一、题目

如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上一点，且∠ACF=∠CAF，线段AB、CF的延长线交于点G，若AB=√5，AD=4，tan∠ABC=2，则BG的长为_____

二、分析与解答

在RT△ABE中，AB=√5，tan∠ABC=2，可得BE=1，AE=2，CE=3

设EF=x，则CF=x+2，由勾股定理可得EF=5/4，CF=13/4

解法一：过点G作GH⊥BC，交CB延长线于点H

设BH=m，则GH=2m

△CEF∽△CHG，CE/CH=EF/HG

3:(m+4)=5/4:2m，m=20/19，BG=20√5/19

解法二：过点G作GH⊥AF，交AF延长线于点H

FH:GH=EF:CE=5/4:3=5:12，设FH=5m，GH=12m

△ABE∽△ABH，BE/GH=AE/AH

1:12m=2:(13/4+5m)，m=13/76，FI=65/76，EI=40/19

AB:BG=AE:EI，√5:BG=2:40/19，BG=20√5/19

解法三：过点F作FH//AB，交BC于点H

EH=1/2EF=5/8，CH=3-5/8=19/8，HF=5√5/8

CH:CB=HF:BG，19/8:4=5√5/8:BG，BG=20√5/19

解法四：过点B作BH//CF，交AF于点H

EH=5/12，AH=2-5/12=19/12，HF=5/12+5/4=20/12

AB:BG=AH:HF，√5:BG=19/12:20/12=19:20，BG=20√5/19

解法五：过点B作BH//EF，交CG于点H

BH=4×5/12=5/3，BG:AG=BH:AF

BG:(BG+√5)=5/3:13/4，BG=20√5/19

解法六：分别延长AD、GC交于点H

AH=12/5AF=12/5×13/4=39/5，DH=39/5-4=19/5

△HDC∽△CBG，HD:CB=DC:BG

19/5:4=√5:BG，BG=20√5/19

三、小结

1、本题的难点在于拓展已知条件，能否求出AE、BE、EF、CF的值，只要能求出来，剩下的就比较简单了，随便构造相似就能解.

2、求AE、BE用三角函数，求EF、CE用勾股定理

3、构造相似最常用的辅助线是平行线.