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《量子光学讲义》

于敏著

北京大学出版社

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近日，“两弹一星”元勋、著名理论物理学家于敏先生的著作《量子光学讲义》在北京大学出版社正式出版。由中国工程物理研究院孙昌璞、王建国、傅立斌撰写序言。本书原稿是1986年于敏先生为中国工程物理研究院研究生讲课的讲义（图1-3）。

图1~3　于敏量子光学课程讲义当年的记录整理稿

去年中国工程物理研究院孙昌璞院士组织有关人员整理、补充成书，并撰写了导读。书稿增加了少量的附录内容，以帮助读者更好地理解和掌握于敏《量子光学讲义》的内容，全面了解他讲课后量子光学的发展。由于第八章“量子相干性”已经遗失，为了讲义知识体系的完备，根据上下文和于敏先生讲义的风格补写了这一部分。本书的整理出版获得了于敏先生家人（于辛、于元）的大力支持。

《量子光学讲义》的出版，既是对一代科学巨匠的学术致敬，也是在新时代科学教育与基础研究中的延续与弘扬“两弹一星”精神的具体体现。从本书主要内容、论题的深度和方法精妙来看，完全可以媲美当下任何一本近年出版的量子光学教材。通过本讲义大家也可以一睹于敏先生治学的风格和思想风采。可以说，《量子光学讲义》的问世，是科学的回响，也是精神的续航。

序言节选

|孙昌璞王建国傅立斌

于敏院士是我国著名的理论物理学家，“两弹一星”元勋，他为我国核武器理论研究和国防高技术发展做出了卓越贡献。特别是在氢弹研制中，他解决了一系列热核武器物理的重要基础问题，并开创性地提出了从原理到构型的完整设想，为氢弹的突破做出了重大贡献。1985—1986年，于敏先生在北京九所研究生部(2006年更名为中国工程物理研究院(下称中物院)研究生部，2015年升级为中国工程物理研究院研究生院)为研究生和科研人员开设了“量子光学”课程，并形成了完整的讲义。在北京应用物理与计算数学研究所所史馆建设和研究生院为纪念中物院研究生教育40周年梳理教材的过程中，我们发现了这本撰写于近40年前的珍贵的《量子光学讲义》。

当时中物院研究生教育刚刚起步，而量子光学作为一个学科还没有完全成熟，世界上也没有几本标准的量子光学教科书。直到二十世纪九十年代初期，量子光学才逐渐发展为一个完全成熟的学科。随后，由于量子信息科技的大规模发展，量子光学作为其基础学科，才成为一个“显学”。于敏先生作为一位核武器专家，如此前瞻性地开设这样一门科学前沿的基础课程，并形成了知识系统几近完备、颇具特色的《量子光学讲义》，实在令人惊叹。

为了深入了解于敏先生开课的背景，我们进一步走访了当年听过该课的前辈科学家和同事，如杜祥琬先生、贺贤土先生、张信威先生、朱少平研究员和裴文兵研究员等。据他们回忆，二十世纪八十年代中期，于敏先生等前辈科学家积极推动惯性约束核聚变和自由电子激光、X射线激光等科学前沿问题的研究，围绕这些国防科技相关的领域开展高技术探索(“863”计划)。从二十世纪八十年代中后期开始，于敏先生组织指导这方面的研究工作，发表了《惯性约束核聚变的展望》和《自由电子激光各类纵模的统一描述》等相关文章。这些新光源与物质相互作用的物理基础自然是量子光学，因此开展量子光学的研究和教学是科教协同、面向国家需求开展基础研究的典型例证。于敏先生开设这样一门课程，彰显了一位战略科学家的远见卓识。他亲自系统讲解这一领域的基础和前沿工作，就更显得难能可贵。

