双范畴中的前函子 Double categories of profunctors|前函子|同构|定理|态射|离散性

双范畴中的前函子 Double categories of profunctors

https://arxiv.org/abs/2504.11099

摘要

我们通过引入一种新的双范畴余极限概念，刻画了由丰富范畴、函子和双模构成的虚拟双范畴。我们的刻画是严格的，即在虚拟双范畴之间达到等价，并且在对象层面达到丰富范畴的同构。本文始终在单位虚拟双范畴（而非双范畴或幺半范畴）中处理丰富化问题；为保持一致性并更好地可视化粘贴图，我们采用扩充虚拟双范畴作为双范畴概念的基本语言。

引言

形式范畴论的一个关键方面是对双模（profunctor）的研究。其行为传统上是通过伍德（Wood）所引入的“伴随箭装备”（proarrow equipments）[Woo82; Woo85] 来研究的。然而，最近人们开始转而使用（扩充的）虚拟双范畴，并期望它们能比伴随箭装备提供更精细的框架 [Kou24; AM24a; AM24b; AM25]。丰富范畴论是应用形式范畴论的一个典型舞台。

对于每个幺半范畴，我们可以得到一个 -丰富双模的虚拟双范畴，其中我们可以开展 -丰富范畴论。本文的目标是刻画这类丰富双模的虚拟双范畴。

我们不仅将在幺半范畴中，也将在双范畴 [Wal82] 中，甚至更进一步地，在虚拟双范畴 [Lei99; Lei02; Lei04] 中处理丰富化问题。由于虚拟双范畴的情形更为一般，并且包含了其他情形，我们将专注于在虚拟双范畴中的丰富化。除了幺半丰富的情形外，对于每个虚拟双范畴，我们都可以得到一个新的虚拟双范畴 -Prof，即在中丰富化的双模构成的虚拟双范畴。

在本文中，我们给出了与某个虚拟双范畴对应的虚拟双范畴 -Prof 的刻画。不仅 -Prof，我们还刻画了由虚拟双范畴上其他构造产生的虚拟双范畴 Mod() 和 -Mat。前者被称为“模构造”[Lei99; Lei04; CS10]，后者在双范畴语境下被称为“矩阵构造”。由于双模构造可以分解为它们，即 -Prof = Mod(-Mat)，因此这三个构造彼此密切相关。

我们的刻画策略与普通范畴论中对余完备性的刻画平行。回忆一下，在普通范畴论中，一个范畴在特定余极限下的余完备性由以下性质刻画：

它包含所有余极限；
每个对象都可以写成若干“原子”对象的余极限。

例如，当考虑滤子余极限时，“原子”对象恰好是有限可表示的对象；而对于余积，“原子”对象是连通对象。如果基础虚拟双范畴是单位的，则它可以完全嵌入到虚拟双范畴 -Prof 中（定理 2.77）。此处，中的对象被视为单对象 -范畴。然后，每个 -范畴都是通过粘合单对象 -范畴构造而成，并在虚拟双范畴 -Prof 中表现得像一个“余极限”，其泛性质向三个方向延拓（定理 4.2）。这一观察引导我们提出一种新的双范畴余极限概念，称为“通用拼接”（versatile collages），它精炼了 Street 关于双模的拼接构造。于是，-Prof 可被视为在这些余极限下对丰富基底的余完备化，我们由此得到了 -Prof 的一种类余完备化刻画（定理 4.26）。也就是说，-Prof 由以下性质确定：

它具有所有通用拼接；
每个对象都可以写成“拼接原子”对象的通用拼接。

除了单位性之外，我们的刻画定理还要求丰富基底满足“同构纤维性”（iso-fibrancy）。然而，当我们考虑在双范畴中的丰富化时，这些条件会自动满足。这表明，即使在双范畴丰富化的情形下，我们的定理仍是新颖的。

同样的策略不仅适用于双模构造，也适用于模构造和矩阵构造。对应于模构造的余极限概念称为“通用坍缩”（versatile collapses），而对应于矩阵构造的余极限概念称为“通用余积”（versatile coproducts）。这些类型的余极限被统一在一个更一般的概念之下，称为“通用余极限”（versatile colimits），这也是一种新的双范畴余极限概念，并涵盖了 Wood 在 [Woo85] 中研究的余极限概念。

备注 1.1。通用余极限（versatile colimits）理论中的一个核心要素是“余锥”（cocones）的概念，它应当被定义为一族 0-无元胞（0-coary cells），即其底部边界长度为 0 的胞。然而，除非虚拟双范畴是单位的（unital），否则它们无法自然地处理 0-无元胞。尽管我们所考虑的虚拟双范畴 X-Prof和 Mod(X)是单位的，但不幸的是，矩阵构成的虚拟双范畴 X-Mat却不是单位的。为克服这一局限性，我们采用扩充虚拟双范畴（augmented virtual double categories）作为发展通用余极限一般理论的框架。此外，我们将每个虚拟双范畴都视为一个扩充虚拟双范畴，并在全文中始终使用扩充虚拟双范畴的语言。尽管这是一种实验性的方法，但作者相信它能增强论文的连贯性，并统一我们对双范畴概念的处理。

相关工作。在双范畴中丰富化的双模双范畴曾由 Street [Str04] 以及 Carboni 等人 [CKW87] 给出刻画。我们的刻画是对 Street 工作的双范畴精细化，但在“严格性”（strictness）方面与前述工作有显著不同。事实上，我们的刻画是严格的：在（扩充）虚拟双范畴之间达到等价，并且在对象层面达到丰富范畴的同构。而先前的刻画则是在双范畴之间达到双等价（biequivalence），因此在对象层面仅达到范畴的 Morita 等价。

