导语
一个简单的方程，能够容纳宇宙的复杂吗？那些需要超级计算机日夜运算的解析解，会不会在更高的维度里不过是某种一目了然的几何图形？当我们追踪非线性动力系统在时间中的演化轨迹，看到的是混沌、分岔和永不重复。但如果转换视角呢？当我们从时间序列走向相图，从一维数据步入二维状态空间，原本不可捉摸的混沌竟显露出优雅的几何结构——那些看似随机的波动，在相图中划出抛物线的弧度；而吸引子则在蛛网图中呈现分形的图案。更令人惊奇的是，同样的数据，混沌系统呈现规则的抛物线结构，而纯随机过程只剩下杂乱无章的噪声——可视化瞬间揭示了确定性与随机性的本质差别。
本文以Logistic映射为例，借助时间序列图、相图、分岔图和蛛网图等可视化工具，带您领略非线性动力系统从混沌到秩序、从不可预测到清晰可辨的奇妙转变。
关键词：非线性动力学，吸引子，混沌，分形，自相似，相图，蛛网图
陶如意丨作者
周莉丨审校
论文题目：Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction 论文地址：https://www.mdpi.com/2079-8954/4/4/37
在当代科学研究中，非线性动力系统无处不在，却又因复杂的行为模式难以解析。从滴水的水龙头到城市的发展变迁，从心率的波动到经济市场的起伏，这些看似毫无关联的现象，背后都隐藏着非线性动力系统的规律。混沌理论作为非线性动力系统研究的核心分支，打破了 “简单系统必可预测” 的固有认知。然而，由于非线性方程组解析求解的巨大难度，长期以来，科学界在该领域的研究进展缓慢。本文以logistic映射为核心模型，借助可视化方法，为跨学科研究者打开了理解非线性动力系统的大门，同时推出开源 Python 工具包 Pynamical，为相关研究提供了实用工具。本文的主要贡献体现在三个方面：
第一，梳理并向跨学科的系统研究学者传播用于非线性动力系统行为定性分析的先进可视化技术；
第二，借助可视化介绍非线性动力学、混沌、分形、自相似性及预测局限性的基础理论；
第三，推出开源 Python包Pynamical，简化非线性动力系统的可视化与探索。
以Logistic为例——非线性动力系统的基本概念
logistic是一个常见的 S 型逻辑函数，用于描述种群增长过程：种群先缓慢增长，随后快速增长，最终因达到环境承载能力而趋于稳定 。逻辑映射采用差分方程，研究离散的时间步长。其公式为：
xt+1 = rxt(1-xt)
其中x表示某一时间t的种群数量，r表示种群数量生长率。因此，任意时刻的种群数量是增长率参数和前一时间步种群数量的函数。若生长率过低，种群将逐渐灭绝；生长率较高时，种群可能趋于一个稳定值，或在一系列种群繁荣与衰退的状态间波动。
逻辑映射是一个简单的一维离散方程，但却表现出了典型的复杂性为。种群数量的演化会随着生长率的不同而发生变化。图1是由 Pynamical 生成的时间序列图，横轴表示时间（世代），纵轴表示系统状态（种群数量），展示了种群数量随着生长率的变化而展现出的不同行为：例如，代表生长率r=0.5的紫色曲线迅速降至 0，表明种群灭绝；代表生长率r=2的青色曲线稳定在 0.5 的种群数量水平。生长率r=3和r=3.5的情况更为有趣：r=3的绿色曲线似乎缓慢趋近于一个稳定值，而r=3.5的黄色曲线则在四个不同值之间反复波动。
图1. logistic隐射时间序列图，不同的7个参数条件下的20次迭代。