众所周知，1984年前后，美国启动了俗称“星球大战计划”的“战略防御”计划。美国希望通过新的尖端科技，对打击美国本土的苏联弹道导弹进行态势感知和拦截摧毁，从而取得战略优势。为了实现这个目标，美国在适量保证核武器战略平衡的基础上，大力发展可以同时胜任防御和突防双重作用的定向能武器(Directed-Energy Weapon)，当时自由电子激光和X射线激光被认为是该领域的潜在候选者。另一方面，二十世纪七八十年代，美苏两国经历长时间的核军备竞赛，已经完全掌握了核武器全链条工程技术的实验数据，全面禁止核试验迫在眉睫。禁核试后，如何继续推进核武器发展和保持战略装备长期有效,给科学技术带来了新的挑战。利用强激光进行惯性约束核聚变，不仅可以用来模拟武器的特定动作过程，而且可能实现新的可控聚变能源。无论是在对自由电子激光和X 射线激光的科学探索中，还是在惯性约束核聚变的工程技术发展中，光与物质相互作用的研究是实现这些工程技术的关键所在。而在二十世纪七八十年代后才发展成熟起来的量子光学，正是研究光与物质相互作用的基础学科。于敏先生进行量子光学的教学恰逢其时，前瞻性、基础性和国家需求导向性十分明显。

该讲义是他人(具体是谁今天已经难以考证了)当时根据于敏先生的系列讲课过程整理而成的，但讲义内容精炼前瞻，逻辑推理严谨,物理概念清晰，科学见解独到，很能体现于敏先生做学问的个人风格和特色。现在我们整理并出版这本讲义，不仅是为了缅怀和记录于敏先生教书育人的重要贡献，还因为其内容对今天的教学和科研依然具有重要的参考价值。在整理这本讲义的过程中，我们发现，该讲义的内容很多来自原始论文，而不是从书本到书本，人云亦云。在逻辑阐述和科学论证方面，充分展现了于敏先生授课的独特魅力和学术造诣：“强调物理图像”，以简洁清晰的方式直击问题本质；“知其然更要知其所以然”，仔细推导物理概念和物理公式；“善于抓主要矛盾”，掌握关键难点问题，使听者能以最短的路径进入量子光学的科学研究。把原始论文的内容组织成教学素材，使得听者易于接受，于敏先生显然花了不少工夫和心思。对于于敏先生讲课，很多接触过他的人都有这样的感受：“听于先生讲课是一种享受”。

图4　于敏讲课风采（图片来源：四川梓潼，中国两弹城）

于敏先生讲授量子光学，是研究性教学的实际行动，使得本讲义特色颇多。例如，讲解高斯(Gauss)光场时用了与热导方程的类比，讲解相干态时强调特殊波包不扩散的物理特性，讨论相干原子态时，应用群论杨图的方法给出了各类对称性的完整分类；而分析超辐射时几乎给出了当前研究最前沿的准自旋波态——时间-狄克(Dicke) 态；该讲义对量子开放系统(本书称为开式系统)的各种处理方法有系统性的讨论，从海森伯(Heisenberg)表象中的朗之万(Langevin)方程,到薛定谔(Schrödinger)表象中的密度矩阵方法，乃至福克尔-普朗克(Fokker-Planck)方程。作为应用，该讲义分别讨论半经典和全量子的激光理论，特别强调它们各自的应用范围和方便性，并讨论了多模竞争锁模的基本原理。第六章是很有特色的一章，主要讨论相干光波包在介质中的传播，并特别指出群速度可以超光速，这在20年后的实验中才得以发现。从特色鲜明、选材得当和讲解精辟等方面看，于敏先生的讲义都可以与当前国内外优秀的量子光学教材相媲美!

导读

|孙昌璞

光作为最简单的物理系统, 是宇宙中最常见的物质。因此, 理解光的行为对于物理学的发展具有重要意义。事实上, 物理学中的许多重要观念都源于光学。例如, 费马(Fermat)通过“光在介质中两点之间的传播时间是最短的”这一发现, 提出了最小作用量原理。这一原理不仅引发了经典力学中变分原理的建立, 还启发了薛定谔方程的提出,进而奠定了量子力学的基础。量子物理的第一次概念革命也是源于对黑体辐射的研究。量子信息是当前研究的热门领域, 其中, 许多量子通信协议都是在光学系统中实现的。由于光学系统的简单性,其物理实现往往比其他系统更为容易, 因此研究光的基本性质和效应也有助于我们探索其他物理系统。

