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今日小诺在某乎上看到一条热门话题：数学是从什么时候开始反直觉的？

数学，这门看似简单实则深邃的学科，从人类文明的曙光初现时便与我们相伴。从数数、测量到复杂的理论和算法，数学一直在帮助我们更好地理解世界。但你是否曾经好奇，数学是从何时开始变得反直觉的呢？

‬下面来看看网友的评论

‬不是数学系的可以不想这些事，如果是数学系的，建议转专业

‬因为可以从环的定义出发证明 而不是直接规定的负负得正

‬负数的定义来自于逆元，乘法满足交换律与结合律，所以(-a)*(-a)=(-1)*(-1)*a*a=a*a。第一步用到结合律与交换律，第二步用到逆元(-1)*x=-x(当然这还有单位律)

对数学家来说，经过很长一段时间才认识到"符号规则"以及负数、分数所服从的其他定义是不能加以"证明"的。它们是我们创造出来的，为的是保持算术基本规律的条件下使运算能够自如。能够并且必须加以证明的仅仅是，在这些定义的基础上，算术的交换律、结合律、分配律是保持不变的。甚至伟大的欧拉也曾经借助一个完全不令人信服的讨论来证明(-1)*(-1)"必须"等于+1。他说，因为它必须或是+1，或是-1，而由于(-1)＝(+1)*(-1)，所以它不能是-1。出自R.柯朗当然，也仅仅是有可能是其代表的简单逻辑难以展开

‬已知R-r=1,2πR-2πr=2π（R-r）=2π，虽然我知道答案，但是每次不算一下我自己都不信。

‬如果我们换一种说法就不反直觉了。赤道直径增加1/12000000米后，周长增加多少？[doge][doge][doge]

‬反直觉是因为赤道太大了，一米对赤道来说小得不能再小。但是想这个问题的时候会在脑海里想象一个圆环，构成圆环的两个圆有一米的距离，实际上如果按照赤道的比例，想象出来的就不是一个圆环，而只是一个圆。

‬近似于两根平行线，长度会有多大？这个是很符合直觉的。

‬会觉得这个概率低的人一般是把自己当作参照对象了，去想班级里和自己同生日的人了，那概率当然很低。

‬概率论中的例子，我那班同学从来不看书，我靠这个打赌赢了他们好几顿饭。有一个同一天生日的一顿饭，我们班40人，三组生日重复的

感觉也和结婚时间有关，一年中能结婚的时间大约就是五一国庆过年几个时间段，而后生孩子高峰期也是这几个时间段往后推九到十个月，所以生日才会重合。

‬是的。初中时候数学老师给我们统计发现38人的班级都能有两对同生日的

‬一尺之棰，日取其半，万世不竭。反过来，把每日取的那“一半”全部合起来，长度是一尺而不是无穷。应该把每次弹跳时间和每日取的长度对应，弹起次数与天数对应，弹跳总时间和总长对应。两个都对，只是你没弄清对应关系。（虽然但是，不是所有级数都收敛）

‬日取其半，每取一次的时间是固定的，常数时间×无穷次等于无穷时间；小球下落，每次下落一半距离的时间是越来越小的，趋近无穷小的时间加起来（积分起来）是有限的。

‬积分的微元分解次数是无限的，不影响它积分结果是收敛的。积分本身的作用域无限，难道值域就一定无限？显然不可能的。你这是把作用域和值域给搞混了

‬你到现在还没理解极限的本质你这大学白学了。极限实际上就是个标杆，你可以无限接近，但永远达不到。

回顾数学的发展历程，我们可以发现，数学从被确定为一种精确科学的时刻起，就开始尝试研究并利用那些违背日常直觉的概念。这些概念往往成为推进数学理论和应用的重要力量。数学的发展是一个不断进化的过程，它不断地挑战我们的直觉和认知，但也正是这种挑战，推动了数学和科学的不断进步。所以，当我们再次面对数学中的反直觉现象时，不妨以开放的心态去理解和接受它，因为这正是数学魅力的所在。

对此，各位对数学是从什么时候开始反直觉的？您‬对‬数学‬有何‬看法‬？欢迎各位朋友在评论区留言评论，别忘记了点赞关注哦！