这可以引出吸引子的概念。吸引子是系统随时间推移最终趋于的某个值或一组值。当r=0.5时，系统存在一个固定点吸引子（种群数量为 0），如紫色曲线所示。也就是说，随着模型迭代，种群数量会逐渐趋向于 0 这一稳定平衡状态 —— logistic方程将固定点吸引子的值映射到其自身。当r=3.5时，系统在四个值之间波动，如黄色曲线所示，这种振荡的吸引子被称为极限环。
然而，当参数r超过 3.57 时，混沌现象开始出现，具体表现为种群数量无限振荡，既不重复先前的行为，也不趋于稳定状态。这种奇怪的状态被称为奇异吸引子（strange attractor），系统会围绕奇异吸引子无限振荡。奇异吸引子不会产生重复值，且其结构具有分形特征 —— 无论放大多少倍，在任何尺度下都能观察到相同的模式——这一点我们将在下一部分再详细展开。
分岔图：分形与奇异吸引子
分岔图是一个展示混沌现象更好的方式，分岔图能将系统的吸引子可视化为参数的函数。图2就展示了logistic映射吸引子如何随着生长率r变化。从图 2 中可以观察到：当生长率小于 1 时，系统最终总会趋于 0（种群灭绝）；当生长率在 1 到 3 之间时，系统总会趋于一个精确的稳定种群值。例如，在生长率r=2.5对应的垂直切片上，仅呈现一个种群值（0.6），这与图 1 中r=2.5对应的曲线最终稳定的数值完全一致 —— 在该参数值下，系统的吸引子是population= 0.6处的固定点。然而，对于某些生长率（如 r=3.9），图 2 中的切片呈现出 100 个不同的值，即每个迭代的种群值都不同，此时系统既不趋于固定点，也不趋于极限环。
图2. 100次迭代的Logistic映射的分岔图。图中展示了参数值在0到4之间的1000个不同的参数值。每个生长率对应的纵坐标描述了该生长率下系统的吸引子
这之所以被称为分岔图，是因为这在生长率变化的过程中，吸引子数量增多，且是连续地发生变化，就表现为一个吸引子“分岔”成了两个。其实，这对应着动力系统系统的相变——从一种行为（如固定点吸引子）转变为性质完全不同的另一种行为（如周期 2 的极限环吸引子），当生长率超过 3.57 时，分岔频率不断加快，最终系统能够遍历所有可能的种群值，这一过程被称为 “周期倍分岔通向混沌”。随着增长率参数的增大，Logistic映射会依次在 2 个、4 个、8 个、16 个、32 个……（直至无限多个）种群值之间波动。当生长率达到 3.99 时，分岔次数已多到系统会在所有种群值之间随机跳跃 —— 这里的 “随机” 只是表面现象，实际上该模型遵循严格的确定性规则，只是由于吸引子的周期无限长，才表现出随机性。这就是混沌：具有确定性，且无周期性。
混沌和分形之间存在深刻的联系。奇异吸引子就具有分形结构。分形是具有自相似性的图形 —— 在任何尺度下观察，都能发现与整体相似的局部结构。放大分形图像，会看到更小的 “复制品”，其结构与宏观整体一致。如果我们将图2放大，会发现放大后的图像和放大前的结构惊人地一致。事实上，无论将该可视化结果放大多少倍，在越来越精细的尺度上，我们始终能看到相同的结构和模式，如图3所示。所以，Logistic映射的分岔图（及其吸引子）具有分形特征。实际上，这一结论可以推广至所有的混沌系统。混沌系统的奇异吸引子往往都具有分形特征。
图3. 对图2不同程度的放大
相图：状态空间