经典光学的发展已有数百年历史, 麦克斯韦(Maxwell)的电磁理论是光物理学的顶峰, 它的解给出了光场的各种形态(见第一章)。然而, 量子光学是在最近几十年才发展起来的, 并在二十世纪九十年代后成为物理学中一个快速发展的新兴分支, 与原子分子物理的发展紧密相连。量子光学以半经典和全量子的方式研究光的各种现象及其与微观物质相互作用的效应。它能够解释迄今为止观察到的所有光学现象, 是研究光的最完整的理论。与粒子物理学、凝聚态物理学和理论物理学等其他传统分支相比, 量子光学与精密测量实验和现代技术(例如, 激光、光纤和互联网等)互动更加紧密, 也是近30年获得诺贝尔(Nobel)物理学奖最多的领域, 例如, 2022年的阿斯佩(Aspect)、克劳泽(Clauser)和蔡林格(Zeilinger); 2012年的阿罗什(Haroche)和瓦恩兰(Wineland); 2005年的黑施(HÄansch)、格劳伯(Glauber)和霍尔(Hall); 2001年的克特勒(Ketterle)、康奈尔(Cornell)和威曼(Wieman); 1997年的朱棣文、科恩-塔努吉(Cohen-Tannoudji)和菲利普斯(Phillips)。

二十世纪六十年代, 在激光理论的发展, 以及汉布里·布朗(Hanbury Brown)和特威斯(Twiss)实验的推动下, 人们对光子关联和量子相干性的研究逐渐深入, 量子光学由此诞生。然而,其起源可以追溯到量子物理发展的开端。普朗克的黑体辐射理论涉及光在原子发射和吸收中的能量量子化。他假设原子发射或吸收光的能量只能是某个小量的整数倍。 1905年, 爱因斯坦(Einstein)进一步引入了光量子的概念, 以解释光电效应。这一概念涉及光场的量子化, 与原子本身无直接关系。因此, 人们普遍认为普朗克于1900年提出的黑体辐射理论是量子理论的开端, 也是量子光学形成的起点。

值得注意的是, 爱因斯坦在1909年研究了黑体辐射中的能量涨落, 这隐含了光的波粒二象性。这一结果早于德布罗意(de Broglie) 提出的实物粒子具有波粒二象性的观点。从普朗克的黑体辐射能谱公式出发, 爱因斯坦应用热力学原理, 得出了形为的能量涨落公式。爱因斯坦假设了黑体辐射的光场由独立的粒子(即光子)组成, 其随机统计给出总能量涨落的第一项, 其中粒子数涨落正比于，hν是光子的能量; 而第二项假设了黑体辐射场由独立的平面波组成。从而可以看出, 黑体辐射的能量涨落体现了光的波粒二象性。因此, 他特别强调, “下一个阶段的理论物理学发展将为我们带来一种波动理论与发射理论融合的光的理论”, 并将对“光的本质研究进行必要且深刻的变革”。

这种全新的光理论必须统一粒子和波的概念, 而这在经典光学框架下是不可能的。量子力学的出现使得狄拉克(Dirac)等人开始探索电磁场或光场的量子化(见第二章)。后来, 施温格(Schwinger)、朝永振一郎(Sinitiro Tomonaga)和费曼(Feynman)通过重正化方法解决了无限发散问题, 爱因斯坦的理想才得以实现, 从而建立了光与物质相互作用的全量子理论——量子电动力学(简称QED)。 QED是迄今为止最完整且经过最精密检验的量子理论。 QED最著名的预言之一是氢原子的2s和2p能级之间辐射的兰姆(Lamb)移位, 已被实验证实。兰姆和雷瑟福(Retherford)得到的谱线移位为，与QED 预言的高度相符。

