高中数学：二次项展开公式应用举例
※.已知[a/90x-√(x/3)]^15的展开式中x^6的系数为5/3，求常数a的值。
解：展开式通式Tᵣ =C(15,r)*(a/90x)^(15-r)*[-√(x/3)]^r,
=C(15,r)*a^(15-r)*(90x)^(r-15)*(-1)^r*(x/3)^(r/2),
=C(15,r)*(-1)^r*a^(15-r)*90^(r-15)*(1/3)^(r/2)*x^(3r/2-15),
=C(15,r)*(-1)^r*(a/90)^(15-r)* (1/3)^(r/2) *x^(3r/2-15),
根据题意有：
3r/2-15=6,求出r=14，代入有：
15-r=15-14=1,
C(15,r)=C(15,14)=15，
(-1)^r=(-1)^14=1，
(1/3)^(r/2)= (1/3)^7
根据系数关系有：
15*a/90*(1/3)^7=5/3,
即：a=5/3*3^7*90/15,所以a=21870.
※.若(2x^2+2/x^3)^n的展开式各系数的和为1024，则n和展开式的常数项分别是多少？
解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：
(2+2)^n=1024,
即可求出n=5.
本题展开式通式为：
Tᵣ=C(5,r)*(2x^2)^(5-r)*(2/x^3)^r
=C(5,r)*2^(5-r)*x^(2*5-2r)*2^r *x^(-3r)
=C(5,r)*2^(5-r)*2^r*x^(2*5-2r-3r)
因为求常数，所以：2*5-2r-3r=0，
即r=2，则此时的系数为：
Tᵣ=C(5,r)*2^(5-r)*2^r
=C(5, 2)*2^(5-2)*2^r=10*8*4=320.
※.求二项展开式(3x+1)⁵中偶数项的系数和。
解：根据题意，设：
(3x+1)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,
偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，
分别令x=1和x=-1，有：
(3+1)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,
(3-1)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,
两式子相加有：
2(a₁+a₃+a₅)=(3+1)⁵+(3-1)⁵,即：
2(a₁+a₃+a₅)=1024+32,
2(a₁+a₃+a₅)=1056,所以：a₁+a₃+a₅=528。
※.在(2-4x)^6*(1+21x)展开式中，x^2的系数是多少？
解：对(2-4x)^6来说，展开通项有：
Tᵣ=C(6,r)* 2^(6-r)*(-4x)^r
=C(6,r)* 2^(6-r)*(-4)^r* x^r
题意要求x^2的系数，考虑到1+21x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=2和r=1，则：
T=T₁+T₂
=1*C(6,2)*2^(6-2)*(-4)^2+21*C(6,1)*2^(6-1)*(-4)^1
=1*3840-21*768=3840-16128=-12288.
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