另一种可视化非线性时间序列的方法是相图。简单来说，相图以t时刻的系统值为横轴，以t+1时刻的系统值为纵轴，为我们观察系统的定性行为提供了直观视角。相图的巧妙之处在于，它能将Logistic映射的一维时间序列数据嵌入到二维状态空间中 —— 状态空间是一个"假想"的空间，以系统变量为维度。状态空间中的每个点代表系统的一个状态（即一组变量值）。传统的系统分析往往侧重于如图 1 所示的时间序列可视化，而非线性动力学则更关注状态空间的可视化。尽管现实世界中的系统很少能被完全观测，但通过恰当重构的状态空间，仍能呈现系统完整的真实动力学行为。
logistic映射稳定运行后的相图如4所示，横坐标是t时刻的种群数量，纵坐标是t+1时刻的种群数量。图4从A到D分别展示了固定吸引子（状态空间仅一个点）、四周期极限环（状态空间四个点）、8个周期极限环（状态空间8个点），以及随着生长率提高，吸引子迅速增多的现象。
图4. Logistic200次迭代的相图，四个子图代表不同的生长率
随着生长率的进一步增大，我们可以逐渐清晰地到混沌系统的结构特征。表现出混沌行为的生长率对应的曲线呈抛物线状，但曲线中存在一些间隙 —— 这些间隙对应系统偶尔回归周期行为的情况。从相图中我们也可以看到奇异吸引子的存在：系统虽受到某种奇特的约束，但不再趋于固定点或极限环，而是在不同种群值（即抛物线上的点）之间无限波动，且从不重复任何一个值。无法预测任意两个连续观测值在抛物线上是靠近还是远离。此外，由于分形几何特征和Logistic映射的确定性，图 5B 中的抛物线永不重叠。
图5. 图A展示了生长率r=3.9时系统的吸引子；图B则可视化了 3.6 到 4 之间（混沌区域）的 50 个增长率参数值，每个值对应一条彩色曲线。
相比于状态演化图，使用相图可以非常清晰地看出混沌系统的结构。以图6左图中的两条时间序列为例：两条曲线看似都在随机波动，但红色曲线代表随机数据，蓝色曲线则来自生长率r=3.99时的Logistic模型 —— 这是确定性混沌，但从时间序列轨迹中很难与随机性区分。而在图6的右图中，我们用相图而非时间序列图来可视化这两组数据，就能清晰观察到系统的定性行为：混沌系统受奇异吸引子约束，呈现出规则结构；而随机数据则仅表现为杂乱的 “噪声”，无任何规律可言。
图6. 混沌动力学和随机动力学的区别
1蛛网图：吸引域、李雅普诺夫指数与初值敏感
蛛网图是一种特别适合揭示一维映射定性行为的可视化技术，可用于分析这类系统在递归迭代下的长期演化。
图 7 中由 Pynamical 生成的蛛网图包含三条线：灰色的对角线（代表y=x）、红色的曲线（代表特定参数值下的Logistic映射y=f(x)）和蓝色的蛛网轨迹线。蛛网图的绘制步骤如下：
1. 在横轴上找到初始种群值对应的点(x,0)（本文中初始值均为 0.5），从该点垂直向上连接到红色的映射曲线，得到新点(x, f(x))；
2. 从该新点水平连接到灰色的对角线，得到点(f(x), f(x))；
3. 从该点垂直连接到红色的映射曲线，得到点(f(x), f(f(x)))；
4. 重复步骤 2 和步骤 3，进行递归迭代。图 7 中的蛛网图均迭代了 100 次。
图 7A 和图 7B 中的蛛网图显示，系统分别趋于 0 和 0.65 处的固定点吸引子；图 8C（生长率r=3.5）中，系统在极限环吸引子的四个点之间波动，蛛网图呈现出矩形闭合回路，回路与红色曲线的交点，与图 4B 中吸引子的点完全一致（这两个图的参数r都是3.5）；最后，图 7D 可视化了增长率r=3.9（混沌区域）时系统的行为 —— 混沌轨道在图中布满矩形，形成无限多条不重复的轨迹，构成整个图中的分形蛛网结构。
图7. logistic映射的蛛网图。四个子图对应着四个不同的生长率。
