简介

采用反馈回路的自动控制系统（即将系统输出反馈至输入端）古已有之，如今已成为现代技术中不可或缺的组成部分。James Clark Maxwell 在150多年前发表的《论调节器》[1]中，首次尝试严谨地描述应用反馈的控制回路。

在控制策略中，开环控制系统是控制器根据预定的输入值来确定控制动作，不依赖任何反馈。相比之下，闭环控制器包含持续的反馈机制，能够进行实时调整，以提高精度、稳定性和鲁棒性，使其更适合在不断变化的条件下实现所需的控制目标。

目前，应用最广泛的闭环控制系统是比例-积分-微分 (PID) 控制器。这类控制器持续测量并调整系统输出，使其与所需的设定点（即目标过程或系统的给定目标状态）相匹配。由于 PID 控制器几乎不需要系统的先验知识或模型，因此具有极强的通用性、成本效益高且易于实现。它们可应用于多种过程：从液压气动、模拟电路到数字电子技术。

因此，PID 控制器广泛应用于各种工业和研究领域，包括制造业、光子学、传感器、材料科学和纳米技术。

PID 控制回路在日常生活和工业自动化中无处不在，例如智能手机和自动驾驶汽车中的陀螺仪、用于烹饪或处理样品的烤箱、管道中的流量控制器，甚至用于管理交通。

同时，它们在一些前沿研究领域也十分突出，例如光学和光子学中对激光腔和干涉仪的稳定、基于 MEMS（微机电系统）陀螺仪的闭环控制，以及扫描探针显微镜 (SPM) 中机械谐振器的表征。

本文将介绍 PID 控制回路的关键功能和原理，通过分析其基本构成模块，描述其优势和局限性，并概述整定和设计策略，以及如何通过苏黎世仪器的锁相放大器轻松实现。

PID工作原理与构成模块

PID 控制器的目标是生成一个控制信号 u(t)，用以动态地最小化系统输出 y(t) 与所需的设定点 r(t) 之间的差异。

如图1所示，在一个典型的控制方案中，首先将系统输出 y(t) 反馈回来，并通过比较器与设定点 r(t) 进行比较，生成随时间变化的误差信号 e(t)=r(t)−y(t)。随后，环路控制器对该误差信号进行最小化处理，并生成控制信号 u(t)。该控制信号被施加到执行机构上，驱动系统输出，从而启动闭环操作。为了持续最小化误差，除了考虑当前误差外，考虑其随时间累积（积分项）和其未来趋势（微分项）也至关重要，如图2所示。

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图 1. 最通用形式的 PID 控制回路示意图。

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图 2. 误差函数示例，突出显示了 P、I 和 D 三项的贡献。

在最一般情况下，误差最小化是通过 PID 控制器环路控制器的三个主要部分实现的：比例项、积分项和微分项。

在数学上，最一般形式的完整控制函数可以写成这三个独立贡献项的总和：

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其中 Kp、Ki 和 Kd 分别是与比例项、积分项和微分项相关的增益系数。

比例项

比例项（用 P 表示）基于系统设定点与测量的系统输出之间的瞬时误差。这一项通过施加与误差幅度成正比的校正，帮助将系统输出快速拉回设定点，从而减少控制信号的上升时间，如图3所示。误差越大，比例项施加的校正越大；在固定 KP 的情况下，误差越大，uP(t) 越大。由于 P 项需要非零误差才能产生输出，因此其本身不能完全消除误差。系统达到稳态时，会残留一个固有的稳态误差（或称静差）。

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图 3. 比例项的影响。增加Kp系数可以缩短上升时间，但稳态误差永远不会等于零。此外，比例项增益值过高可能会导致输出振荡。

积分项

积分项（用 I 表示）施加一个与误差的时间积分（即误差的累积历史）成正比的校正。如果误差持续累积，积分项会持续增大，导致对系统输出施加更大的校正。与比例项不同，积分项能够使控制器在瞬时零误差的条件下，也能产生非零的控制信号。这一特性使控制器能够将系统精确地带到所需的设定点，彻底消除稳态误差。其效果如图4所示。