然而, 早期对QED的研究主要集中在单个光子和单个电子的行为上。对于多光子的情况, 仅简单假设光子彼此独立, 集体行为只是个体行为的简单加和。然而, 1956年, 汉布里·布朗和特威斯的实验表明情况并非如此(见第八章)。由于量子统计, 多光子的集体行为与多个独立光子的行为截然不同, 而与光子的位置和时间关联有关。在二十世纪五十年代, 人们发展了光学相干理论, 以解决经典光学的关联问题, 但该理论源于经典光的波动理论, 能够处理复杂的光学干涉现象, 但无法直接解释汉布里·布朗和特威斯实验首次展示的光场强度关联。格劳伯于1963年发展了光学相干的量子理论, 光场强度相关性等问题才得以根本解决。格劳伯首先基于QED研究了光电探测理论,然后定义了类似于量子场论中的格林(Green)函数的多阶关联函数。他指出, 当光场处于相干态时(见第二章), 光电探测的效率最高。这是一个关于光的完全的量子力学理论, 是当代量子光学的基础(见第八章)。当时刚刚发现的激光光场的强度关联效应进一步促进了量子光学关于光子数关联统计的研究。1977年, 金布尔(Kimble)等人演示了单个原子一次发射单个光子的实验, 进一步佐证了光场是由光子组成的。

需要指出的是, 是薛定谔首先提出相干态概念的。1926年, 量子力学刚刚建立, 薛定谔就进一步思考波动方程可否正确描述一个质点的运动? 如果用一个波包来描述它, 则波包的扩散行为与直观物理相矛盾, 因为质点是不会扩散的。而薛定谔发现, 在谐振子势中, 一个特殊叠加出来的波包——相干态是不会扩散的, 其中, 质心的运动代表了谐振子的经典运动。因此相干态通常被描述为在动态上最接近经典谐振子振荡行为的状态, 且在整个时间演化过程中保持了波包的形状。在数学上, 作为湮灭算符的本征态, 相干态给出的动量—坐标不确定关系最小。但后来人们发现, 不确定关系最小的态并不都是相干态。对这个问题的思考导致了压缩态概念的诞生, 由此发现了不少与经典状态不同的光量子态, 例如, 二模相干态和压缩态等。相干态在实际物理中的应用很广, 可以覆盖从量子场论到量子光学,从冷原子的玻色(Bose)—爱因斯坦凝聚到激光和超导等领域。作为数学物理的重要概念, 它被推广为SU(2)李群相干态—相干原子态(见第三章)等, 抽象后被应用路径积分的方法所计算, 进而成为数学物理和应用数学中的一个重要课题。

也是源于激光物理发展的推动, 1963年, 杰恩斯(Jaynes)和卡明斯(Cummings)提出了一个可以精确求解的理论模型—J-C模型,它描述了一个二能级原子与光学腔(或玻色子场)的量子化模式的相互作用。其精确解表明, 即使光场处于真空中, 强度为零, 也会发生独特的量子效应, 例如, 自发辐射、真空拉比(Rabi) 劈裂和拉比振荡(见第三章)。与早期仅对原子的动力学进行量子力学处理的半经典方法相比,J-C模型展示了光场量子化的不可或缺性。这个工作开启了量子光学的一个重要分支—腔量子电动力学: 受限于微腔中的电磁场模式会因腔的模体积减小或边界制约而被增强或抑制。因为真空被改变了, 所以当原子处于受控微腔的真空场内时, 光子可能无法存在于腔场中而使得原子长时间处于激发态, 导致其自发辐射被抑制。其实, 早在1946年, 珀塞尔(Purcell)就提出了这种腔量子电动力学效应。近年来, 腔量子电动力学实验及相关应用技术等方面都得到了极大的开拓和发展, 形成了一个进行量子物理研究和量子信息处理的实验平台, 例如, 基于平面腔量子电动力学的超导量子计算。

如前所述, 量子光学发展的另一个推动力来自激光理论的建立(见第五章)。 1917年, 爱因斯坦提出原子的光辐射包含诱导吸收、诱导辐射和自发辐射三个基本过程。由此, 人们不断探索如何通过粒子数布居反转, 利用诱导辐射来放大光的可能性。第二次世界大战中高性能雷达的研究启发了微波波谱学的诞生, 人们探索了如何实现粒子数布居反转, 通过诱导辐射实现微波相干辐射的放大, 因此1954年前后美苏两国成功研制了氨分子微波激射器。这一进展激发了将频率推向光频的进一步探索, 从而制成光波段的相干激射器—激光器。激光器与以往的热光源的根本区别在于激光光场遵从完全不同于经典光的量子统计性质, 这大大增加了对光的量子统计性质的理论研究需求。这又是量子光学诞生的重要推动力。需要指出的是, 激光的半经典理论不涉及光场的量子化, 因此其虽然能描述激光的产生, 但不能描述光子数统计代表的涨落, 也不能描述光场如何从真空过渡过来, 并具有固定的线宽。为此人们必须建立基于光场量子化的全量子理论(见第七章), 而量子光学正是向此而生的。

