略提出了关于自由落体运动的定律，指出物体在重力作用下以匀加速运动，这意味着物体的速度随时间不断变化。同样，开普勒的行星运动定律表明，行星围绕太阳的轨迹是椭圆形的，并且其速度在不同位置也是不断地变化。

这些发现为数学家们提出了巨大挑战：如何精确地描述和计算这些变化？

传统的代数与几何学主要处理静态或线性问题，而现实世界中的现象往往是动态的、非线性的，并且涉及复杂的连续变化。这正是微积分诞生的背景。

▌牛顿与莱布尼兹：微积分的双重发明

在17世纪后期，两位伟大的数学家，艾萨克·牛顿（Isaac Newton）和戈特弗里德·莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz），几乎同时但独立各自发明了微积分。虽然他们的动机和背景不同，但是共同奠定了微积分这一强大工具的理论基础。

牛顿发明微积分的动机主要是为了描述物理现象中的变化，特别是关于速度和加速度的瞬时变化问题。通过微积分，他能够精确地描述物体在力的作用下的运动，尤其是行星的运动轨迹和力的关系。牛顿意识到，运动中的物体在每一时刻的速度和加速度都是变化的，而他发明一种数学工具来描述这种连续变化，这正是微积分的核心。

莱布尼茨则从哲学和数学的角度出发，想要理解宇宙中最微小的变化。他通过研究无穷小量，提出了微积分的符号系统，这套符号正是今天使用的“dx”、“dy”、“∫”等符号。莱布尼兹的符号系统相比牛顿的几何表达法更加简洁和普适，也正是这种符号系统奠定了现代微积分的表示基础。

牛顿和莱布尼茨发明微积分的动机虽然不同，但都试图解决同一个问题：如何精确地描述和计算变化。而这，正是微积分诞生的根本原因。

▌微分和积分

微积分本质上分为两个部分：微分和积分。这两者是紧密联系的，尤其通过微积分基本定理，它们在某些情况下（连续和可微的函数）是互为反操作。微分用于计算瞬时变化率，而积分则用于累积这些变化。

微分：微分是关于瞬间变化的工具。
想象一下，当你开车时，车速表上的读数就是汽车的瞬时速度。但车速表是怎么知道此刻的速度呢？如果只是看路程表，能知道在某段时间内行驶的平均速度。微分的魔力在于，它可以通过分析一个量在无限小的时间间隔发生的变化，告诉你在这一瞬间发生了什么。
微分就是用来计算瞬间变化率的工具。它帮助我们理解速度、加速度，以及物理世界中任何不断变化的现象。比如，落叶的速度如何变化？心跳的频率如何变化？股票价格的波动如何在瞬间所做地调整？而微分可以给我们提供答案。
积分：如果微分是描述瞬间变化的工具，积分则是描述累积的工具。
它帮助我们从局部变化中，计算出整体的累积效果。举个例子，假设想知道在某段路程中，总共行驶了多远。可以通过每一瞬间的车速，累加起来得到总距离。这就是积分做的事情。
积分的本质是累积，它可以帮助我们计算曲线下的面积、物体的体积、甚至是一个复杂过程的总量。你可以想象它像是一个精密的累加器，把每一小段的变化都加在一起，形成整体的结果。