初中七年级数学下册：【二元一次方程组】重难点题型17个专练，收藏备用！在平时学习和考试答题中提供思路，希望对大家有所帮助。

初一数学下册

二元一次方程组

重难点题型17个专练

一：二元一次方程（组）与一次函数

如图，直线l1的函数表达式为y＝3x﹣2，且直线l1与x轴交于点D．直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）．

（1）求点D和点C的坐标；

解：在y＝3x﹣2中

令y＝0，即3x﹣2＝0 解得x=2/3，

∴D（2/3，0），

∵点C（m，3）在直线y＝3x﹣2上，

∴3m﹣2＝3，∴m=5/3，

∴C（5/3，3）；

（2）求直线l2的函数表达式；

解：设直线l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），

由题意得：5/3k+b=3，4k+b=1，

解得：k=-6/7，b=31/7，

∴y=-6/7x+31/7；

（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组y=3x-2，6x+7y=31的解．

解：由图可知，二元一次方程组y=3x-2，6x+7y=31的解为x=5/3，y=3.

二：二元一次方程组的应用（方案设计问题）

某制纸厂生产A型、B型两种不同规格的纸，需用甲、乙两种不同的原料．若甲原料成本为0.5元/m3，乙原料成本为1元/kg，其它相关数据如下表所示：

甲原料/m3

乙原料/kg

售价/元

每百张A型纸

1

2

4

每百张B型纸

1.2

3

5

（1）若生产这两种纸需用甲原料108m3、乙原料240kg，则这两种规格的纸各多少百张？

解：设生产A型纸x百张，B型纸y百张，由题意得，

,x+1.2y=108，2x+3y=240，

解得，x=60，y=40，

答：生产A型纸60百张，B型纸40百张；

（2）若该厂生产A型纸a百张，则生产这种A型纸的利润是多少元（用含a的代数式表示）？（利润＝售价﹣成本）

解：4a﹣（0.5×a×1+1×a×2）＝1.5a，

答：生产这种A型纸的利润是1.5a元；

（3）该厂发现，当制纸总量超过10000百张时，需额外支出8800元的设备维护费，现该厂接到一笔订单，要求生产A型纸的数量是B型纸数量的2倍，若该厂希望获得13200元的利润，则有哪几种生产方案？

解：设生产B型纸m百张，则生产A型纸2m百张，由题意得，

每百张A型纸的利润为4×2m﹣（0.5×2m×1+1×2m×2）＝3m，

每百张B型纸的利润为5m﹣（1.2×m×0.5+3×m×1）＝1.4m，

①当m+2m＜10000时，有3m+1.4m＝13200，

解得m＝3000，则2m＝6000，

即生产A型纸6000百张，则生产B型纸3000百张；

②当m+2m＞10000时，有3m+1.4m＝13200+8800，

解得m＝5000，则2m＝10000，

即生产A型纸10000百张，则生产B型纸5000百张；

因此有两种生产方案，A型纸6000百张，B型纸3000百张或A型纸10000百张，B型纸5000百张．

三：二元一次方程组的应用（分段计费问题）

滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：

计费项目

里程费

时长费

远途费

单价

1.8元/公里

0.3元/分钟

0.8元/公里

注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．

小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．

（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；

解：设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：

1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）

∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y

0.3（x﹣y）＝5.7

∴x﹣y＝19

∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．

（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．

解：由（1）及题意得：x﹣y＝19，1.5y=1/2x+8.5，化简得

x﹣y＝19 ①

3y-x=17 ②

①+②得2y＝36

∴y＝18 ③

将③代入①得x＝37

∴小王的实际乘车时间为37分钟，小张的实际乘车时间为18分钟．

四：二元一次方程组的应用（工程问题）

某市准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，求（x+y）的值。

解：设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，

由题意，得：4x+9y=120，8x+3y=120，

解得：x=12，y＝8，

∴x+y＝20．

五：二元一次方程组的应用（行程问题）

张翔上午7：30出发，从学校骑自行车去县城，路程全长20km，中途因道路施工步行一段路他步行的平均速度是5km/h．

（1）若张翔骑车的平均速度是15km/h，当天上午9：00到达县城，则他骑车与步行各用多少时间？

解：设他骑车用了x小时，步行用了y小时，依题意得：

x+y=1.5，15x+5y=20，

解得x=1.25，y=0.25.

答：他骑车用了1.25小时，步行用了0.25小时，

（2）若张翔必须在当天上午9：00之前赶到县城，他的步行平均速度不变，则他骑车的平均速度应在什么范围内？

解：设骑车的平均速度为vkm/h，依题意得：

1.25v+5×0.25＞20，

解得：v＞15，

答：骑车的平均速度大于15km/h．

六：二元一次方程组的应用（几何图形问题）

如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，求每块墙砖的截面面积．

解：设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：

x+10=3y，2x=2y+40，

解得：x=35，y＝15，

则每块墙砖的截面面积是35×15＝525（cm2）．

故答案为：525cm2．

七：二元一次方程组的应用（古数学问题）

被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”

译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”

请列方程组解答上面的问题．

解：设雀、燕每1只各重x斤、y斤．根据题意，得

4x+y=5y+x，5x+6y+1，

整理，得3x-4y=0，5x+6y=1，

解得x=2/19，y=3/38.

答：雀、燕每1只各重2/19斤、3/38斤．

八：二元一次方程组的应用（配套问题）

某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应怎样分配工人，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？

解：设应分配x人生产螺栓，y人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，

根据题意，得x+y=56，36y=2×24x，

解得x=24，y=32.

答：应分配24个人生产螺栓，32个人生产螺母．

九：二元一次方程组的应用

把一根长为7m的钢管截断，从中得到两种不同规格的钢管，已知两种规格的钢管长分别为2m和1m，为了不造成浪费，不同的截法有几种？

解：设可以截成x根2m长的钢管和y根1m长的钢管，

依题意，得：2x+y＝7，

∴y＝7﹣2x．

∵x，y均为正整数，

∴当x＝1时，y＝5；当x＝2时，y＝3；当x＝3时，y＝1，

∴共有3种不同的截法

截法1：截成1根2m长的钢管和5根1m长的钢管；

截法2：截成2根2m长的钢管和3根1m长的钢管；

截法3：截成3根2m长的钢管和1根1m长的钢管，

十：二元一次方程组的解（整体思想）

阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想．

（1）解方程组,3x-2y=-1，3x+2y=7，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 x=1，y=2 ；

（2）如何解方程组3（m+5）-2（n+3）=-1，3（m+5）+2（n+3）=7呢？我们可以把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 m=-4，n=-1 ；

由此请你解决下列问题：

若关于m，n的方程组am+bn=7，2m-bn=-2的值与3m+n=5，am-bn=-1有相同的解，求a、b的值．

解：由方程组am+bn=7，2m-bn=-2的值与3m+n=5，am-bn=-1有相同的解可得方程组am+bn=7，am-bn=-1，解得am=3，bn=4，

把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，解得m＝1，

再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，解得n＝2，

把m＝1代入am＝3得：a＝3，

把n＝2代入bn＝4得：b＝2，

所以a＝3，b＝2．

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