一、题目

如图，在△ABC中，D为AB上一点，BD=2AD，连接CD，E为CD的中点，连接BE.若∠ACD=30°，∠BED=60°，CD=4，则AB的长为______

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二、分析与解答

条件中给出两个特殊角、一个中点、一组线段比.

由特殊角想到构造特殊三角形，由中点想到构造8字全等、含中位线A字相似，由线段比想到构造相似.

解法一：8字全等+A字相似+勾股定理

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△CEF≌△DEG，EF=EG=1，CF=DG=√3

DG//AF，BG/GF=BD/AD=2，BG=2GF=4

在RT△BDG中，由勾股定理，得 BD=√19

∴AD=√19/2，AB=3√19/2

解法二：双A字相似+勾股定理

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EF是中位线，EF=1，DG=2，CF=FG=√3

DG//BF，AG/GF=AD/DB，AG=1/2FG=√3/2

由勾股定理，得 AD=√19/2 ∴AB=3√19/2

解法三：A字相似+勾股定理

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DF=2，EG=1，DG=√3

△ADF∽△DBG，BG=2DF=4

DB=√19，AB=3√19/2

解法四：8字全等+8字相似

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EF=1，CF=√3，CG=BD，EG=BE

△CFG∽△AFB，相似比2：3

AF=3√3/2，GF/BF=2/3

设GF=x，则EG=BE=x+2

x/(x+2)=2/3 解得x=4 ∴BF=6

由勾股定理，得AB=3√19/2

三、小结

1、遇特殊角，构造特殊三角形

2、遇中点，构造8字全等，含中位线A字相似

3、遇线段比，构造相似（过端点作平行线）

4、基础要扎实，如解法四，最后一步用勾股定理求线段长时，要会化简√171=3√19

√171看着好像不能化简，其实是可以化简的，可以用短除法分解质因数，建议把30以内质数记住：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29（正好10个）