一、题目

如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE，点F在BC的延长线上，连接DF.若DF=DC，则线段CF的长为________.

二、分析与解答

由等腰想到三线合一，作底边上的垂线.

由角平分线想到垂两边、平行平分构等腰.

由AE:BE=3:5想到相似、平行线分线段成比例.

另外还有一个隐藏的二倍角：

设∠BEC=α，则∠BCE=90°-α，∠BCD=180°-2α，∠DCF=2α

tanα是已知的，求出tan2α就可以求出CF的一半.

这道题的方法很多，以下是部分辅助线作法：

其中图一、二、三、四、五、八、十、十一都用到了平行平分构等腰，图一~图五和图十中，△HEC为等腰三角形，其中HE=HC.图八和图十一中，△DCH为等腰三角形，其中图八中DH=DC，图十一中CD=CH.

下面挑选图一、图九、图十三种方法做一下讲解.

解法一：过点D作DG⊥CF于点G，过点E作EH//BC，交DC于点H，过点E作EI⊥DC于点I

AE=3，BE=IE=5，BC=IC=4

易证EH=CH，设IH=x，则EH=CH=x+4

在RT△EIH中，由勾股定理，得

x^2+5^2=(x+4)^2 解得 x=9/8

由△EIH∽△DGC，可得CG=9/5

∴CF=2CG=18/5

解法二：过点D作DG⊥CF于点G，在BE上取点H，使EH=CH，连接CH.

则∠BHC=2∠BEC=∠DCG

设BH=x，则EH=CH=5-x

在RT△BCH中，由勾股定理，得

x^2+5^2=(x+4)^2 解得 x=9/8

∴tan∠BHC=40/9=tan∠DCG

∴CG=8×9/40=9/5，CF=18/5

解法三：过点D作DG⊥CF于点G，过点E作EH//DC，交CB延长线于点H

易证EH=CH，设BH=x，则EH=CH=x+4

在RT△BEH中，由勾股定理，得

x^2+5^2=(x+4)^2 解得 x=9/8

tan∠EHB=40/9=tan∠DCG

∴CG=8×9/40=9/5，CF=18/5

三、小结

1、常见辅助线：等腰三角形，三线合一（常作底边垂线），角平分线垂两边、平行平分构等腰，构造相似也常作平行线.

2、本题中的二倍角是隐含条件，如果能发现二倍角，且会用几何法求二倍角，无疑会大大降低思考难度.

3、计算能力要过关.本题中有几种方法是在RT△DCG中运用勾股定理，得方程

x^2+8^2=(x+32/5)^2

部分同学在计算这个方程时可能会遇到问题，有的解不出，有的则耗时较长.