一、 一阶微分方程 ( )
核心思路：识别类型 变形 套公式/积分
可分离变量方程
形式：
解法：两边同时积分
齐次方程
形式：
解法：
(1)令
(2)代入原方程，化为可分离变量方程：
3.一阶线性微分方程
形式：
解法（通解公式）：
4.伯努利方程 (Bernoulli)
形式：
解法：
(1)两边同除 ：
(2)换元：令 ，则
(3)化为一阶线性方程求解 ，最后回代。
5.全微分方程(一般高数下曲线积分部分讨论)
形式：
判定：
解法：凑全微分 或利用积分与路径无关沿折线积分。
核心思路：通过换元，把高阶降为低阶
1.型
解法：两边连续积分 次。
2.型（缺 ）
解法：
(1)令 ，则
(2)原方程变为 （关于 的一阶方程）
(3)求出 后，再由 求 。
3.型（缺 ）
解法：
(1)令 ，则（这是关键！）
(2)原方程变为 （关于 的一阶方程）
(3)求出 后，分离变量 再积分。
形式：
1. 齐次方程 ( ) 求解步骤
(1)写出特征方程：
(2)求特征根 ，根据判别式 分类：
(两不等实根)：
(两相等实根)：
(共轭复根 )：
2. 非齐次方程 ( ) 求解步骤
通解结构： (对应齐次通解) (特解). 待定系数法求特解 ：
类型 I：
设 , 的取值：看 是不是对应齐次线性方程的特征根。
不是特征根
是单根
是重根
类型 II： ,
设 （ ）, 的取值：看 是不是特征根。
不是
3.欧拉方程
形式：
解法：
(1)换元：令 或 ，则
(2)化为常系数的线性方程求解 ，最后回代 。
1、如果微分方程不具有以上结构，则通过改写微分方程，如同齐次方程、伯努利方程和欧拉方程，通过换元转换为标准方程求解，或者通过交换因变量与自变量的地位，即视当前方程的因变量（函数符号）为自变量，自变量为因变量来考察方程的结构探索期求解思路与方法。
2、对于二阶变系数线性微分方程，一般使用待定函数法求其通解，一般是在求得（或已知）齐次线性微分方程一个特解的基础上，设所求解为该特解乘以各待定函数u(x)后，代入原方程即可直接求得通解。
3、线性微分方程解的五个基本结构性质
性质1如果函数 与 是方程 的两个解，则 也是它的解，其中 是任意常数．
性质2如果函数 与 是方程 的两个线性无关的解，则 也是它的解，其中 是任意常数．
注：如果两个函数相除恒为常数，则两个函数线性相关；如果两个函数相除为函数，则两个函数线性无关。
性质3设 是二阶非齐次线性方程
的一个特解． 是其对应的齐次方程 的通解，则 是二阶非齐次线性微分方程 的通解．
性质4设 , 是二阶非齐次线性方程
的两个特解，则 是其对应的齐次方程 的解．
性质5设 与 分别是方程
的特解，则 是非齐次线性方程
的解。
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