大纲。第 2 节首先引入扩充虚拟双范畴的基本概念，作为本文的基础语言；接着回顾来自 [Lei99; Lei02] 的虚拟双范畴中的丰富化理论，并讨论其双范畴性质。

第 3 节发展通用余极限的一般理论——这是一种新的双范畴余极限概念。我们将证明单位性定理（Theorem 3.31）和强性定理（Theorem 3.48），它们刻画了通用余极限的行为。特别是后者将在我们的刻画定理中发挥关键作用。

第 4 节致力于刻画丰富双模的虚拟双范畴（Theorem 4.26）、模的虚拟双范畴（Theorem 4.28）以及矩阵的虚拟双范畴（Theorem 4.27）。这些是本文的主要定理。我们还将把这些结果应用于切片虚拟双范畴。此外，我们还探讨了关于通用余极限的终性（finality）概念（附录 A），这为我们提供了自然的洞察，尤其是在虚拟装备（virtual equipment）的情形下（附录 B）。然而，由于不依赖终性概念即可得到主要定理，故将其移至附录。

记号与术语。

备注 1.2。在本文中，我们将根据扩充虚拟双范畴中紧箭头（tight arrows）的方向来使用“左”和“右”这两个术语。也就是说，给定一个紧箭头，我们称其左侧为“左”，右侧为“右”。由于紧箭头通常以向下的方向书写，因此我们的约定与观看图表时对左右的自然视觉感知相反。

2.1. 扩充虚拟双范畴
2.1.1. 扩充虚拟双范畴的 2-范畴

注记 2.53。对于一个大集合 S，我们用 S（分别地，S；ℙS）表示由离散范畴 S 得到的松散离散（分别地，AVD-非离散；VD-非离散）大 AVDC，参见注记 2.52。

注记 2.54。设 1 表示单元素集，设是一个 AVDC。 (i) 一个 AVD-函子 1 → 等同于中的一个对象。 (ii) 一个 AVD-函子 1 → 等同于中带有一个选定松散单位的对象。 (iii) 一个 AVD-函子 ℙ1 → 等同于中的一个幺半对象。

以下定义有助于同时处理两种“非离散性”。

定义 2.55。一个 AVDC 被称为松散非离散的，如果：

对于任意对象 A, B ∈ ，存在从 A 到 B 的唯一松散箭头。
对于任意 1-元胞的边界，存在唯一填充它的胞。
对于任意 0-元胞的边界，至多存在一个填充它的胞。

注意，无论是松散 AVD-非离散性还是松散 VD-非离散性，都蕴含松散非离散性。

令人惊讶的是，在一个松散非离散的 AVDC 中，几乎所有胞都因图示原因而成为笛卡尔胞。为证明这一点，我们引入一种特殊类型的“绝对”笛卡尔胞。

扩充虚拟双范畴中的余极限

3.1. 余锥、模与模化。为了在 AVDC 中给出“余极限”的概念，我们考虑三个方向（左、右、下）各自的“余锥”。向下方向的“余锥”称为紧余锥（tight cocones），而左右方向的“余锥”则分别称为左模（left modules）和右模（right modules）。此外，我们还考虑它们之间若干类型的态射，称为模化（modulations）。“模”（module）和“模化”（modulation）这两个术语源于 [Par11] 中本质上相同的概念。

令表示仅包含两个对象 0、1 及唯一一个松散箭头 0 ⇀ 1 的 AVDC。令 Set 和 SET 分别表示小集合范畴和大集合范畴。若范畴和是大的，且双模 P 是局部大的，则给出 P 的一个通用余极限，其中 P 被视为从到 SET-Prof（大范畴的 AVDC）的一个 AVD-函子。当双模 P 是局部小的时，仍在 (Set, SET)-Prof（大范畴与局部小双模的 AVDC）中给出一个通用余极限 [Kou20, 2.6. Example]。这提供了一个没有松散单位的通用余极限的例子。

3.3. 通用余极限概念的刚性。

定义 3.34。 (i) 在 AVDC 中，一个可逆的紧箭头若为拉回态射，且其逆也为拉回态射，则称为可容许的（admissible）。这样的紧箭头也被称为可容许同构（admissible isomorphism）。若两个对象之间存在一个可容许同构，则称它们是可容许同构的（admissibly isomorphic，彼此之间）。 (ii) 一个可逆的紧 AVD-变换若其每个分量都是可容许的，则称为可容许的。

(iii) 在 2-范畴 AVDC 中，若一个等价所关联的可逆紧 AVD-变换是可容许的，则该等价称为可容许的。若两个 AVDC 之间存在一个可容许等价，则称它们是可容许等价的（admissibly equivalent，彼此之间）。

定义 3.35。一个 AVDC 若其每个可逆紧箭头都是可容许的，则称为同构纤维的（iso-fibrant）。显然，任意两个同构纤维 AVDC 之间的等价都是可容许的。

双模双范畴的公理化

4.1. 丰富范畴的形式构造。

注记 4.1。设是一个具有松散单位的 AVDC，令是一个 -丰富的大范畴。我们现在将视为一个 AVD-函子 : ℙ(Ob) → ，如命题 2.71 所述，其中 Ob 表示中对象所构成的大集合。然后，我们通过后复合嵌入 Z（如注记 2.73 所述）得到一个 AVD-函子 F: ℙ(Ob) → -Prof：