向所有热爱学习的小伙伴们提问：你知道0.99999999...和1谁更大吗？
若你仅具备小学或初中的数学知识，你可能觉得1更大。
如果你上了高中，掌握了一些基础的数学原理，你可能会认为它们相等，并且能简单解释原因。
拥有大学数学背景的人，也会赞同这两个数实际上是等价的，实际上它们代表的是同一个数。甚至你可以动用微积分等高级数学工具，对这一等价性给出严格的证明。
答案其实很简单，0.99999999...和1根本无大小之分，因为它们本质上代表同一个数。
若你了解实数与数轴的一一对应关系，就能容易地明白它们为何等价。任两个实数之间，总可以插进其他无数个实数。
掌握了这一概念，之前的问题就容易解决了。
你可在0.99999999...和1之间找到其他实数吗？
肯定找不到任何实数插足其间。若你坚持说能找到，那请你举例说明。
找不到其他实数，这就意味着0.99999999...和1本质上就是同一个数。
善于思考的小伙伴，在上小学时可能就悟出了为什么0.99999999...等于1。
我们常听老师说，1/3等于0.3333333...，许多人对此深信不疑。如果两边同时乘以3，答案自然不言而喻。
若你还心存疑虑，我们再来一个更直接的论证。
假设0.99999999...=x，则9.99999999...=10x。
将后一个表达式减去前一个，9=9x，于是得出x=1。
论证到此结束。
然而，对于某些执着的人，他们无论如何都不能接受9.99999999...=10x。他们会说，9.99999999...比0.99999999...小，小数点后少了一个9。
如果非要这样辩驳，那就没办法了，因为我们无法将小数点后的9全部写出来，然后比较两者谁的9多。
还有人会质疑，1比0.99999999...多了个0.000...1。听上去似乎合情合理，但实际上没有道理。
所谓的0.000...1并不存在这样的数，因为小数点后的0若是无限多，那就不是0.000...1了。
归根结底，所有认为0.99999999...和1不等的小伙伴，都是在用有限的思维去理解无限的概念。
无限的概念在数学史上曾给人们带来极大的困惑，甚至引发了三次数学危机。但现在，关于0.99999999...和1的问题早已不是什么难题。
重要的是：我们不能以有限的思维去度量无限的概念。
就像问“自然数和偶数哪个更多”，许多人会误以为自然数更多，因为它包含了偶数。
但实际上，自然数和偶数是一样多的，因为两者可以一一对应。
很多人潜意识里难以接受这个事实，还是因为习惯于用有限的思维去理解无限的概念。
再比如，实数由有理数和无理数构成，两者都包含无穷多个数，那么有理数和无理数哪个更多呢？
答案是：无理数更多。有理数的数量在无理数面前简直不值一提。可以这样理解，有理数是无穷的，而无理数则是无穷的无穷。
无穷也是分等级的，这就涉及到“势”的概念。
有理数和无理数在数轴上都稠密分布，但无理数分布得更密集。
比如100个人代表100个有理数，他们紧密地站成一排，彼此之间没有空隙，已经够密集了吧？
然而，不管这100个人有多密集，你总能将无数个无理数塞进他们之间。
可能会有人疑惑：100个人已经站得很密集了，如何再塞进无理数？
其实你可以将无理数想象成“鬼”，不管两个人靠得多近，总能容纳无数个“鬼”。
无限的概念对于我们理解宇宙也很有启示。很多人认为宇宙无限大，但当考虑无限大的宇宙是怎样的时候，便会感到困惑。
之所以困惑，是因为无限的概念超出了我们大脑的感知和理解能力。
我们日常所见的事物都是有限的，有限世界中的真理在面对无限时就会显得无力。
许多人接受宇宙是无限的，但这个概念总会带来困惑，正如比较0.99999999...和1的大小一样，令人费解。
我们试图想象无限大的宇宙究竟有多大，但注定无法得出结论，因为我们始终在用有限的思维去理解无限的宇宙。
最后，给你们留一道关于无限的数学问题：
在数轴上随便砍一刀（假设刀无厚度），砍到有理数的概率是多少？
答案是：0！
然而，砍到有理数的概率为0，并不意味着不能砍到有理数。
换句话说，“概率为零的事件仍有可能发生”，这两者并不矛盾。为什么呢？留给各位思考。如果你能弄明白，就说明你对无限的理解更进了一步。
如果还是不明白也没关系，大多数人都想不明白，毕竟数学专业的人并不多。
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