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图 4： 在Kp=1恒定的情况下，积分项的影响。增加Ki，响应速度会更快，但如果值增加太多，也会导致更大的振荡和超调（绿色曲线）。

增大积分增益系数 Ki 的值，会增加累积误差对控制信号的贡献。这意味着如果存在稳态误差，具有较大 Ki 的积分项将比小的积分项更快地驱动控制信号以消除误差。

然而，过度增加积分项会导致输出振荡。如果累积了过多误差，可能导致控制信号超调并在设定点周围产生振荡。这种现象有时被称为积分饱和[2]。

微分项

微分项（用 D 表示）通过施加与误差对时间的导数（即其变化趋势）成正比的校正来控制误差。这有助于减少误差的变化率，从而提高控制回路的稳定性和响应速度。其目的是预测误差信号的变化：如果误差呈上升趋势，微分项会尝试补偿，无需等待误差变得显著（比例动作）或持续一段时间（积分动作）。

在 PID 的实际实现中，微分项有时会被省略，因为它对输入信号的质量高度敏感。当控制信号中信号噪声较大或设定点快速变化时，误差的导数往往会变得非常大，导致 PID 控制器输出急剧变化，可能引起控制回路的不稳定或振荡。

为了提高稳定性，一种缓解策略是使用低通滤波器对误差信号进行预处理。然而，低通滤波与微分控制在频率响应上相互抵消，因此只能进行有限量的滤波。如果经过正确校准且系统具备足够裕度，微分项可以对控制器性能做出决定性贡献。微分项的效果如图5所示。

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图 5： 微分项的目的是增加系统的阻尼。然而，如文中所述，过大的Kd值可能会使系统不稳定或振荡。图中曲线是在保持比例和积分增益恒定（Kp=4 和 Ki=1 s−1）的情况下获得的。

每个项对系统响应的影响在很大程度上取决于系统的动态特性。

因此，可以调整 Kp、Ki 和 Kd 增益的权重来微调控制回路的性能，以实现所需的响应速度和准确性。

某些应用或简单系统中，可能只需要PID控制器三个控制项中的一个或两个。要仅使用这些项的一部分来操作控制器，只需将未使用的项增益设为零，即可得到 PI、PD、P 或 I 控制器。

例如，PI 控制器在优先考虑消除稳态误差和系统稳定性，而非极快响应时间的应用中很常见，因为它们的动态响应相对较慢。一个典型的例子是烤箱温度控制，通常使用 PI 控制器来确保精确的温度调节并消除任何稳态偏移，考虑到烤箱系统较慢的热响应特性。

初始参数推导（整定）

PID 控制器的主要优势之一是它们可以在不了解系统或没有详细模型的情况下实现。由于其启发式的校准程序，可以仅基于在校准过程中进行的简单实验测试来计算系数。尽管如此，PID 参数的初始整定可能是一项复杂的任务。

存在几种成熟的方法来推导初始系数集，其中许多涉及测量系统的开环特性参数。

开环指的是在没有任何反馈控制下系统的行为，即有一个输入信号输入系统，仅测量结果输出，但不反馈到输入。输入信号可以是阶跃信号、斜坡信号、正弦波或任何其他适合被控系统的信号类型。系统的输出作为时间的函数被记录下来，并可以进行分析以确定系统的响应特性，例如其时间常数、自然频率和阻尼比。

寻找初始参数的一般策略通常包括三个步骤：

  1. 获取系统的开环响应并测量一些特征参数，例如系统输出的振荡周期和过程延迟。

  2. 基于测得的参数，计算增益系数 Kp、Ki 和 Kd 的粗略值。

  3. 调整 PID 增益系数以优化控制回路的噪声抑制、速度或鲁棒性。

一些最广泛应用的粗调技术是 Ziegler-Nichols 方法[3]、Cohen-Coon 方法[4]、继电反馈方法[5]和 Tyreus-Luyben 方法[6]。

在表1中，概述了一个基于 Ziegler-Nichols 方法的初始整定过程示例：

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表 1： 基于 Ziegler-Nichols 方法的 PID 控制器初始整定的逐步程序。

