一、题目

如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD相交于点F，则DF的长为________.

二、分析与解答

1、拓展已知条件

BE=CE=2，AB=5，CD=12/5，AD=9/5，BD=16/5

tan∠FCA=3/4，tan∠FAC=2/3

求CD时可用等面积法、相似、三角函数，求AD和BD时，可用相似、三角函数、勾股定理、射影定理（树平方=影乘积，很好掌握，感兴趣可以去看看这篇：初中数学：射影定理结论巧记及证明）

部分基础较差的同学在面对多种方法时，不知如何选择，其实各种方法难易程度差别并不大，解题时间差不了几分钟，你只要选择最擅长的方法即可，基础好的同学可以自己分别尝试然后寻找最优解.

2、不同解法

思路一：构造相似

由核心条件中点想到构造中位线，从而构造平行A字或8字相似

下面给出2种构造方法

解法一：取BD中点G，连接EG

EG=1/2CD=6/5，DG=1/2BD=8/5，AG=17/5

DF/EG=AD/AG，DF:6/5=9/5:17/5，DF=54/85

解法二：取CD中点G，连接EG

EG=1/2BD=8/5，DG=1/2CD=6/5

DF:FG=AD:EG=9/5:8/5=9:8

DF=9/17DG=9/17×6/5=54/85

思路二：解三角形

已知CD求DF，只需求出CF

在△ACF中，已知AC长和两个角的三角函数值，不难求出CF

解法三：辅助线同解法一

在RT△ADF中，AD已知，只需求出tan∠DAF

tan∠DAF=EG/AG=6/5:17/5=6/17

DF=ADtan∠DAF=9/5×6/17=54/85

解法四：过点F作FG⊥AC于点G

设FG=6x，则CG=8x，AG=9x，CF=10x

AC=17x=3，x=3/17，CF=10x=30/17

DF=CD-CF=12/5-30/17=54/85

三、小结

1、勾股、相似、三角函数是求线段长常用的三种方法，勾股需要构造直角三角形，常作垂线.相似最常见的是构造正A和正8相似，常作平行线.三角函数也需要构造直角三角形，非直角三角形中最常见的就是已知两角一边，作高即可构造直角三角形.

2、中点最常见的辅助线是构造特殊三角形（等腰或直角）的中线或中位线.