一、模型结论
1、和角结论：正切值是1/2的锐角和正切值是1/3的锐角的和是45°.
符号表示：
α、β都是锐角，则
图形表示：
2、倍角结论：
①如果一个锐角的正切值是1/2，那么它的二倍角的正切值是4/3
②如果一个锐角的正切值是1/3，那么它的二倍角的正切值是3/4
③如果一个锐角的正切值是4/3，那么它的半角的正切值是1/2
④如果一个锐角的正切值是3/4，那么它的半角的正切值是1/3
⑤如果一个锐角的正切值是2，那么它的半角的正切值是(√5-1)/2
图形表示：
如图，在RT△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5
AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，DF平分∠ADB
tan∠BCE=1/3，tan∠BAD=1/2，tan∠BDF=(√5-1)/2
该图也可表示和角结论：tan∠CAG=1/2，tan∠ACG=1/3，∠CGD=45°.
之所以叫12345模型就是因为这个模型与12345这几个数字密切相关.
二、模型证明
1、和角结论
原命题等价于45°减去正切值是1/2的锐角等于正切值是1/3的锐角.
过点D作DE⊥AC于点E
设AB=BC=2m，则AC=2√2m，BD=CD=m
CE=DE=√2m/2，AE=3√2m/2
∴tanβ=1/3
2、倍角结论
以①③为例
①如果一个锐角的正切值是1/2，那么它的二倍角的正切值是4/3
在AB上取点D，使AD=CD，连接CD，则∠BDC=2α
证明：设BC=m，BD=x，则AB=2m，AD=CD=2m-x
在RT△BCD中，由勾股定理，得
x^2+m^2=(2m-x)^2 解得 x=3m/4
∴tan2α=m/(3m/4)=4/3
③如果一个锐角的正切值是4/3，那么它的半角的正切值是1/2
如图，在RT△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，AB=3，BC=4
求证tan∠DAB=1/2
证明：过点D作DE⊥AC于点E
由勾股定理，得 AC=√(3^2+4^2)=5
易证△BAD≌△EAD(AAS)
∴AB=AE，DB=DE
设DB=DE=x，则CD=4-x，CE=2
在RT△CDE中，由勾股定理，得
x^2+2^2=(4-x)^2 解得x=3/2
∴BD=3/2，tan∠DAB=1/2
②④⑤都可以用类似的方法证明
三、模型应用
过点H作HI⊥DG于点I，HJ⊥AD于点J，HK⊥AG于点K
∠EDH=45°，tan∠EDF=1/2
由12345模型，知 tan∠HDG=1/3，tan∠ADG=3/4
∴AG=3/2，DG=5/2
∵H是角平分线交点 ∴HJ=HK=HI
∴S△AGH:S△ADH:S△DGH=3:4:5
∴S△DGH=5/(3+4+5)S△ADG=5/12×1/2×3/2×2=5/8
四、小结
1、该模型主要用于选择、填空题，对于符合模型的题，12345模型往往会比较快捷，有的题目虽然未必快捷但却可以提供一个额外的解题方向.
2、中考模拟考中，凡是能用12345模型解的题，必然能用课内知识来解.
3、12345模型没有某些“网红博主”宣传的那么神奇，也不像某些博主唱衰的那样“模型无用”，对于学有余力的同学建议学习，技多不压身，学习一般的同学则要量力而行.
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