经过十年的酝酿，怀特海和罗素近2000页的巨著《数学原理》（Principia Mathematica）第 1 卷出版，该书一页又一页地展示了如何从逻辑中推导出数学真理。
但最终在多年后，罗素估计了一下，大概也就只有6个人读完了整本书。
斯蒂芬·沃尔弗拉姆（Stephen Wolfram）可能是现在活着的最聪明的人，翻到这本书的第二页，他就对解读书中的符号失去了希望，但作为一生中大部分时间都在从事大型智力项目的人，他又对这本书感同身受。
他眼中的罗素和《数学原理》是什么样的？
《科技群星闪耀时》
作者：[美]斯蒂芬·沃尔弗拉姆
译者：应俊耀 蔚怡
01
《数学原理》的诞生
自欧几里得以来，数学证明一直是一种形式化的活动。但一直以来，人们都默认数学，连同它的数和几何图形，在某种程度上仍在谈论自然世界中的事物。
但在19世纪中叶，这种情况开始发生了变化，特别是引入了非欧几何和普通数以外的代数之后。到了19世纪末，人们普遍倾向于把数学看成独立于自然世界的抽象形式主义。
与此同时，自亚里士多德以来，在某种意义上已经出现了另一种形式主义——逻辑学。它最初是为了表示特定类型的理想化的人类论证，但逐渐被认为可以表示任何有效的推理形式。在逻辑学的大部分历史中，逻辑学的研究和教授都是与数学完全分开的。但在19 世纪，它们之间开始有了联系。
乔治·布尔展示了如何用代数术语（布尔代数）来表述基本逻辑。然后戈特洛布·弗雷格在德国独自工作，发展了谓词逻辑[“对于所有 ”（ for all）、“存在”（there exists）等 ]，并使用了集合论的一个版本，试图用纯粹的逻辑术语来描述数与数学。
《数学原理》正是在这种背景下诞生的。它的两位作者为这个课题带来了不同的东西。
艾尔弗雷德·诺思·怀特海（Alfred North Whitehead）是英国剑桥大学的知名学者，1898年，37岁的他出版了《泛代数论》（A Treatise on Universal Algebra），“对与普通代数相关的各种符号推理系统进行了深入研究”。该书讨论了布尔代数、四元数和矩阵理论，以它们为基础，对代数和几何中的主题进行了简洁而又相当传统的处理。
伯特兰·罗素（Bertrand Russell）比怀特海年轻11 岁。他在剑桥大学读本科时学的是数学，到1900年时，28岁的他已经出版了从德国社会民主主义、几何基础到莱布尼茨哲学的各种书籍。
02
一劳永逸解决数学争论？
数学的本质和数学真理是哲学家们经常争论的共同话题，自柏拉图以来，在某种程度上一直如此。
罗素似乎相信，通过利用最新的发展，他可以一劳永逸地解决这些争论。1903年，他出版了《数学的原理》（The Principles of Mathematics）第 1 卷（没有出版第 2 卷 ）， 这实质上是一份没有数学形式主义的调查报告，介绍了如何从逻辑角度看待数学的标准领域。
他的基本概念是，通过运用逻辑来严格界定所有相关定义，就有可能以严谨的方式推导出数学的每一部分，从而立即回答有关数学本质和哲学的问题。
但在1901年，当他试图用逻辑术语来理解无限的概念，并思考说谎者悖论（“这句话是谎话”）等古老的逻辑问题时，他遇到了一个看似根本性的矛盾的问题——一个自我参照的悖论（罗素悖论），即所有不包含自身的集合组成的集合，是否事实上包含自身。
为了解决这个问题，罗素提出了他的类型论，这通常被视为他对数理逻辑最具原创性的贡献。其实质是试图通过将集合、集合的集合等视为不同的“类型”来区分它们，然后限制它们的组合方式。
我必须说，我认为“类型”有点像一个权宜之计。事实上，我一直认为“数据类型”的相关概念在很大程度上阻碍了编程语言的长期发展。（例如，Mathematica 正是因为避免使用类型而获得了极大的灵活性，即便它在内部确实使用了类似类型的东西来满足各种实际效率。）
总之，早在1900年左右，当罗素和怀特海都在尝试扩展他们的数学形式化时，他们决定启动耗费他们十年生命的项目，这就是《数学原理》。
