一、题目

如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE=DF，连接EF交边AD于点G，过点A作AN⊥EF，垂足为M，交边CD于点N.若BE=5，CN=8，则线段AN的长为____

二、分析与解答

看到正方形中有互相垂直的线段，很容易想到十字模型，另外由BE=DF，AB=AD，也容易想到构造全等.

思路一：十字模型+相似

解法一：过点G作GH⊥BC于点H

△ADN≌△GHE，设DN=EH=x，则CH=DG=3

△FDG∽△FCE，FD/FC=DG/CE

5/(x+13)=3/(x+3) 解得x=12

∴DN=12，AD=20，AN=4√34

解法二：过点D作DH//GE，交BC于点H.

△ADN≌△DCH，设DN=CH=x，则EH=DG=3

tan∠CFE=(x+3)/(x+13)=3/5 解得x=12

∴DN=12，AD=20，AN=4√34

解法三：过点E作EH⊥AD于点H

AH=BE=5，△ADN≌△EHG，设DN=HG=x，则DG=3

tan∠HEG=x/(x+8)=3/5，解得x=12

∴DN=12，AD=20，AN=4√34

思路二：全等+勾股

解法四：连接AE、AF、EN

∵△ABE≌△ADF ∴AE=AF

又∵AM⊥EF ∴EM=FM（三线合一）

∴EN=FN（垂直平分线的性质）

设DN=x，则CE=x+3，EN=FN=x+5

由勾股定理，得 (x+3)^2+8^2=(x+5)^2

解得 x=12

∴DN=12，AD=20，AN=4√34

思路三：不作辅助线

△ADN∽△FCE，设DN=x，

则CF=x+13，AD=x+8，CE=x+3

AD/CF=DN/CE

(x+8)/(x+13)=x/(x+3) 解得x=12

∴DN=12，AD=20，AN=4√34

三、小结

正方形对边十字线段相等，矩形对边十字线段比等于长宽比.

正方形构造十字全等，矩形构造十字相似.