七年级不等式理解难点——新定义“偏解方程(组)”

在2022版新课标第60页，对于不等式与不等式组的课程内容安排如下：结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形；能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集；能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的实际问题。建立模型观念。

第62页：对于方程与不等式的教学，应当让学生经历对现实问题中量的分析，借助字母表达的未知数，建立两个量之间关系的过程，知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达；

在2025版新人教版教材140页安排了解集中的整数解例题，如下图：

学生在解不等式相关习题的时候，对于解集的理解深度决定了解题成功率，教材上对于解集的概念叙述比较简单，在学习中学生需要明确这一章节的所有数学概念，都可以从数和形两方面理解，数轴即最称手的工具.

题目

解析：

01

(1)解出方程，x=-2；

再分别解下列三个不等式，结果为①x<-2；②x≤1；③-3≤x<1

根据“偏解方程”定义，判断3c+2=-4是②和③的“偏解方程”；

02

(2)解这个方程组，用含a的代数式表示x和y，得x=a-1，y=2a+2；

代入到不等式y-1/2x>7中，解出a>3；

03

(3)首先解这个含参不等式组，得b-10≤x<2b-9，关于x的方程x+b=0的解是x=-b，它应该在前面求得的解集中，得b-10≤-b<2b-9，解得3

接下来两种思路：

第一各从数形结合角度来理解“恰有5个整数解”，借助数轴，我们先表示出解集b-10≤x<2b-9，如下图：

对于这个解集的左端点b-10，由于b的取值范围被限定在3

由草图可知，解集中包含4个整数解，于是我们继续增大b的值，看能否框住更多整数解，基于这个思路，我们需要观察解集的两个端点b-10和2b-9，发现当b=3.5时，右端点恰好在-2处，如下图：

请注意右端点是空心点，此时解集中仍然只有4个整数解，但从此之后，左端点抵达-6前，右端点抵达-1前，解集中将会出现5个整数解，分别是-6，-5，-4，-3，-2，由此可知b的取值范围下限，b>3.5；

继续增大b的值，至b=4时，仍然有5个整数解，如下图：

继续增大b的值，至b=4.5时，仍然有5个整数解，但不是前面那5个，新的整数解为-5，-4，-3，-2，-1，如下图：

此时再增大b的值，右端点就会将0这个值纳入范围，这样整数解就有6个了，不符合题意，因此我们可得到结果为3.5

第二种从代数推理角度，不妨设这5个整数解依次是k，k+1，k+2，k+3，k+4，而解集是b-10

分别解上述两个不等式组，得k+9

当k=-6时，代入前面关于b的两个解集，3

当k=-5时，代入前面关于b的两个解集，4

最后这两种情况都属于“有5个整数解”，取并集，结果为3.5

解题思考

在学生讲解这道题的时候，我们可借助几何画板、Geogebra等工具动态演示，然而学生在实际答题时，手头没有这等利器，所以尽可能还原学生真实答题环境，再来讲这道题的思考过程.

利用数轴表示不等式的解集，是教学过程中学生容易做到的，但能表示只是理解的第一层含义，脑子里是否存在解集这个事物很关键，利用参数表示解集，属于较高的要求，由参数本身的不确定性，解集也会动态变化，此时需要利用数轴工具，在纸上的数轴工具.课堂上的画解集，不能仅仅停留在区分“向左”、“向右”、“空心点”、“实心点”等这些基本元素上，当参数引入之后，端点可能在哪？解集中可能包含哪些数？更进一步考验了学生对解集概念的理解.

本题也可以引入函数观念，但这显然超出了七年级学生的认知范畴，经过适当改编，它可以出现在八年级学生的练习中.