03
沃尔夫拉姆直呼看不懂
特别是自17世纪后期戈特弗里德·莱布尼茨的研究起，人们一直在讨论开发一种超越人类语言不精确性的数学符号。
1879年，戈特洛布·弗雷格出版了他的《概念书写》（Begriffsschrift），这是在概念和功能方面的一大进步，但其奇特的二维布局使之几乎无法阅读，也无法经济地印刷。
19世纪80年代，朱塞佩·佩亚诺发明了一种更简洁、更线性的符号，其中大部分至今仍在使用。
佩亚诺选择用一种自己构建的（基于古典拉丁语的）语言Interlingua 来撰写他的叙述性文字，这并不利于其著作的传播。
但在1900 年，罗素还是连续两次参加了在巴黎举行的哲学和数学会议（希尔伯特在会上宣布了他的问题），见到了佩亚诺，并确信他的数学形式化尝试应该以佩亚诺的符号和方法为基础。
从欧几里得时代起，就已经有了数学可以从一小组初始公理出发构建的想法。但罗素和怀特海希望有尽可能小的公理集，并让这些公理不是基于观察自然世界得出的想法，而是基于他们认为更坚实、更普遍的逻辑基础。
以当今计算机和编程的经验来看，只要有足够的“代码”，人们就能从逻辑和集合的基本概念出发，成功地建立起数和其他标准数学结构，这似乎并不奇怪。事实上，弗雷格、佩亚诺等人在1900年以前就已经开始了这一进程。但是，《数学原理》的分量之重，让这一点显得既令人惊讶又影响深远。
当然，第2卷直到80多页才证明 1 + 1 = 2 （并附注释“上述命题偶尔有用”），但这并没有对这本书给人的整体印象造成影响。
我不知道罗素和怀特海是否打算让人类读懂《数学原理》，但最终在多年后，罗素估计了一下，大概也就只有6个人读完了整本书。在现代人看来，使用佩亚诺的点符号代替括号相当困难。另外，还有定义的问题。
《数学原理》第1卷的末尾，列出了大约500个“定义”，每个定义都有一个特殊的符号。在许多方面，这些定义与Mathematica的内建函数类似。但在《数学原理》中，所有这些对象都没有使用基于英语的名称，而是被赋予了特殊的符号表示。
最初的几页并不难理解，但翻到第二页，就会看到各种奇怪的字符，至少我已经对解读它们失去了希望。
除了这些符号问题之外，《数学原理》和Mathematica中的数学形式化还有更为本质的区别。因为在《数学原理》中，其目的是展示真正的数学定理，并表示证明这些定理的过程。而在Mathematica中，其目的则是计算：使用数学表达式，并对其进行求值。
在《数学原理》问世一百年后的今天，数学基础中的基本问题仍有许多不解之处。我们不禁要问，在未来的一百年里，我们还能取得哪些进展呢？
当我们看《数学原理》时，它强调展示作者得出的特定数学真理。而如今，出于众多特定的目的，Mathematica每天都在自动提供数以百万计的数学真理。
然而，现在的情况仍然是，它的操作对象只是一些碰巧在数学或其他领域被研究过的形式系统。甚至在《一种新科学》一书中，我也集中讨论了一些我认为有趣的程序或系统。
但是我猜，自动化程度在未来会更上一层楼。也许用不了一百年，到那时，不仅是按命令进行计算，而且是按命令建立这些计算所依据的系统，这些都将变得司空见惯。比如能瞬间根据某些特定的目的，开发出类似于《数学原理》的一整个系统。
上文转自图灵新知，节选自《科技群星闪耀时》，【遇见数学】已获转发许可。
作者：[美] 斯蒂芬·沃尔弗拉姆（Stephen Wolfram）
译者：应俊耀 蔚怡
当今杰出的创新者之一斯蒂芬·沃尔弗拉姆（Stephen Wolfram）为数学、物理学和计算科学史上的“群星”所写的传记
以独特的个人视角讲述了科学和技术史上的有趣人物，及其思想和成就，其中一些人甚至与他有过精彩碰撞。
以独到眼光透过历史审视了伟大思想背后的动力，解读科学发展、创新的规律，以及后世能汲取的启发。
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