模拟和数字 PID 控制器

近年来，由于现场可编程门阵列 (FPGA) 技术、微处理器和数字信号处理技术的出现，数字 PID 控制器（连同许多其他数字工具）在许多方面已经超越了其模拟对应物。特别是，数字形式的 PID 控制具有易于通过算法实现并由微控制器设备执行的巨大优势。这极大地提高了其灵活性、性能和可处理应用的数量。

数字和模拟 PID 控制器在处理信号和执行控制操作的方式上有所不同。模拟控制器使用连续信号和模拟器件（如运算放大器和电阻器）来执行计算并生成控制信号。相反，数字 PID 控制器对信号进行采样和数字化，执行计算并输出离散的控制信号。数字信号处理技术的使用使得数字控制器能够执行更复杂的控制算法，从而避免了额外的模拟电路。模拟电路的物理特性可能会随时间漂移，从而降低控制操作的质量。

此外，数字控制器可以轻松实现配置的保存/调用以及与其他数字系统的集成，从而增加了其对更多控制问题和应用的适应性。

与所有数字信号处理实现一样，数字 PID 控制器最常见的问题与量化和采样有关。在离散时间间隔内操作时，合理选择采样速率对于避免诸如混叠之类的伪影并确保精确控制至关重要。此外，在数字化平台（例如 FPGA 或微处理器）上实现算法可能成本更高，并且需要额外的技术专长以及对用于信号计算和调理的相应数值方法的仔细评估。

最终，模拟和数字控制器之间的选择通常取决于应用要求、可用资源和所需的性能。

表2提供了两种方法优缺点的概述。

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表 2： 模拟和数字 PID 控制回路之间的比较。

苏黎世仪器为其锁相放大器、阻抗分析仪和 Boxcar 平均器提供数字 PID 控制器作为升级选件。仪器的集成架构允许用户从多种不同的输入和输出信号中选择 PID 的信号源。此外，通过选择解调信号作为 PID 控制器的输入，用户可以获得以下优势：

  • 增强信噪比和稳定性： 解调将所需信号与噪声和干扰隔离，为控制器提供更“干净”的输入信号。

  • 提高灵敏度并改进系统响应： 锁相检测放大微弱信号，实现更精细的调整，并增强 PID 控制器对细微变化的响应能力。

  • 消除不需要的频率分量： 解调滤除原始信号中存在的不需要的频率分量，从而实现更准确和高效的控制。

如图6所示，可选择的信号包括解调信号的幅度、相位（借此可构建所谓的锁相环，简称 PLL[7]）、正交分量（Q分量）和同相分量（I分量）、Boxcar 输出以及辅助输入和输出。集成的数字信号处理保证了最大的信噪比、最小的反馈回路延迟和高稳定性的闭环反馈操作。反馈信号可作为模拟输出使用，也可以直接应用于内部信号发生器输出以控制其幅度、频率、偏置和相位。

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图 6： 苏黎世仪器锁相放大器中 PID 控制器的数字处理架构。根据具体应用，可以使用不同的输入和输出信号。

数字化处理使得可以在同一仪器上嵌入多个 PID 控制器，其输入和输出可以以串联或并行方式配置使用，即它们彼此独立或级联连接。

鉴于图6所示的架构类型，锁相放大器中嵌入的 PID 选件增强了仪器的多功能性，使其适用于各种应用，即使特定应用需求可能彼此显著不同。

如前所述，确定 PID 控制器的适当起始参数条件及其优化可能是一项具有挑战性的任务。苏黎世仪器提供的与硬件对接的软件 LabOne® 提供了几种工具来简化 PID 控制器的设置和优化过程，使 PID 参数优化过程更高效、更直接。

LabOne 工具（如 Sweeper 参数扫描仪、PID Advisor 和 Autotune PID 参数自动整定）可以帮助用户实现 PID 控制回路，根据所需的性能提供直观可调的带宽、速度和初始整定参数。

例如，Sweeper 可用于通过扫描信号获得被测设备 (DUT) 的开环响应，然后 PID Advisor 基于预设的传递函数和通过 Sweeper 测量获得的 DUT 开环特性选择初始反馈增益参数。在闭环后，为了最小化残余误差信号并增强控制性能，可以将 Auto Tune 功能应用于反馈信号以动态调整反馈增益参数。