在激光发展的过程中, 除了用原子、分子、离子中的束缚电子的诱导相干发射来工作的激光器外, 还必须提到另一类基于不同机制的激光器, 即利用高速运动的自由电子将动能转变成激光能量的自由电子激光器(简称FEL)。 1984年前后, 美国启动的“星球大战计划”, 把自由电子激光器当成能够胜任防御和突防双重作用的定向能武器的候选者。早在1951年, 人们就提出可以用一个磁摆动器使得高速电子束通过时形成周期性摆动, 而且在合适条件下会产生相干电磁辐射。 1977年, 马代(Madey)等人成功研制了第一台FEL。现在FEL 已经发展成一类有重要价值的激光器。当时FEL 发展的需求在一定程度上也要求发展光与物质相互作用的全量子理论——量子光学。

量子光学将光场和构成增益介质的原子系统都用量子电动力学理论加以统一处理, 并计及周边环境——“热库” (本讲义称之为热池) 导致的阻尼及其带来的量子涨落(见第四章), 使得人们更深入地理解了光探测和光子统计。为此, 量子光学引入了相干态和压缩态的概念来解决激光、热光的本质问题, 因为人们已经认识到光不仅仅是经典图像中描述波的电磁场。此外, 在技术方面, 通过Q开关和锁模技术开发了短脉冲和超短脉冲激光, 这一发展开启了超快过程的研究。激光的发展也反过来促进了光与物质的相互作用过程和物质(多原子介质) 的量子效应研究。这不仅涉及多原子的超辐射问题(辐射强度不是单体辐射的简单加和) (见第三章), 而且涉及由回波效应导致的自诱导透明和由原子能级相干结构调控导致的电磁诱导透明和暗态(见第六章)。这些工作为后来的量子信息存储和电子中继的研究提供了物理基础。

从量子光学的发展历史看, 其不仅探索光场的各种经典和非经典现象的物理本质,还探究光场与物质相互作用的非线性效应。由于高功率激光使得非线性光学效应容易被观察到, 因此二十世纪八十年代人们通过激光泵浦非线性晶体产生的自发参量下转换获得了双光子纠缠态。有了量子纠缠光源, 量子光学领域开展了许多有关量子力学基本规律的实验, 例如, 验证贝尔(Bell)不等式、惠勒(Wheeler) 的延迟选择实验等。在量子技术方面, 推动了量子通信和量子传感等相关研究领域的发展。

二十一世纪以来,半导体器件、计算机和电子技术的迅速发展, 大大拓宽了实验室对光现象精密探测的视野, 促进了实验量子光学的发展。量子光学也推动了其他新兴学科的发展。激光冷却技术可以操控和俘获原子分子, 实现了玻色—爱因斯坦凝聚, 这推动了冷原子物理和原子光学的发展。后者借鉴了量子光学中的理论方法来描述物质波。光学系统的量子非破坏测量、光信号的无噪声放大和克服真空涨落极限的压缩态的研究可用于极微弱信号的高精度光学测量,例如, 测量引力波。由于光传播速度快且不易受干扰的特性, 使得其成为最佳的信息载体。对电磁诱导透明模型的研究有助于解决光量子信号的存储问题,因此量子光学对光的量子本性的研究是现代量子信息技术、量子通信和量子计算的基础。

