一、题目

一副三角板如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°，E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD=4cm，则EF的长为_______cm

二、分析与解答

这道题很简单，只要方向正确，秒解.

本题条件很简单，两个特殊三角形，一个中点，一条线段长，一条垂线段.

由特殊三角形可以得出两个三角形所有边的长度

AB=8，DB=4√3，BC=CD=2√6

由中点能想到中线、中位线，可以把EF构造成梯形的中位线，也可以构造两个特殊三角形的中线或中位线，以下就从这两个角度给出三种解法.

解法一：构造梯形中位线

如图，过点A作AG⊥CD，交CD延长线于点G

则△ADG为等腰直角三角形，∴AG=2√2

∴EF=(AG+BC)/2=(√2+√6)cm

解法二：构造三角形的中线和中位线

如图，取BD中点G，连接EG、CG

EG是△ABD的中位线，CG是△BCD斜边上的中线

∴EG=1/2AD=2，CG=1/2BD=2√3，∠BGE=∠BGC=90°

∴∠BGE+∠BGC=180° ∴C、G、E三点共线，CE=2+2√3

易证△CEF为等腰直角三角形

∴EF=CE/√2=(√2+√6)cm

这种解法容易犯的错误是，直接认为C、G、E三点共线，或连接CE就直接认为G是中点，如果是解答题，这里是必须要证明后才能用的.

解法三：连中线证全等或垂直平分

如图，连接DE、CE

可以通过证全等或由线段垂直平分线的判定，得出△CEF是等腰直角三角形

进而得出 EF=CE/√2=(√2+√6)cm

三、小结

1、中点是填空压轴中经常会遇到的已知条件，通常会用来构造特殊三角形的中线或中位线，也有时会构造8字全等（倍长中线）或A字相似.

2、含30°角和45°角的直角三角形是最特殊的直角三角形，三边关系要熟练掌握，可通过记三边关系来记特殊角的三角函数值，也可以通过特殊角的三角函数值来记三边关系.

3、定理的名称：三线合一与垂直平分线的判定，前者课本上给的其实就是“三线合一”，但中考题、模拟题答案通常都是“等腰三角形的三线合一”，后者习惯上叫垂直平分线的判定，但应该叫“线段垂直平分线的判定”，课本定理蓝字部分标注了“线段垂直平分线的性质”，判定虽然没用蓝字标出，但也应该加上线段两字，对应角平分线.