此外，由于 LabOne 支持最流行的编程语言（Python、C/C++、MATLAB®、LabVIEWTM 和 .NET），在设置控制回路及其后续优化和改进时确保了最大的灵活性。

挑战与权衡

尽管 PID 控制器的多功能性和简单性使其能够应用于许多控制问题，但它们受到一些限制，并且无法提供所谓的最优控制。最优控制指的是最小化或最大化用于测量受控系统性能的某个标准（有时称为成本函数）的一组控制信号，例如最小化能耗。

具体而言，PID 控制器滞后性的性质（即不使用系统的明确模型来生成控制系数）使得它们对系统动态的变化敏感，并且可能需要仔细调整以实现所需的性能。一些典型的缺点可能包括：

  • 如果系统具有复杂或非线性的传递函数，性能会下降。在这些情况下，可能需要更先进和计算量大的基于模型的控制方法，例如状态空间控制或 H-infinity 控制[8]。

  • D 项对噪声和干扰信号的显著敏感性，影响控制回路的稳定性和准确性。可以应用缓解策略来部分解决这些问题——例如省略 D 项分量或对其进行低通滤波。

  • 对死区时间或相位延迟的敏感性，即控制回路对系统或设定点变化做出响应所需的时间。如果相位延迟太大，控制回路可能变得不稳定并开始振荡或表现出其他不良行为。

  • 执行器饱和： 由于执行器的物理限制（例如，电机不能提供超过其最大扭矩的力），会在过程中引入非线性，从而影响物理系统。诸如抗积分饱和或设定值加权之类的技术可以帮助缓解这些问题，且只需对控制回路进行相对较小的修改[9]。

环路带宽

设计 PID 控制器时要考虑的另一个重要因素是环路带宽或闭环带宽。该带宽是控制回路可以有效控制系统的频率范围。宽带环路对设定点或系统的变化响应迅速，但也更容易出现振荡和超调。相比之下，窄带环路对设定点的变化不太敏感，并且可以以较慢的响应时间为代价提供更平稳和更准确的控制信号。

鉴于速度和精度之间的这种权衡，理解所考虑应用的要求对于选择合适的环路带宽至关重要。宽带环路可能在需要快速响应的应用中更受欢迎，例如电机或其他机械系统的控制。相反，窄带环路可能在稳定性更重要的应用中表现最佳，例如化学过程的控制或其他具有长时间延迟的系统。

结论

由于能够在不详细了解其动态的情况下，准确快速地调整系统的输出，PID 控制回路已成为在各种应用中保持输出稳定性和可预测性的强大且广泛使用的工具。在本文中，我们回顾了这些控制系统的基本原理和特性，并对其功能、参数整定策略、优势和权衡进行了深入探讨。

苏黎世仪器的锁相放大器凭借其集成于一体的架构，允许用户充分利用数字 PID 控制回路的所有优势，从而可以调整控制回路的操作，以满足不同用例的需求。

参考文献

[1] Maxwell James Clerk 1868. On governors, Proc. R. Soc. Lond.16270–283
[2] Y. Tian and D.P. Atherton. Analysis and Design of Reset Control Systems. Institution of Electrical Engineers, 2004.
[3] Ziegler, J. G., & Nichols, N. B. (1942). Optimum settings for automatic controllers. Transactions of the ASME, 64(6), 759-768.
[4] Cohen, H., & Coon, G. A. (1953). A linear operator approach to the analysis of closed-loop servomechanisms. Journal of the Franklin Institute, 256(6), 489-512
[5] Åström, K. J., & Hägglund, T. (1995). PID controllers: Theory, design, and tuning (2nd ed.). Instrument Society of America.
[6] Luyben, W. L. (1990). Plantwide control: Some practical considerations. Chemical Engineering Progress, 86(4), 49-53.
[7] Phase-Locked Loops for Analog Signals, White Paper
[8] F. Lin, H. Yang, and Z. Lin. Robust Control Design: An Optimal Control Approach. CRC Press, 2013.
[9] T. Hagglund and K.J Astrom. PID Controllers: Theory, Design, and Tuning. Instrument Society of America, 1995.

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