蛛网图可以直接用来观察吸引域——即系统动力学行为会将该区域内的所有点逐渐拉向吸引子。图 8 显示，当生长率r=2.7时，Logistc映射的吸引域将三个不同的初始种群值（0.1、0.5、0.9）都拉向同一个固定点吸引子。由于吸引域内存在多个可能的初始点，系统的初始状态最终会变得无法追溯 —— 我们无法确定系统最初是从吸引域内的哪个点开始演化的。
图8. 相同的生长率，不同的初始值。在参数r=2.7的条件下收敛于固定值。
与之相反，混沌系统的特征是对初始条件的敏感依赖性。其奇异吸引子具有全局稳定性和局部不稳定性：虽然存在吸引域，但在奇异吸引子内部，初始时无限接近的点会随时间推移逐渐发散，且始终不会脱离吸引子的范围。这种发散程度可通过李雅普诺夫指数来衡量，其计算方法由沃尔夫等人提出：若李雅普诺夫指数为正值，两点会随时间呈指数级远离；若为负值，两点会呈指数级趋近（如趋于固定点或极限环）；当系统发生分岔时，李雅普诺夫指数为 0。正的李雅普诺夫指数是混沌系统的典型特征，表明系统对初始条件具有高度敏感依赖性。
这种相似值的非线性发散特性，使得现实世界中的建模和预测变得困难 —— 要准确预测，必须以无限高的精度测量参数和系统状态；否则，测量或舍入过程中产生的微小误差会随时间不断累积，最终导致系统行为与预测结果大幅偏离。而在现实世界中，无限精度的测量是不可能实现的。洛伦兹正是因为一次舍入误差，偶然发现了混沌现象。这种现象就是著名的 “蝴蝶效应”：一只蝴蝶在中国扇动翅膀，可能会在德克萨斯州引发龙卷风。微小事件会通过累积效应，不可逆转地改变宇宙的未来。
小结
对于有学术背景的跨学科学者而言，这篇文章不仅提供了理解非线性动力系统的理论框架和方法工具，还为各学科领域的研究开辟了新的思路。无论是生态学家研究种群动态，经济学家分析市场波动，还是城市规划者预测城市发展，都可以借鉴文中的可视化方法和模型思想，探索本领域的非线性规律。
作者介绍：
报名读书会：「非线性动力学与混沌」
集智俱乐部联合北京师范大学张江科研组联和南信大李春彪科研组师生共同发起，由师生共同领读《非线性动力学与混沌》，以分章节精读的方式，带领大家系统学习非线性动力学的基本理论与典型模型，结合洛伦兹系统、Kuramoto模型等经典案例，深入探讨混沌的起源、分形与奇异吸引子等前沿问题。
本读书会不仅读书，还会系统化地梳理本书中的重要概念，并整理为百科词条。也就是说，读完本书，我们会梳理出一套非线性动力学与混沌相关的百科词条，这才是重点。
我们也会通过梳理词条的方式，让学员组成学习小组进行比赛，最终会评出优秀学习小组获得复杂科学知识卡、汪小帆签名的《非线性动力学与混沌》、张江签名的《规模法则》、以及译者签名的《复杂-诞生于混沌与秩序边缘的科学》以及特色集智文化衫！
详情请见：
拓扑学课程：从空间直觉到系统科学
你是否曾思考过：为什么咖啡杯在数学上可以变成甜甜圈？为什么混沌系统中会出现周期轨、可约化结构和“奇怪吸引子”模式？为什么神经网络、量子物理甚至心理结构，都可以从“拓扑”角度理解？
拓扑学不仅是数学的抽象分支，更提供了系统的思维方式，让我们理解连续性、结构不变性乃至复杂系统的整体规律。从欧拉七桥问题到DNA的缠结，从量子场论到思维科学与脑科学，拓扑学思想正在各学科中普遍而深刻地重塑着我们的认知方式。
集智学园联合北京大学博士金威老师开设，课程将于11月23日开启，现在加入可享早鸟价格。
详情请见：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
热门跟贴