一、题目
如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，且AD=3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE.若∠ACD=∠BED=45°，CD=6√2，则AB的长为_______.
二、分析与解答
本题的图形和条件都很简单，已知中告了一条线段长，两个45°角，一个中点和一个四等分点.
由45°角想到构造等腰直角三角形，由四等分点想到构造相似，因为只知道一条边的长度，所以大概率要通过等腰直角三角形来拓展已知条件，所以尽量构造含CE、DE或CD的等腰直角三角形，相似大概率由平行线来构造，而且相似必须用上四等分点.考虑到已知中只告了一条边的长度，所以最终很可能是利用勾股定理求线段长，所以最终图形要有包含AD、DB、AB或与它们有倍数关系的线段.
所以基本思路就有了：垂线构等腰直角三角形，平行线构相似，最终图形含DB或与其有倍数关系的直角三角形.
下面提供16种不同方法：
解法一：等腰RT△DGE、等腰RT△CEF，△BDG∽△BAF，相似比1:4
CE=DE=3√2，EG=EF=DG=3
AF=4DG=12，BG=1/3FG=2，BF=8
∴AB=4√13
解法二：等腰RT△DGE、等腰RT△CDF，△BDG∽△DAF，相似比1：3
DE=3√2，CD=6√2
DG=3，DF=6，BG=1/3DF=2
DB=√13，AB=4√13
解法三：等腰RT△DGE，△BDF∽△ADC(1:3)
DF=1/3CD=2√2，DE=3√2，DG=EG=3
BG/EG=DF/DE=2/3，BG=2/3EG=2
BD=√13，AB=4√13
解法四：等腰RT△DGE，△BDG∽△BFE(2:5)
DE=3√2，DG=EG=3
BG/EG=BD/DF=2/3，BG=2/3EG=2
DB=√13，AB=4√13
解法五：等腰RT△DGE、等腰RT△DHE，△BDH∽△DFG(2:3)
DE=3√2，DG=DH=3，BH=2/3BG=2
DB=√13，AB=4√13
解法六：等腰RT△DGC、△FDG∽△FAC(2:5)
CD=6√2，CG=DG=6
AC=5/2DG=15，FG=2/3CG=4
DF=2√13，AB=4√13
解法七：等腰RT△CEF，△FGE∽△FAB(3:8)
CE=3√2，CF=EF=3
GE:AG=1/2AD:AB=1/2AD:4/3AD=3:8
EF:BE=3:5，BE=5，BF=8
设FG=3x，AG=5x
则3x+3=5x，x=3/2
AF=8x=12，AB=4√13
解法八：等腰RT△CEF，△CFG∽△AFB(1:4)
CE=3√2，CF=EF=3
设FG=x，则BE=x+3
BF=4GF，x+6=4x，x=2，FG=2
CG=√13，AB=4CG=4√13
解法九：等腰RT△DFG，△BDE∽△ADF(1:3)
DE=3√2，DF=3DE=9√2，DG=GF=9
AG:GF=CD:DF=6√2:9√2=2:3
AG=2/3GF=6，AD=3√13，AB=4√13
解法十：等腰RT△CGE，△ADF∽△ABG(3:4)
CE=3√2，CG=GF=3，DF=2GE=6（中位线）
AF:FG=AD:DB=3，AF=3FG=9
AD=3√13，AB=4√13
解法十一：等腰RT△CDG，△ADG∽△AFC(3:5)
CD=6√2，CG=DG=6
AG:CG=AD:DF=3:2，AG=3/2CG=9
AD=3√13，AB=√13
解法十二：等腰RT△CDG、等腰RT△BEF，△BDF∽△ADC(1:3)
CD=6√2，CG=DG=6，DF=1/3CD=2√2
DE=3√2，EF=5√2，BF=5，AC=3BF=15
AG=AC-CG=15-6=9
AD=3√13，AB=4√13
解法十三：等腰RT△CGE、等腰RT△BEF，△BDF∽△ADC(1:3)
CE=3√2，CG=EG=3
CD=6√2，DF=1/3CD=2√2，
DE=3√2，EF=5√2，BF=BE=5
BG=8，AC=3BF=15，AG=12
AB=4√13
解法十四：等腰RT△DGE，△FDG∽△FBE(3:5)
DE=3√2，DG=EG=3
FG:GE=FD:DB=3:2，FG=3/2GE=9/2
FD=3√13/2，AD=3√13，AB=4√13
解法十五：等腰RT△DGE、等腰RT△ACF，△BDE∽△ADF(1:3)
DE=3√2，DG=EG=3，DF=3DE=9√2
CD=6√2，CF=15√2，AF=15
BE=1/3AF=5，BG=2
DB=√13，AB=4√13
解法十六：等腰RT△CDG，△BDE∽△ADF(1:3)
CD=6√2，CG=DG=6
DE=3√2，DF=3DE=9√2
AG:CG=FD:CD=3:2，AG=3/2CG=9
AD=3√13，AB=4√13
三、小结
1、遇特殊角，构造特殊三角形，常作垂线.
2、遇线段比，构造相似，常作平行线.
热门跟贴