由于于敏先生的《量子光学讲义》成稿时间较早,为了知识体系和讲授逻辑的完整,并反映量子光学的当代发展,我们在整理该讲义时适当增加了若干个附录。

第一章关于高斯光束的讨论展示了经典光场具有不同于电磁场的模与态, 其中, 高斯光束(高斯模) 在量子光学中占据特殊的地位。在激光谐振腔中, 这种常见的具有束腰形状分布的光束是麦克斯韦方程在傍轴条件下的近似解, 高斯光束的传播方式与透镜相似。通过增加附录1A, 用于讨论透镜及其对高斯光束的变换, 补充了这方面的证明。

在第二章, 对相干态的讨论从自由电磁场的量子化开始。作为福克(Fock) 态的相干叠加态, 相干态有多种表示方法和应用。附录2A 补充了压缩态的详细讨论。就质量为m = 1, 频率为ω= 1 的谐振子而言, 在相干态|α⟩下, 动量的涨落Δp和坐标的涨落Δx有最小的不确定关系ΔxΔp=ℏ/2, 而且Δx=Δp。很容易想到有一个不同于|α⟩的态, 它的动量涨落Δp很大, 但Δx被压得很窄(小), 即对x测得很准, 这个态就是压缩态。二十世纪八九十年代后, 压缩态的研究是量子光学的热点和前沿问题, 它对量子测量很有用。在引力波的测量中, 压缩态的使用将大大提高测量精度。

第三章关于相干原子态的讨论是基于量子化电磁场与原子的相互作用。由于电磁场是量子化的, 单模电磁场也可以与多原子关联起来, 形成所谓的狄克多原子相干态, 因此它可以产生超辐射。也就是说, 一个原子的辐射可以被另一个在波长距离内的原子相干吸收, 导致光子辐射的群体效应。后来发现, 这种效应通常发生在原子和原子之间的有效耦合强度超过一定值的时候, 这个现象意味着某种量子相变, 今天我们称之为超辐射相变。

第四章讨论开式系统, 在与一个无穷自由度的大系统耦合时, 一个有限自由度的小系统可以视为开式系统。大系统—热池对小系统的影响是不可逆的。小系统的运动可以由布朗(Brown)运动描述, 在它的能量损失(耗散)到热池里的同时,它还受到一个随机的力。有各种方法可以描述这种运动, 而本书介绍的这些方法将被广泛地应用到激光理论和量子退相干的讨论中。

第五章介绍半经典激光理论。本章内容可以视为以前各章所讨论的量子光学理论的应用。它从光场与激光物质(我们可以把它想象成多个二能级原子) 的基本方程—兰姆方程出发, 在平均场的意义下, 把原子的算符处理成经典变量。这个做法能够描述激光如何从“真空”中产生, 但不能正确描述自发辐射、光子数的关联统计, 从而不能刻画激光谱为什么有内禀展宽。附录5A补充了半经典理论对锁模的描述。

第六章介绍了关于相干脉冲的传播—自诱导透明, 并给出了超辐射的进一步讨论。本章继续讨论激光光场和各种介质的相互作用对光本身传播的影响, 例如,自诱导透明、光子回波和群速度超光速等新奇量子相干现象。在附录6A中, 我们介绍了近年来研究的另一类群体相干效应—电磁诱导透明。当一束经典光和单模量子光分别与三能级Λ型原子耦合时, 通过经典光调控, 可以控制量子光状态在原子系统中的写入和读出。这个观念导致了量子信息存储和电子中继技术的发展。

第七章阐述量子激光理论。由于半经典理论的上述不足, 我们必须对激光的机理模型进行全量子处理。在这里, 原子自由度不再被描述成经典量, 由此不仅能正确描述激光产生的概率方程, 还能描述过渡阶段的原子演化、激光的固有线宽、自发辐射和光子数的关联统计等。

第八章“光之相干性”是量子光学的核心部分之一。由于原稿遗失, 我们补写了这一章, 其重要意义我们在“导读”开始就做了明确介绍。

第一章高斯光束 1

1.1 电磁场的模与态 2

1.2 高斯光束(高斯模) 4

1.3 厄米—高斯模 6

1.4 高斯光束的传播 7

附录1A 反射镜对高斯光束的变换 9

第二章相干态 13

2.1 自由空间中的电磁场的量子化 14

2.2 福克态 16

2.3 相干态 18