导出范畴中陪域提升固定的态射形变理论|关于|同伦|定理|态射形变理论

https://arxiv.org/html/2511.10312

Deformation theory for a morphism in the derived category with fixed lift of the codomain

导出范畴中具有固定值域提升的态射的形变理论

摘要：

我们针对复形之间的态射（其陪域具有固定提升）发展了形变–阻碍演算，并将其推广至阿贝尔范畴的平坦幂零形变的导出范畴中。作为应用，我们给出了一个替代性证明：在光滑真态射的概形族中，半正交分解具有唯一的形变。

1 引言
阿贝尔范畴的形变理论，以及描述该理论的形变–阻碍演算，最初在文献 [8, 9] 中提出。随后，文献 [7] 进一步发展了将对象提升至阿贝尔范畴的平坦幂零形变（的导出范畴）的形变理论。本文则推进至下一步：针对复形态射（其陪域具有固定提升）的情形，建立其在阿贝尔范畴的平坦幂零形变的导出范畴中的形变–阻碍演算。

作为该新型形变理论的一个应用，我们给出半正交分解之形变唯一性的另一种证明——这一结论是文献 [1] 中的关键组成部分。

设定与记号 由于本文理论是对文献 [7] 中形变–阻碍理论的推广，我们将沿用该文献中的记号与术语。我们固定一列诺特环（或凝聚环）之间的满射序列：

在单射对象的同伦范畴中形变态射
类似于文献 [7] 中的方法，我们将首先证明关于线性范畴及其形变的同伦范畴的结果（见第 2 节），然后将其限制到描述我们所关心的导出范畴的适当子范畴上（见第 3 节）。为此，我们将借助文献 [7, §6] 中的比较机制，该机制解释了子范畴的提升群胚如何与环境范畴的提升群胚相关联。

我们的第一个定理是以下形变–阻碍结果，将在第 2 节中证明。它是在格罗滕迪克范畴及右限制函子的框架下表述的——这也是文献 [7] 中所采用的设定（但与我们最终感兴趣的设定是对偶的）。

在下文中，记号 K(−)指的是一个加法范畴的复形的同伦范畴（当应用于范畴时），或指诱导于同伦范畴之间的函子（当应用于函子时）。

H⁻¹ 的消失是涉及更高结构的导出形变理论的一个影子，它也出现在文献 [7] 中。我们在此处避免展开这一理论，因为我们当前的应用并不需要它（而且很可能我们的非同伦工具并非处理它的最佳选择）。

注 1.2。定理 A 通过考虑三角形，恢复了文献 [7, 定理 5.7] 中的对象形变理论（在单射对象的同伦范畴版本中）。

并且，零对象的固定提升仍是零对象。

为达到我们的目的，我们需要定理 A 的对偶结果，即关于沿左限制函子（由张量积给出）提升的情形。该结果在定理 2.10 中给出。

导出范畴中的态射形变
定理 A 和定理 2.10 在抽象而一般的设定下已经是很有用的结果。然而，正如例 1.1 所示，我们感兴趣的是使用左限制函子；但准凝聚层的范畴并非余格罗滕迪克范畴。人们可以取准凝聚层范畴的 Pro-完备化，使其成为余格罗滕迪克范畴，但随后需要理解原导出范畴中的形变理论与此 Pro-完备化的导出范畴之间的相容性。这一问题在文献 [7, §6] 中针对对象已得到解决。在第 3 节中，我们将推导出适用于态射的版本。

我们的主要目标是定理 2.10 的以下推论，它具有明确的代数几何意义。

推论 B。考虑例 1.1 中的情形。设有一个正合三角形：